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Deformierbare Medien Ideales Gas: Volumenänderung bei kleinem Kraftaufwand möglich. Formänderung ohne Arbeit Ideale Flüssigkeit: Keine Volumenänderung (inkompressibel) Formänderung ohne Arbeit (reale Flüssigkeit: innere Reibung, Oberflächenkräfte) Fester Körper Volumenänderung erfordert (große) Kraft Formänderung unter Kraftwirkung. Extreme: a) elastische Verformung, b) plastische Formänderung. Auch Zwischenformen! Deformierbare feste Körper Es gibt verschiedene Klassen von Formänderungen: Dehnungselastizität l / 2 l l / 2 d d d Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft F Dehnung – Hookesches Gesetz Formel E E Δl l F A SI Einheit Anmerkung 1 N / m2 Dehnung 1 N / m2 Elastizitätsmodul Dehnung, relative Längen Änderung 1 1N/ m2 Normalspannung (Kraft / Angriffsfläche) Beispiele für Elastizitätsmoduli Formel E l l Einheit Erläuterung N m2 Spannung 1 Dehnung, relative Längenänderung 1 Elastizitätsmodul, Beispiele: Material E N 1 2 m E N/m2 Fe 2 1011 Al 7 1010 Glas 6 1010 Holz (Esche) 1 1010 Gummi 1 109 Voraussetzung: Das „Hookesches Gesetz“ gelte im Material • sowohl bei Dehnung • als auch bei Verdichtung Die Poisson-Zahl • Wird das Material verlängert, dann wird sein Durchmesser kleiner, weil das Volumen annähernd konstant bleibt. • Das Verhältnis der relativen Änderungen des Durchmessers und der Länge heißt Faktor der Querkontraktion oder PoissonZahl. Sie liegt zwischen 0,2 und 0,5. Die Poisson-Zahl l / 2 l / 2 l d d d Es ziehe zu beiden Seiten eine Kraft d l d l F ist die PoissonZahl, 0,2 0,5 Elastizitätsmodul Bis zum Punkt A ist die Zugspannung proportional zur Dehnung (Hooksches Gesetz) E Elastizitätsmodul E F/A E N m 2 / Einheit: Druck, Zugspannung, Elastizitätsmodul: N/m2 (=Pa Pascal) (!) Typische Werte für E: Stahl: (100-200)*109 N/m2 Blei: 20*109 N/m2 Spannungs-Dehnungs-Diagramme E-Modul und Zugfestigkeit Scherspannung Das Verhältnis der Scherkraft Fs zur Fläche A heißt Scherspannung Fs A Scherwinkel x tan Für kleine Scherwinkel ist die Scherspannung proportional zur Scherung: Schub- oder Torsionsmodul G: FS / A G x / Beispiele: Gal=30 GNm-2, Gfe=70 GNm-2, Gstahl=84 GNm-2, GStahl==150 GNm-2 Torsion eines Drahts Die Schubspannung bei einem beliebigen Torsionswinkel beträgt: r G G Flächenelement dA eines Hohlzylinders dA 2 r dr Die rücktreibende Tangentialkraft ist r dFt dA G 2 r dr Entspechend gilt für das rücktreibende Drehmoment r3 dM dF rt 2 G dr Integration liefert das Drehmoment 3 R r R4 M 2 G dr G 0 2 Festkörper und Flüssigkeiten • Die atomaren Baugruppen liegen in beiden Aggregatzuständen auf Kontakt – deshalb ist die Dichte eines Materials in beiden Aggregatzuständen praktisch gleich • Aber: Flüssigkeiten sind gegen Scherung bzw. Torsion instabil Fest Flüssig Druck auf eine Flüssigkeit oder einen Festkörper Druck p 1 0 Kraft F 0,5 Volumenänderung ΔV Volumen V Kompression: Formveränderung durch Druck auf Festkörper und Flüssigkeiten Einheit V p V K 1 K 1/Pa Die relative Änderung des Volumens –ΔV/V ist proportional zum Druck p Kompressionsmodul Kompressionsmodul einiger Materialien Einheit Kompressionsmodul K 1 Pa 2 109 1 109 11 1,4 10 Wasser Benzol Kupfer Kompressibilität: Beispiele Hydraulische Kraftverstärkung Druck p 1 0 Kraft F2 0,5 Fläche A2 Kraft F1 Fläche A1 Der Druck in diesem statischen System ist überall der gleiche Hydraulische Kraftverstärkung Einheit F1 F2 p A1 A2 A2 F2 F1 A1 1 Pa Konstanter Druck im System 1N Kraft an der Fläche 2 Hydraulische Presse Für ‘masselose’ Flüssigkeit ist der Druck an jedem Ort in der Flüssigkeit von der gleichen Größe, d.h. p=konst. F2 F1 F2 F1 A2 A1 Werden die Flächen A1 , A2 um die Strecken a1 , a2 verschoben, so ist die gegen bzw. mit der Kraft geleistete (W1) bzw. gewonnene (W2) Arbeit Wi Fi ai (i 1,2) Fi Wi Ai ai pi Vi Ai und es gilt W1 W2 dh. der Gewinn/Verlust an Arbeit ergibt sich als Produkt von Flüssigkeitsdruck und Volumenänderung. Das gilt für den Fall, daß die Flüssigkeit inkompressibel ist. Flüssigkeiten unter dem Einfluß der Gravitationskraft Die Masse der Flüssigkeits säule mit Grundfläche A und Höhe H ist m V A H Die Gewichtskraft beträgt FG m g A H g Die Kraft durch die gesamte Säule ist (p0=äußerer Druck) F p A A H g p0 A Der Druck am Boden der Säule ist p( H ) g H p0 Ändert man p0 so ist die Änderung überall in der Flüssigkeit gleich (Pascalsches Prinzip) Flüssigkeitsmanometer Flüssigkeitsbarometer Bodendruck in Gefäßen Auftrieb Die Auftriebskraft h1 p(h1) F(h1) h2 p(h2) F(h2) Drucke in Höhe der Ober- und Unterseite des Körper Kräfte auf die Oberund Unterseite des Körpers Die Differenz dieser Kräfte ist die Auftriebskraft Die Auftriebskraft Einheit F1 Fl g h1 A F2 Fl g h2 A 1N FA F2 F1 Fl g h2 h1 A FA Fl VK g 1N Druckkraft auf die obere Fläche A in Tiefe h1 Druckkraft auf die untere Fläche A in Tiefe h2 Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der Flüssigkeit, die dem Volumen des eingetauchten Körpers entspricht Bedingung fürs Schwimmen: ρK < ρFl ρK ρFl Die Dichte des Körpers ist kleiner als die des Mediums: Die Auftriebskraft minus der Gewichtskraft beschleunigt den Körper nach oben Bedingung fürs Schweben: ρK = ρFl ρK ρFl Die Dichte des Körpers ist gleich der des Mediums: Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft – es gibt keine beschleunigende Kraft Bedingung fürs Sinken: ρK > ρFl ρK ρFl Die Dichte des Körpers ist größer als die des Mediums: Die Gewichtskraft minus der Auftriebskraft beschleunigt den Körper nach unten Kräfte an einem Körper Auftriebsmethode nach Archimedes Heureka ??? Goldene Krone ??? Wiegen in Luft Archimedes 287-212 BC Hiero II, König von Syrakus 306-215 BC Wiegen in Wasser Problem des Archimedes Ideale stationäre Strömungen Die Volumenstromstärke • Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt Zeit dt 10 0 5 A ds v dV Die Volumenstromstärke Einheit dV ds I A Av dt dt 1 m3/s Volumenstromstärke A 1m Querschnittsfläche des Rohres v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit Zeit dt A 10 0 ds 5 v dV Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen • Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt • Die Kontinuitätsgleichung besagt: • Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt 10 0 5 dV dV Die Kontinuitätsgleichung dV A1 ds1 A1 dV A2 ds2 ds1 A2 ds 2 dV v1 v2 p2 dV Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich Die Kontinuitätsgleichung Einheit A1 ds1 A2 ds2 1 m3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt ds1 ds 2 A1 A2 dt dt 1 m3/s A1 v1 A2 v2 Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist 1 m3/s konstant – unabhängig vom Querschnitt Division durch die Zeit ergibt die Kontinuitätsgleichung Der menschliche Blutkreislauf Wird die Kontinuitätsgleichung auf den menschlichen Blutkreislauf angewandt, so wird die geringe Fließgeschwindigkeit in den Kapillaren verständlich, ohne die lebensnotwendige Diffusionsvorgänge nicht in ausreichendem Maße stattfinden können. Der Durchmesser der Aorta beträgt ungefähr 2,3cm . In einer Minute strömen ungefähr 5 Liter Blut durch die Aorta strömen, so ergibt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit von 20,8 cm · s-1. Geht man von einer Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren von 4800 cm2 aus, so erhält man eine mittlere Strömungsgeschwindigeit von 0,017 cm ·s-1. Der Bernoulli Effekt • Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt • Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck Arbeit zur Bewegung eines Volumens dV des Mediums: Kraft mal Weg W1 F1 ds1 W2 F2 ds2 ds1 ds2 F1 F2 Die Wege ds1 und ds2 werden in der Zeit dt zurückgelegt Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts W1 F1 ds1 W2 F2 ds2 W1 p1 A1 ds1 W2 p2 A2 ds2 1 J Kraft mal Weg 1J Arbeit gegen den Druck ds1 A1 ds2 p1 p2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt A2 Kontinuitätsgleichung beim Übergang Einheit A1 v1 A2 v2 A1 ds1 / dt A2 ds2 / dt A1 ds1 A2 ds2 ds1 1 m3/s 1 m3 Konstante Volumina Zeit dt A1 ds2 p1 Kontinuitätsgleichung, v1, v2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten p2 10 0 5 A2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen dV zu versetzen Volumen links Volumen rechts W1 p1 A1 ds1 W2 p2 A2 ds2 1J W1 p1dV W2 p2dV 1J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren ds1 A1 ds2 p1 p2 A2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung • Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich • Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet • Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? • A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird …und um ein Volumen dV zu beschleunigen Volumen links Volumen rechts W1 p1dV W2 p2dV WKin1 1/ 2mv WKin2 1/ 2mv2 2 1J Arbeit gegen den Druck und zur Beschleunigung p1dV 1/ 2mv p2dV 1/ 2mv2 1J Energieerhaltung 1J 2 1 2 1 2 dV v1 p1 v2 p2 dV Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt Die Bernoulli-Gleichung 1 2 2 dV (v2 v1 ) dV p1 dV p2 2 1J Die Masse wird durch m=ρ·dV ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p1, p2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen v1 , v2 1m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen 1 2 2 (v2 v1 ) p1 p2 2 ρ 1 kg/m3 Dichte des strömenden Mediums Druckverteilung in Rohren Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr) Wie groß ist der Wasserstrom (ρ = 1000 kg/m3), wenn bei einer Verengung von d1 = 80 mm auf d2 = 60 mm der Druck um 666.7 mbar absinkt? Druckverteilung in Rohren Aus der Kontinuitätsgleichung folgt: v1 A1 v2 A2 A1 d12 v2 v1 v1 2 A2 d2 Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung 2 2 p1 2 v1 p2 p1 p2 v1 Der Volumenstrom ist somit 2 2 v2 v v 2 2 2 1 d14 4 1 v12 2 d2 p1 p2 7.856 m / s 4 4 d1 / d 2 1 2 m3 A1 v1 d v1 0.0395 39.5 4 s s 2 1 Bernoulli-Gleichung Energieänderungen Energieänderungen Energiebilanz Bernoulli-Gleichung Gesetz von Torricelli Loch im Wassertank Fragen zu deformierbaren Medien 1. 2. 3. An einem 1m langen Stahldraht (E=1011N/m2) der Querschnittsfläche 1mm2 wird ein 1kg schweres Gewicht aufgehängt. Wie groß ist die Längenänderung? Welche Masse könnte man maximal an ein Stahlseil (Rm=520MNm-2) mit einem Durchmesser von 6mm hängen? Eine Kugel (Vkugel=10-7 m3) wird in eine mit Wasser (k=5*10-10 Pa-1) gefüllte Kiste (Vkiste=10-3 m3) geschossen. Wie groß ist die Druckänderung?