Transcript Distribusi peluang poison

Kuswanto dan Rizali 2014
Sebaran peluang Poisson
Percobaan Poisson : suatu percobaan
yang menghasilkan variabel random x,
yang menyatakan jumlah berhasil dalam
suatu selang (interval) tertentu atau
daerah tertentu.
 Selang waktu mulai milidetik sampai
tahunan.
 Daerah juga mulai dari satuan panjang,
luas ataupun volume.

Distribusi Poisson
Penemu Simeon Denis Poisson (1781–
1840)
 Aturan: bila diketahui jumlah berhasil
dalam interval (waktu atau periode seperti
semester dll)

P(x) = e–λ . λx / x!
e = 2.71828
Contoh percobaan Poisson :
 Jumlah
sambungan telepon yang masuk
suatu kantor
 Jumlah langganan yang datang pada
suatu super market per 5 menit
 Jumlah salah ketik per halaman
 Jumlah tikus sawah per hektar
Ciri-ciri lain sebaran Poisson




Independen antar daerah atau waktu
Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap
suatu waktu sebanding dengan satuan waktu
tersebut
Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam
selang waktu atau daerah yang pendek,
mendekati nol
e-  x
f(x) = ------------- dimana x = 0,1,2,…
x!
e = 2,71828
Ciri distribusi poisson
Independen antar daerah atau waktu
 Peluang terjadinya suatu sukses relatif
terhadap suatu waktu sebanding dengan
satuan waktu tersebut
 Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses
dalam selang waktu atau daerah yang
pendek, mendekati nol

Contoh
Selama satu jam memancing, umumnya seorang
pemancing dapat menangkap 3 ekor ikan. Cari peluang
seorang pemancing dapat menangkap 2 ekor ikan selama
1 jam pertama
Berhasil: Seekor ikan dapat ditangkap
Jumlah berhasil: x = 2
Harapan jumlah yang berhasil: λ = 3
Interval: 1 jam
P(x) = e–λ . λx / x!
P(2) = 2.71828 -2 . 32 / 2!
= 0.2240
Tabel Poisson
Contoh lain
During the typical statistics final exam, 2 students leave the
room in tears. Find the probability that between 1 and 4
students, inclusive, leave your statistics final exam in tears.
Success: A student leaves in tears
Number of successes: x = 1, 2, 3, or 4
Expected number of successes: λ = 2
Interval: A
P(between 1 and 4) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
= 0.2707 + 0.2707 + 0.1804 + 0.0902
= 0.8120
Contoh

Rata-rata jumlah bunga mekar sempurna di pagi hari,
pada tanaman kacang bambara (kacang bogor) adalah 7
bunga per hari. Berdasarkan kejadian tersebut,
tentukan peluang :
a. terdapat 5 bunga mekar per hari
b. terdapat kurang atau sama dengan 9 bunga mekar per hari
c. lebih dari 12 bunga mekar per hari

Jawab
a.P(x=5, =7) = (e-7 . 75)/5! = ……. Atau …
Interpretasi

Walaupun hasil penelitian mengatakan
bahwa jumlah bunga kacang bogor yang
mekar tiap hari adalah 7 kuntum, namun
peluang yang mekar tepat 5 kuntum hanya
0,1277.
Penggunaan Tabel Poisson
Untuk nilai µ = 7 dapat dilihat pada kolom
paling kanan, kemudian untuk mencari
P(5,µ), ditarik titik temu antara x=5 dengan
µ=7, dan diperoleh nilai peluang 0,3007.
 Namun demikian sebelum mencarai nilai
peluang pada tabel, rumus peluang harus
dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh tabel poisson
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6.10
0.0022
0.0159
0.0577
0.1425
0.2719
0.4298
0.5902
0.7301
0.8367
0.9090
0.9531
0.9776
0.9900
0.9958
0.9984
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
6.20
0.0020
0.0146
0.0536
0.1342
0.2592
0.4141
0.5742
0.7160
0.8259
0.9016
0.9486
0.9750
0.9887
0.9952
0.9981
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
6.30
0.0018
0.0134
0.0498
0.1264
0.2469
0.3988
0.5582
0.7017
0.8148
0.8939
0.9437
0.9723
0.9873
0.9945
0.9978
0.9992
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
6.40
0.0017
0.0123
0.0463
0.1189
0.2351
0.3837
0.5423
0.6873
0.8033
0.8858
0.9386
0.9693
0.9857
0.9937
0.9974
0.9990
0.9996
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
µ (lt)
6.50
6.60
0.0015 0.0014
0.0113 0.0103
0.0430 0.0400
0.1118 0.1052
0.2237 0.2127
0.3690 0.3547
0.5265 0.5108
0.6728 0.6581
0.7916 0.7796
0.8774 0.8686
0.9332 0.9274
0.9661 0.9627
0.9840 0.9821
0.9929 0.9920
0.9970 0.9966
0.9988 0.9986
0.9996 0.9995
0.9998 0.9998
0.9999 0.9999
1.0000 1.0000
1.0000 1.0000
6.70
0.0012
0.0095
0.0371
0.0988
0.2022
0.3406
0.4953
0.6433
0.7673
0.8596
0.9214
0.9591
0.9801
0.9909
0.9961
0.9984
0.9994
0.9998
0.9999
1.0000
1.0000
6.80
0.0011
0.0087
0.0344
0.0928
0.1920
0.3270
0.4799
0.6285
0.7548
0.8502
0.9151
0.9552
0.9779
0.9898
0.9956
0.9982
0.9993
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
6.90
0.0010
0.0080
0.0320
0.0871
0.1823
0.3137
0.4647
0.6136
0.7420
0.8405
0.9084
0.9510
0.9755
0.9885
0.9950
0.9979
0.9992
0.9997
0.9999
1.0000
1.0000
7.00
0.0009
0.0073
0.0296
0.0818
0.1730
0.3007
0.4497
0.5987
0.7291
0.8305
0.9015
0.9467
0.9730
0.9872
0.9943
0.9976
0.9990
0.9996
0.9999
1.0000
1.0000
Menggunakan tabel poisson


Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan
tabel peluang Poisson yang telah tersedia.
Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.
Dari Tabel tersebut, dipeoleh :

5
4
a..  (P(x,7) -  P(x,7) = 0,3007 - 0,1730 = 0,1277 (lihat tabel)
x=0
x=0

9
b)  (P(x,7) = 0,8305
x=0

12
= 1 -  (P(x,7) = 1- 0,9730 = 0,00270
x=0
Dengan Excel

During a typical hour fishing at Lake Lotsafish, a fisher
can expect to catch 3 fish. Find the probability that a
fisher catches exactly 2 fish in his first hour fishing.
Success: A fish is caught.
Number of successes: x = 2
Expected number of successes: λ = 3
Interval: One hour
=POISSON(2,3,FALSE)
P(2) = 0.2240

A small town has 1.6 cars stolen on an average day.
Find the probability that there are 2 or fewer cars stolen
on a given day.
Success: A car is stolen.
Number of successes: x = 2 or fewer
Expected number of successes: λ = 1.6
Interval: One day
=POISSON(2,1.6,TRUE)
P(<2) = 0.7834
Latihan dan diskusi
1.
2.
Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang
gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung
peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap
lebih dari 15 tikus.
Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin
ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu
tahun tertentu daerah ini akan dilanda :

kurang dari 4 kali angin ribut

6 sampai 8 kali angin ribut

Tepat 5 angin ribut

Tepat 6 angin ribut. Apa bedanya dengan
reratanya?
Latihan dan diskusi
3.
Seorang grower tanaman hias mampu
menghasilkan 2 jenis spesies silangan baru per
tahun. Pada tahun depan spesies baru yang akan
dihasilkan, akan dikenalkan pada pameran flora
Indonesia. Berapa peluang bahwa tahun depan ia
akan membuat :
 4 atau lebih spesies silangan baru
 Tidak dapat menghasilkan spesies
 kurang 2 spesis
 lebih dari 4 spesies