Transcript Seminar WS 04/05 Prof. Beuteslpacher

Seminar WS 04/05
Prof. Beutelspacher
Geometrie und Wirklichkeit
Körper
Von
Yelyzaveta Rabinovych
Tim Schweisgut
Christoph Puhl
Dirk Woitaschek
Zoom auf die Erde
Einleitung


Überall in unserer Umwelt finden sich Rollen, Walzen, Kugeln, Ziegel, Blöcke,
Eistüten.... Damit sind geometrische Körper gemeint. In der Mathematik heißen
sie Zylinder, Kugel, Quader, Pyramide, Kegel, Würfel usw. Wenn man jetzt das
Volumen oder die Oberfläche eines solchen "Dinges" bestimmen möchte, kann
man froh sein, wenn es eine regelmäßige geometrische Form hat. Denn dann
kann man mit Hilfe von Abmessen oder Abschätzen und einer passenden Formel
Volumen, Oberfläche und bestimmte Längen oder Winkel der Körper berechnen.
Schwieriger ist es, wenn ein Körper aus mehreren Grundformen
zusammengesetzt ist oder gar vollkommen unregelmäßig ist.
Beispiele:
Einleitung

Die eben gesehenen Körper wurden von
verschiedenen „Erbauern“ erzeugt!



Natur
Menschen
Maschinen
Die Reise beginnt

Wir starten kurz vor der Erde und
fliegen am Mond vorbei


Mond = Kugel
Wir fragen uns nun was ist eine Kugel



Definition
Formeln
usw…
Die
Kugel
Definition


Eine Kugel ist in der Mathematik ein Körper, der nur aus einer
Oberfläche besteht und deshalb hohl ist. Im nichtmathematischen Zusammenhang wird eine Kugel oft als
Festkörper betrachtet (mathematisch das Innere der Kugel)
Genauer ist eine Kugel die Menge aller Punkte bzw. der
geometrische Ort aller Punkte im 3-dimensionalen Euklidischen
Raum, die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes
haben. r ist dabei eine positive reelle Zahl, genannt Radius der
Kugel.
Die
Kugel
Definition


Eine Kugel mit Zentrum(x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge
aller Punkte (x,y,z), so dass
2
2
2
2
 (x - x0) + (y - y0) + (z - z0) = r
Eine Kugel kann auch als diejenige Fläche definiert werden, die
bei der Rotation eines Kreises um seinen Durchmesser entsteht.

Rotationskörper dazu gleich
Die
Kugel
Formeln und weiters Vorkommen


Das Kugelvolumen V berechnet sich als:
3
 V = 4Br /3
(Beweis)
Die Oberfläche O einer Kugel mit Radius r ergibt sich als:


O = 4Br2
weiteres Vorkommen:




Sport
Natur
Obst
Kunst
Die
Kugel
Beweis vom Kugelvolumen



Wir
beweisen
Formel indem
diekann
Halbkugel
und benutzen
Der
Abstand
h derdie
Schnittebene
vonwir
derüber
Ebene
jeden gehen
Wert zwischen
0 und
dann das (siehe
PrinzipAnimation)
von Cavalieri
r annehmen.

Umman
dasrVolumen
einerlassen
Halbkugel
Radius
r (links
Wenn
und h kennt,
sich vom
also die
Inhalte
der oben)
beidenherauszufinden
Schnittflächen
verwendet man einen Vergleichskörper (rechts oben), dessen Volumen einfacher
berechnen!
zu berechnen ist!


Kreiszylinder
mitsich:
Radius
Höhe=>
r ausA1
dem= (r2 - h2)A (Pythagoras)
Für
die
grüne ergibt
A1 r=und
s2A

Ein Kreiskegel mit Radius r und Höhe r herausgenommen wurde
Man zeigt jetzt dass die Halbkugel
und der Vergleichskörper das gleiche Volumen
Für die orange ergibt sich:A2 = r2A - h2A = (r2 - h2) A
haben.
Man
siehtschneidet
nun das die
beiden
stimmen!
(für jeden

Dazu
man
beideInhalte
Körper tatsächlich
parallel zurüberein
jeweiligen
Grundfläche
durch
Wert(man
von 0stellt
bis h)
sich dies nur vor!)
Nach dem
Prinzip vonder
Cavalieri
musseinen
folglich
Schnittflächer
Kugel ergibt
Kreisauch
(grün)das Volumen der Halbkugel
gleich dem
Volumen des
desVergleichskörper
Vergleichskörpers
Schnittfläche
ergibtsein
einen Kreisring (orange)





Vol Halbkugel = Vol Vergleichskörper = Vol Zylinder - Vol Kegel =
r2A · r - (1/3) r2A · r = (2/3) r3A
Die Reise geht weiter

Vom Mond aus nähern wir uns der
Umlaufbahn der Erde .Es schwebt eine
Raumstation vorbei!



Sie besteht aus Modulen
Module = Zylinder
Was ist ein Zylinder?



Definition
Formeln
usw..
Der
Zylinder
Definition


Der Begriff Zylinder (v. griech.: kylíndein rollen, wälzen)
bezeichnet in der Geometrie einen geometrischen Körper, der
durch die Verschiebung eines Kreises entlang einer Geraden
durch den Kreismittelpunkt, der Achse, die nicht in der Ebene
des Kreises liegt, entsteht.
Varianten


Gerader Zylinder, dessen Achse senkrecht zur Kreisebene
liegt
Schiefer Zylinder, bei dem dies nicht der Fall ist!
(Querschnitt hat die Form einer Ellipse)
Der
Zylinder
Formeln

Volumen eines Zylinders berechnet sich mittels des Radius r der Grundfläche des
Zylinders und der Höhe h:


V = Br2h
Die Oberfläche ergibt sich aus:

O = 2Brh + 2Br2 = 2Br(r + h)
Andere Zylinderarten
Der
Zylinder
Andere Arten
zurück
Der
Zylinder
Weiteres Vorkommen

In verschiedenen Bereichen des Lebens kommen Zylinder vor!
Wir bleiben in der Umlaufbahn

Wir schauen uns die „Solarsegel“ der Raumstation
an, diese rotieren da die Raumstation rotiert


=> Rotationskörper
Was ist ein Rotationskörper?



Definition
Formeln
Usw..
Rotationskörper
Definition


Rotationskörper werden in der Geometrie Körper genannt, die
durch Rotation einer in einer Ebene liegenden erzeugenden
Fläche um eine in derselben Ebene liegende, aber die Fläche
nicht schneidende Achse gebildet wird. Ein bekannter
Rotationskörper ist der Torus, der durch die Rotation eines
Kreises gebildet wird. Auch Körper wie Zylinder und Hohlzylinder
zählen zu den Rotationskörpern.
Das Volumen und die Oberfläche wird mit den Guldinschen
Regel errechnet.
Paul Guldin


zurück
Paul Guldin, ursprünglich Habakuk Guldin (* 12. Juni 1577 in St.
Gallen, † 3. November 1643 in Graz), war Astronom und Professor für
Mathematik in Graz und Wien.
Lernte zuerst die Goldschmiedekunst, trat 1597 zum Katholizismus über
und nahm dabei den Vornamen Paul an. Kurz darauf tratt er in den
Jesuitenorden in München ein. Dort erkannte man sein Talent für
Mathematik und sandte ihn zur weiteren Ausbildung nach Rom.
Anschließend lehrte er in Rom, Wien und Graz. Sein größtes Werk
Centrobaryea erschien in 4 Büchern 1635, 1640 und 1641 in Wien und
enthält die baryzentrische Regeln, heute Guldinschen Regeln genannt,
mit denen man Volumen und Oberflächen von Rotationskörpern
berechnen kann. Diese Regeln wurden allerdings schon ca. 300 v.Chr.
von Pappos von Alexandria in seinem mathematischen Lehrbuch
beschrieben, so dass es sich hier eigentlich um eine Wiederentdeckung
handelt.
Rotationskörper
Formeln
1. Guldinsche Regel
Die Oberfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt des Umfanges
der erzeugenden Fläche mal dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser
Fläche erzeugten Kreises:
Beispiel: Oberfläche eines Torus:
S = Oberfläche
L = Länge der erzeugenden Fläche
R = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche
r = Radius des erzeugenden Kreises
Rotationskörper
Formeln
2. Guldinsche Regel
Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus der erzeugenden Fläche
mal dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises:
Beispiel: Volumen eines Torus:
V = Volumen
A = erzeugenden Fläche
R = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Fläche
r = Radius des erzeugenden Kreises
Einzelne Rotationskörper

Rotationsparaboloid

Rotationsellipsoid
Rotationsparaboloid


Ein Rotationsparaboloid ist in der
Mathematik der Rotationskörper
einer Parabel, also die
dreidimensionale Figur, die entsteht,
wenn man eine (zweidimensionale)
Parabel um ihre Symmetrieachse
rotieren lässt.
Anwendung

Wenn man eine Flüssigkeit
gleichmäßig um eine senkrechte
Achse dreht, dann überlagern sich
Schwerkraft und Fliehkraft, und die
Flüssigkeitsoberfläche nimmt die
Form eines Rotationsparaboloids an.
So funktioniert das
Quecksilber>Teleskop, und so kann
man auch Teleskop-Spiegel gießen,
um danach nicht so viel Material
abschleifen zu müssen.
Rotationsellipsoid


Ein Rotationsellipsoid (auf Englisch "spheroid") ist ein Ellipsoid, das
durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht.
Man unterscheidet


Abgeplattete Ellipsoid bei Rotation um die kleine Achse und das
Verlängerte Ellipsoid bei Rotation um die große Achse
Anwendung
Vorkommen in der Natur
Rotationsellipsoid
Anwendung

zurück
In der Geodäsie, Kartografie und den anderen
Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische
Annäherung an das (physikalische) Geoid benutzt. Diese
Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage
bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man
spricht dann von einem Referenzellipsoid.
Rotationsellipsoid
Weiteres Vorkommen in der Natur

Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete
Rotationsellipsoide.





entstehen durch die Fliehkraft (Verformung)
an den Polen werden diese Körper abgeplattet
am Äquator entsteht eine Ausbauchung
Besonders deutlich ist die Abplattung bei der Sonne und den großen
Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren
und nicht verfestigt sind.
Aber auch die Erde und die anderen terrestrischen Planeten werden durch die
bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt.


Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet,
die Erdabplattung beträgt 1/298.
Die Reise geht weiter

Von der Umlaufbahn aus sehen wir die Erde


Wieder eine Kugel
Ist ein Beispiel für Körper im Körper da auf der Erde weitere Körper
zu finden sind!
Die Reise geht weiter

Wir durchfliegen eine Wolke und fangen einen
Regentropfen auf



Regentropfen = Kugel + Kegel
Beispiel für zusammengesetzten Körper
Was ist ein Kegel?



Definition
Formeln
Usw..
Kegel
Definition




In der Geometrie ist ein Kegel ein Körper, der durch eine Kreisfläche,
umschlossen vom Basiskreis, und einen Punkt, der Spitze, begrenzt ist. Dabei
liegt die Spitze nicht in der gleichen Ebene wie die Kreisfläche.
Vereinzelt wird für Kegel auch das lateinische Wort Konus verwendet mit dem
zugehörigen Eigenschaftswort konisch.
Die Gerade, auf welcher der Mittelpunkt des Basiskreises und die Spitze liegen,
nennt man die Achse des Kegels.
Der Mantel ist jener Teil der Oberfläche, der nicht durch den Basiskreis gebildet
wird.
Kegel
Definition






Die Ebene, in der der Basiskreis liegt, heißt Basisebene (oder Basiskreisebene)
Als Höhe (h) des Kegels wird der Normalabstand von der Basiskreisebene
und der Spitze bezeichnet
Unter Radius (r) des Kegels versteht man normalerweise den Radius des
Basiskreises
Steht die Achse senkrecht auf die Basisebene, spricht man von einem geraden
Kegel oder Drehkegel, ansonsten von einem schiefen Kegel
Bei einem Drehkegel werden die Verbindungslinien von Basiskreis zur Spitze
Erzeugende genannt (m), da sie den Mantel "erzeugen".
Der Winkel zwischen Erzeugenden und Achse eines Drehkegels heißt
Öffnungswinkel (φ).
Kegel
Formeln

Das Kegelvolumen berechnet sich wie folgt:


Beweis
Die Kegeloberfläche (des Mantels) berechnet sich wie folgt:

Wobei s die Länge der Erzeugenden ist!!
Kegel
Beweis-Volumen

Ein beliebter Beweiß wird mit
Integration abgehandelt!!
Die Gerade aus der Grafik ist wie folgt definiert:
Man lässt den Körper nun an der X-Achse rotieren:
Nun bestimmt man das Integral
es folgt
Kegel
Ergänzung und weiteres Vorkommen

Kegelstumpf

Doppelkegel

Weiteres vorkommen des Kegel und des Kegelstumpfes
Kegelstumpf
Doppelkegel

Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht
rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen
Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren.
Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene,
entstehen die so genannten Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel
Ellipse bzw Kreis
Parabel bzw im
Sonderfall eine
Gerade
Hyperbel
Die Reise geht weiter


Wir fliegen an einem Berg vorbei, auf diesem steht eine
Sternenwarte!
Zoom in


Uns begegnen Prismen
Was ist ein Prisma?



Definition
Formeln
usw
Das
Prisma
Definition



Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der durch
Parallelverschiebung einer ebenen Fläche (der Grundfläche)
entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum
entsteht. Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur Fläche,
spricht man von einem geraden Prisma, andernfalls von einem
schiefen Prisma.
Ist die Grundfläche ein Kegelschnitt, so spricht man von einem
Zylinder.
Ein Prisma ist ein Körper aus einem Material, das einen höheren
Brechungsindex hat als die Umgebung!!
Das
Prisma
Definition und Formel



Oft betrachtet man nur Prismen, deren Grundfläche ein Vieleck
ist. Dessen Mantel besteht aus Parallelogrammen, beim geraden
Prisma aus Rechtecken. Ein solches Prisma ist ein spezieller
Polyeder.
Eine besondere Form des Prismas ist, neben dem Zylinder, der
Hexaeder (Würfel). Er ist von jeder Seite betrachtet ein Prisma.
Das Volumen V eines Prismas ist gegeben durch

V = AG h (AG = Grundseite, h= Höhe)
Das
Prisma
Weiteres Vorkommen

Man benutzt Prismen z.B zur Herstellung von Spiegeln,
Ferngläser und Teleskopen
Die Reise geht weiter…
… und jetzt wird es „leider“ etwas trockener:
Die Reise geht weiter

Wir fliegen über Ägypten hinweg, und kommen an
großen alten Bauwerken vorbei:


Den Pyramiden
Was ist eine Pyramide?
 Definition
 Formeln
 usw..
Die Pyramide
Definition

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche
ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die
in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen.
Die Pyramide
Formeln und weiteres Vorkommen

Für das Volumen
der Pyramide gilt:
V

Für die Oberfläche
der Pyramide gilt:
O  12 phs  AG
wobei p der Umfang
der Grundfläche und
hs die Höhe einer
Seitenfläche ist.
AG h
3
Tetraeder


Natürlich ist ein
Tetraeder ebenfalls
eine Pyramide. Eine
Pyramide mit einer 3seitigen Grundfläche.
Das Tetraeder gehört
zu den platonischen
Körpern… dazu
allerdings erst später
mehr.
Pyramide
weitere Vorkommen

Wo kommen denn noch Pyramiden in
unserem Alltag vor?
Irgendwo in der Nähe unserer
letzten Station

Finden wir wieder einen
anderen Körper:


Den Obelisken
Was ist ein Obelisk?
 Definition
 Formeln
 usw..
Der Obelisk
Definition


Obelisk wird ein Polyeder
genannt, dessen
Seitenflächen Trapeze sind.
In dem hier betrachteten
Spezialfall sind die parallelen
Grundflächen Rechtecke,
einander gegenüberliegende
Kanten haben die gleiche
Neigung gegenüber der
Grundfläche, laufen aber
nicht in einem Punkt
zusammen.
Obelisk
Formel

Für das Volumen
des Obelisken gilt:
V  h6 [(2a  a1 )b  (2a1  a)b1 ]  h6 [ab  (a  a1 )(b  b1 )  a1b1 ]
Doch wir haben nicht soviel Zeit,
also lasst uns weiterreisen nach…



… Kairo Downtown:
Denn dort finden wir:
Quader!
Quader
Definition

Quader sind gerade Parallelepipede mit
rechteckigen Grundflächen.
Quader
Eigenschaften und Formeln


Bei einem Quader sind
die Raumdiagonalen
gleich lang.
Wenn a, b und c die
Kanten des Quaders
sind, und d die
Diagonallänge, gilt:
d  a b c
V  abc
O  2(ab  bc  ca)
2
2
2
2
Quader
weitere Vorkommen

Quader sind Körper die uns, im
Gegensatz zu Pyramiden oder Obelisken
viel häufiger im Alltag begegnen:
Nach einer weiteren halben
Weltreise kommen wir an in…


Und beobachten die Dreharbeiten von…
Cube
Der
Würfel
Definition

Geometrischer Würfel




In der Geometrie bezeichnet man mit Würfel einen Vielflächner (Polyeder)
dessen Seiten Quadrate sind.
Genauer: Es handelt sich um einen Sechsflächner (Hexaeder) mit 12 Kanten
und 8 Ecken. Die Kanten sind alle gleich lang!
Der Würfel ist einer der Platonischen Körper (dazu später mehr)
Spielwürfel


Bei Spielen wird ein Würfel als Zufallsgenerator verwendet!
Jeder Polyeder ist als Spielwürfel geeignet!
Der
Würfel
Definition

In der Kryptologie ein Verschlüsselungsverfahren



Ein Beispiel für ein Transpositions-Verschlüsselungsverfahren ist der Würfel:
Der Klartext wird zeilenweise aufgeschrieben und nach einer festen Anzahl von Zeichen
k umgebrochen. Das letzte Zeichen muss am Ende einer Zeile stehen, sonst wird der
Text mit Füllbuchstaben ergänzt. Das spaltenweise Auslesen des Textes ergibt den
Geheimtext, der Schlüssel ist die Zeilenlänge k.
Beispiel für Schlüssel k= 8:
Klartext:
DIES IST
EIN BEIS
PIELXXXX
Geheimtext: DEPIIIENES L BXIEXSIXTSX
(Spartaner benutzten eine Skytale um Texte zu verschlüsseln)
Der
Würfel
Formeln

Berechnung des Volumen:


V = l3
Berechnung der Oberfläche:

A = 6l2
Der
Würfel
Weiteres Vorkommen


In der Linearen Algebra spricht man auch vom Einheitswürfel des VR
Rn. Dies ist die Teilmenge [0,1]x…x[0,1], ein n-dim achsenparaller
Würfel mit Seitenlänge 1 und einer Ecke im Ursprung
Als Knobelspiel wie z.B Rubiks Würfel


Beispiel für Fraktale Körper
Architektur und Kunst
Fraktale Figuren (Selbstähnlich)

Definition



Eine Figur wird selbstähnlich genannt, wenn Teile der Figur kleine
Kopien der ganzen Figur sind.
Eine Figur ist exakt selbstähnlich, wenn sie in Teile, die exakte
Kopien der ganzen Figur sind, zerlegt werden kann. Jeder beliebige
Teil enthält eine exakte Kopie der ganzen Figur.
Beispiel:

Das Farnblatt
zurück
…weiter geht´s

Wir verlassen Hollywood und fliegen in eine Wohngegend



Wieder sehen wir viele Quader
In fast allen Häusern findet man andere
Körper (gleich mehr)
Wir sehen Kinder auf der Straße spielen:


Diabolo => Doppelkegel
Seilspringen => kann man als Rotationskörper betrachten
Zoom in ein Wohnhaus

Hier finden wir verschiedene „einfache Körper“




Der Fernseher (Quader)
Kühlschrank (Quader)
und vieles mehr
Zoom in


den Fernseher ergibt das man verschiedene Bauteile sieht die
wieder aus den schon besprochenen erbaut werden können!
Den Kühlscharnk, hier finden wir viele verschiedene Körper aber
wir picken uns mal das Ei herraus
Das
Ei
Wo es uns im Alltag begegnet...
Das Hühnerei
Forschungsreaktor der
TU München
IMAX Kino im
DasMainfrankenpark
Überraschungsei
Ostereier
Dettelbach
Das
Ei
Wo es uns im Alltag begegnet...
Minikühlschrank
Wohnwagen
Luftballons
Das
Ei
Ein sehr symmetrischer Körper
Offenbar ist ein Ei ein sehr symmetrischer Körper.
Rotationssymmetrie
Gibt vielen
Aus
es eineverschiedenen
Gerade g undRichtungen
einen Winkel
sieht
a, so
dasdass
Ei immer
der Körper
gleichbei
aus.
Drehung
um g undman
Befestigt
den z.B.
Winkel
dasaEiauf
senkrecht
sich abgebildet
mit demwird,
dicken
so Ende
heisstauf
dereinem
KörperTisch
drehund
geht
oder
nunrotationssymmetrisch.
um den Tisch herum, so gwird
heißt
man
diefeststellen,
Dreh- oder
dass
Symmetrieachse
das Ei
des Gegenstands.
immer
gleich aussieht, egal, wo man sich befindet.
Damit ist klar, dass die
Symmetrieachse des Eies
wie hier dargestellt liegen muss.
Ein Ei ist also ein Rotationskörper!
Das
Ei
Ein sehr symmetrischer Körper
Da ein Ei ein Rotationskörper ist, gibt es also einen repräsentativen Querschnitt
des Eies, mit dem man durch Rotation wieder das komplette Ei herstellen kann.
Diesen erhält man, wenn man das Ei entlang der Symmetrieachse von oben
nach unten durchschneidet.
Ein Ei ist somit
rotationssymmetrisch.
Das
Ei
Ein sehr symmetrischer Körper
Spiegelt man eine "Eierhälfte" an der Ebene, die beim "Durchschneiden„
Ebenensymmetrie
Gibt es eine
entlang
der Symmetrieachse
Ebene, so dass eine
entstanden
Figur imist,
Raum
so erhält
unter man
Spiegelung
wirklich wieder
an dieser
das
komplette
Ebene
Ei.inDiese
sich selbst
Ebeneüberführt
nennt man
wird,
„Spiegelebene“.
so nennt man die Figur
ebenensymmetrisch.
Daher ist ein Ei ebenensymmetrisch
bzgl. der oben genannten Spiegelebene.
Das
Ei
Volumenberechnung
Da kein Ei gleich ist, gibt es auch keine allgemein gültige Funktion,
in die man einige Werte einsetzt und aus der man dann sofort das
Volumen des Eies erhält.
Wir möchten an dieser Stelle ein Experiment zur Modellierung eines Eies
vorstellen, welches mit einer Schulklasse durchgeführt wurde.
Das
Ei
Volumenberechnung
Als erstes wird mit einem „Tauchversuch“ im Reagenzglas das
tatsächliche Volumen des Eies bestimmt.
Es beträgt 65,5 cm³.
Eine Vermessung des Eies mit einer Schieblehre
liefert folgende Ergebnisse:
Länge
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
3,7
4
4,5
5
5,5
6
Höhe
1
1,5
1,8
2
2,1
2,2
2,3
2,31
2,2
2
1,7
1,2
0
Das
Ei
Volumenberechnung
Mit den so gefunden Messpunkten erhalten wir die Randfunktion des Eies,
die wir auf drei verschiedene Arten interpretieren möchten:
1. Viertelellipse und Viertelkreis
2. Wurzelfunktion und Viertelkreis
3. Logarithmusfunktion und Viertelkreis
Das
Ei
Volumenberechnung
Das Volumen eines Rotationskörpers berechnet sich durch
b
Vol   
2
f
x d x
a
wobei f(x) die Randfunktion ist, die um die x-Achse rotiert.
Das
Ei
Volumenberechnung
1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und Viertelkreis
Durch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir als
Randfunktionen
- für die Ellipse:
- für den Kreis:

2.31

 13.69  x2
f
x 
3.7

2
f
x 5.3361  
x  3.7
Das
Ei
Volumenberechnung
1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und Viertelkreis
Somit ergibt sich für das Volumen des elliptischen Teils des Eies:
3.7
2

2.31


 3.72  x2 d x = 41,3508 cm³
Vol
E  
3.7
0
Für den Kreisteil des Eis folgt:
6
Vol
K  

5.3361  
x  3.7d x
2
3.7
= 25,8156 cm³
Das
Ei
Volumenberechnung
1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und Viertelkreis
Also hat unser Ei ein berechnetes Volumen von
41,3508 cm³ + 25,8156 cm³ = 67,1664 cm³
Dies sind 1,6664 cm³ mehr, als unser gemessenes Volumen.
Das
Ei
Volumenberechnung
2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und Viertelkreis
Durch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir als
Randfunktionen
- für die Wurzelfkt.:
f
x 1.430529  x
- für den Kreis:

2
f
x 5.3361  
x  3.7
0.406024
Das
Ei
Volumenberechnung
2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und Viertelkreis
Somit ergibt sich für das Volumen des Teils, den wir als Wurzelfunktion
Dargestellt haben:
3.7



0.406024 2
Vol
W   
1.430529  x
d x = 37,9824 cm³
0
Für den Viertelkreis gilt weiterhin:
Vol(K) = 25,8156 cm³
Das
Ei
Volumenberechnung
2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und Viertelkreis
Also hat unser Ei diesmal ein berechnetes Volumen von
37,9824 cm³ + 25,8156 cm³ = 63,798 cm³
Dies sind 1,702 cm³ weniger, als unser gemessenes Volumen.
Das
Ei
Volumenberechnung
3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und Viertelkreis
Durch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir als
Randfunktionen
- für die Logarithmusfkt.:
- für den Kreis:
f
x 0.655523  ln
x 1.493067

2
f
x 5.3361  
x  3.7
Das
Ei
Volumenberechnung
3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und Viertelkreis
Somit ergibt sich für das Volumen des Teils, den wir als Wurzelfunktion
Dargestellt haben:
3.7

2
Vol
L   
1.493067  0.655523  ln
x
 d x = 38,3979 cm³
0
Für den Viertelkreis gilt weiterhin:
Vol(K) = 25,8156 cm³
Das
Ei
Volumenberechnung
3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und Viertelkreis
Also hat unser Ei diesmal ein berechnetes Volumen von
38,3979 cm³ + 25,8156 cm³ = 64,2135 cm³
Dies sind 1,2865 cm³ weniger, als unser gemessenes Volumen.
Das
Ei
Oberflächenberechnung
Die Oberfläche eines Rotationskörpers berechnet sich durch
b
O  2
 
2
'
f
x 1  f 
x d x
a
wobei f(x) die Randfunktion ist, die um die x-Achse rotiert.
(Netzplan eines Eies)
Das
Ei
Oberflächenberechnung
1. Oberflächenberechnung mit Viertelellipse und Viertelkreis
Es ist
und

2.31

 13.69  x2
f
x 
3.7



2.31
 

 13.69  x2
f '
x 
 x 3.7
0.6243243243

x










= 
13.69  x
2
Für den elliptischen Teil des Eies.
Das
Ei
Oberflächenberechnung
1. Oberflächenberechnung mit Viertelellipse und Viertelkreis
Es ist

2
f
x 5.3361  
x  3.7
und
 
2

 5.3361  
f '
x 
x  3.7
x
=
2

x

7.4
















 
2
2  5.3361  
x  3.7
Für den Kreisteil des Eies.
Das
Ei
Oberflächenberechnung
Es folgt mit Hilfe der Formel für die Oberfläche eines Rotationskörpers, dass das Ei eine Oberfläche von
3.7
  

2
2
0.3897808619

x













O
E 2    0.6243243243  13.69  x  1 
dx
2
x  13.96
0
6
2
2
2.31  
x  3.7
+ 2
3.7
= 80,57 cm²
hat.




 
2

x

7.4












 2 dx



1  
2
2  5.3361  
x  3.7
Das
Ei
Oberflächenberechnung
Berechnet man die Oberfläche des Eies mit Hilfe der anderen beiden
Funktionen, so erhält man als Ergebnis
-
78,63 cm² für die Wurzelfunktion
-
78,52 cm² für die Logarithmusfunktion
Bei der Oberfläche bereitet das reale Nachmessen sehr große
Schwierigkeiten, will man eine gute Genauigkeit erzielen.
Das
Ei
Woher kommt der Unterschied?
Schauen wir uns die drei verschiedenen Funktionen, mit denen wir das Ei
modelliert haben übereinander gelegt an, werden wir es sehen.
y
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
0.6243243243*(13.69 - (x - 3.7)^2)^(1/2)
1.430529*x^0.406024
0.655523*ln(x) + 1.493067
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
x
Das
Ei
Woher kommt der Unterschied?
Im Dreidimensionalen sehen wir den Unterschied noch deutlicher.
Ellipse
Wurzelfunktion
Logarithmusfunktion
Das Ei – Eine Zeitungsmeldung
Schnelle Drehung bringt den Stern Atair in Ei-Form
Pole flachen ab und Äquator beult sich aus
Der Stern Atair im Sternbild Adler dreht sich so schnell, dass er
an den Polen abgeplattet und am Äquator ausgebeult ist. Die EiForm entdeckten Forscher um Gerard van Belle vom Jet
Propulsion Laboratory (JPL) der Nasa mit einem besonders
hochauflösenden Teleskop am Mount Palomar in Kalifornien. Das
Palomar Testbed Interferometer besteht aus drei 50-ZentimeterSpiegeln, die zusammengenommen so scharf blicken wie ein
Teleskop von der Größe eines Fußballfeldes.
Wir verlassen nun den Kühlschrank



Wir sehen auf einem Tisch ein Rollenspiel liegen!
Doch was hat dies mit Körpern zu tun?
Dieses Spiel wird mit Würfeln gespielt die dem normalen W6
nicht gerade sehr ähnlich sind!
Die Rollenspielwürfel


Als Würfel wird im Rollenspiel nicht nur der bekannte
Sechsseiter bezeichnet, wie man ihn aus der Mathematik kennt.
Auch alle anderen regulären Polyeder und wenige andere Körper
werden verwendet!
Das wichtigste Unterscheidungskriterium von Würfeln im
Rollenspiel ist die Anzahl der Seiten. Entsprechend der Anzahl
seiner Seiten wird der normale Würfel mit W6 bezeichnet
Die Rollenspielwürfel


Wobei:

W4 ist ein Tetraeder aus 4 gleichseitigen Dreiecken

W6 ist ein Hexaeder aus 6 Quadraten

W8 ist ein Oktaeder aus 8 gleichseitigen Dreiecken

W10 ist ein Körper aus 10 (nicht rechteckigen) Vierecken

W12 ist ein Dodekaeder aus 12 Fünfecken

W20 ist ein Ikosaeder aus 20 gleichseitigen Dreiecken
Man sieht dass W4,W6,W8,W12,W20 die fünf platonischen Körper sind!
Platon 427-347 v.Chr.




Griechischer Philosoph, Neffe des Kritias, Schüler des Sokrates
und Lehrer von Aristoteles und Plotin.
Um 387 gründete er in Athen eine Akademie,in der Politiker
ausgebildet wurden.
Platon begründete die Staatslehre „Politeia“. In Platons
Idealstaat in dem der Herrscher ein Philosoph sein sollte, gelten
Pflichterfüllung und Gerechtigkeitssinn als höchste Tugend. Alles
wird dem gesellschaftlichen Ganzen untergeordnet
Zitate:


Alles ist Werden. Nichts ist.
Das Denken ist Selbstgespräch der Seele.
Die platonischen Körper

Kurze Übersicht

Tetraeder,Oktaeder,Dodekaeder,Ikosaeder, (Hexaeder=Würfel)




Definition
Formeln
Dualität zwischen Polyedern insb. Zwischen platonischen
Körpern
Warum ist die Anzahl der platonischen Körper beschränkt?
Die platonischen Körper


Seit Platon sind die fünf einzigen möglichen Polyeder bekannt
deren Begrenzungsflächen alle kongurente regelmäßige Vielecke
sind und deren Ecken alle die gleiche Zahl angrenzender
Flachen/Kanten haben.(regelmäßige Polyeder)
Eine kleine Übersicht:
Polyederformel
Die
platonische
Körper
Tetraeder





Das Tetraeder lässt sich in einen Hexaeder einbeschreiben,
wobei die 6 Kanten die Diagonalen der 6 quadratischen Flächen
des Hexaeders bilden. Dabei entspricht die Kantenlänge des
Tetraeders das
-fache der Kantenlänge des Hexaeders
(Pythagoras). Das Volumen beträgt 1/3 des Hexaeders
Das Tetraeder gehört auch zu den Pyramiden mit der
Besonderheit, dass es egal ist auf welcher Seite es steht.
Das Tetraeder lässt sich so in zwei Teile schneiden, dass die
Schnittfläche ein Quadrat ergibt.
Das Tetraeder lässt sich in drei gleiche Teile zerlegen.
Platons Zuordnung:

Feuer
Die
platonischen
Körper
Tetraeder

Volumen:


Oberfläche


Umkugelradius ru und Inkugelradius r


Höhe

,
Die
platonischen
Körper
Oktaeder



Das Oktaeder ist eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit
quadratischer Grundfläche).
Formeln

Volumen:

Oberfläche:

Umkugelradius ru und Inkugelradius ri:
Platons Zuordnung

Luft
Die
platonischen
Körper
Dodekaeder


Genauer Pentagondodekaeder
Die Bezeichnung –dodekaeder wird auch für andere Polyeder mit 12
Flächen verwendet





Rohmbendodekaeder besitzt 12 konkurente Rhomben (Rauten) als Fläche,
14 Ecken und 24 Kanten
Es bildet die typische Kristalform der Granate
Das Trigondodekaeder besitzt 12 konkurente gleichseitige Dreiecke als
Flächen, 8 Ecken und 16 Kanten
Auch bei Geodätischen Kuppeln werden Polyeder verwendet, die vom
Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in
(gleichschenkelige) Dreiecke unterteilt werden
Platons Zuordnung

Weltganzes
Die
platonischen
Körper
Dodekaeder

Volumen:


Oberfläche


Umkugelradius ru und Inkreisradius ri


Die
platonischen
Körper
Ikosaeder


Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm
auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen
Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristalgitter
mit Ikosaedersymmetrie geben!
Vorkommen:




Ein Europafußball besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken.
Aus geometrischer Sicht ist ein Fußball ein Ikosaeder, dessen 12
Ecken zu Fünfecken platt gedrückt wurden, oder ein Dodekaeder
dessen 20 Ecken zu Sechsecken platt gedrückt wurden.
Ein Fußball besitzt somit die volle Symmetrie eines Ikosaeders
Die selben Eigenschaften gelten für C60-Buckminister Fulleren!
Platons Zuordnung

Wasser
Die
platonischen
Körper
Ikosaeder

Volumen:


Oberfläche


Umkugelradius ru und Inkreisradius ri


Die
platonischen
Körper
Dualität


Mit Dualität wird die Beziehung zwei Polyeder zueinander
bezeichnet; man spricht dann von zueinander dualen Polyedern
Beispiel



Hexaeder und Oktaeder
Tetraeder und Tetraeder
Dodekaeder und Isokaeder
Die
platonischen
Körper
Dualität

Betrachten wir den Hexaeder und den Oktaeder genauer!





Die Flächenmittelpunkte der Hexaederflächen definieren die Eckpunkte
eines Oktaeders!
Die Flächenmittelpunkte eines Oktaeders definieren die Eckpunkte eines
Hexaeders
Genauso verhalten sich auch Dodekaeder und Ikosaeder zueinander.
Das Tetraeder hingegen ist sich selbst dual. Dies bedeutet, dass die
Flächenmittelpunkte des Tetraeders die Eckpunkte eines neuen
Tetraeders definieren!
Allgemein:

Die Anzahl der Kanten in jedem Paar ist dieselbe, aber die Anzahl der
Oberflächen des einen ist die Anzahl der Eckpunkte des anderen, und
umgekehrt.
Die
platonischen
Körper
Warum muss die Anzahl begrenzt sein?



Jede Ecke eines konvexen platonischen Körpers zeigt nach
„außen“
Dies ist nur möglich wenn die Innenwinkel ((n-2)*180°) der an
einer Ecke aufeinander treffenden Flächen kleiner als 360° ist.
Denn:



Bei genau 360° bekommt man keine Ecke mehr sondern eine
Fläche
Bei mehr als 360° passt das ganze überhaupt nicht mehr
Mindestens 3 Flächen treffen sich an jeder Ecke eines
Polyeders.(siehe Tabelle)

An den Ecken dürfen nur zusammenstoßen:



3,4 oder 5 Dreiecke
3 Vierecke
5 Fünfecke
Tabelle

Zurück
Die
platonischen
Körper
Warum muss die Anzahl begrenzt sein?

Dies sind wirklich die einzigen Möglichkeiten denn:



6 Dreiecke, 4 Vierecke oder 3 Sechsecke ergeben nämlich schon 360°
4 Fünfecke würden die 360° sogar überschreiten
Das heißt es gibt nur 5 Kombinationen und dies hat zur folge:
Es gibt genau 5 platonische Körper

Anmerkung:

Die platonischen Körper kommen in der Natur nur in angenäherter Gestalt
vor.Mineralogie und Kristallograpfie klassifizieren mit „Idealgestallten“, bei
Ihnen sind aber andere Formen, z.B. Sechsecksäule beim Basalt genauso
wichtig. Die platonischen Körper sind in diesem Sinne eine reine „Erfindung
der Menschen“
Die Reise nähert sich dem Ende


Dieser Abschnitt soll jetzt noch zeigen dass man viele Körper
auch im z.B Nanokosmus findet
Es ist aber hier sehr wichtig dass man, wie schon im ganzen
Vortrag, geometrische Körper nur als Anschauungsmodell
heranzieht!
Beispiel


Platonische Körper

Atome (Elektronenwolken)
Es werden einige ausgewählten Beispiele folgen
Die Reise nähert sich dem Ende


Wir sehen auf einem Tisch eine Pflanze stehen und
zoomen auf ein Blatt!
Wir sehen dort einen Regentropfen der Kugelform
angenommen hat, aber wieso?
Die Reise nähert sich dem Ende

Wir haben ein Lotusblatt erwischt





Wasser, Honig uvm perlen einfach ab!
Das Wasser berührt auf nur wenigen Punkten das Blatt und wegen der
Oberflächenspannung bildet sich eine Kugel
Betrachtet man das Blatt unter einem Rasterelektronen-Mikroskop so
sieht man dies:
Es sind viele kleine Hügel und kleine Kugeln zu erkennen
Weitere Anwendung


Teflon
Sportkleidung
Die Reise nähert sich dem Ende

Kohlenstoff-Nanoröhren sind aus sechseckigen Anordnungen von
Kohlenstoffatomen aufgebaut


Sie können als zukünftige Transistoren in Prozessoren und Speicherchips
dienen
Weitere Beobachtungen unter dem Rasterelekt.-Mikroskop

Photonische Kristalle: Anwendung als Leistungsstarke Leuchtdioden für z.B
Ampeln, Leitsysteme und evtl in Auto-Scheinwerfern
Die Reise nähert sich dem Ende

Weitere Beobachtungen unter dem Rasterelekt.-Mikroskop


Der Hausstaub besteht auch aus vielen kleinen geometrischen Körpern!
Als letztes Beispiel zeigt das folgende Bild ein Hepatitis B Virus es
besteht anschaulich aus Röhren und Schläuchen umgeben von einer
Kugel
Ende

Unsere Reise vom Großen ins Kleine endet nun hier
und wir hoffen wir konnten einen kleinen Einblick in
die Welt der geometrischen Körper und deren
Verknüpfung in die Wirklichkeit geben!