Transcript Теорема Пифагора

Теорема Пифагора
Пребудет вечной истина, как скоро
Её познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далёкий век.
Савельевой Ксении
10а
Хронология развития
теоремы
до Пифагора:
Древний Китай (математическая
книга Чу-пей)
~2400 г. до н. э.
Древний Египет (гарпедонапты
или "натягиватели веревок")
2300 г. до н. э.
Древняя Индия (сборник
«Сульвасутра» )
600 г. до н. э.
Формулировки теоремы
Во времена Пифагора теорема звучала так:
« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе
прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов,
построенных на катетах»
или
« Площадь квадрата, построенного на гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна сумме площадей
квадратов, построенных на его катетах».
Современная
формулировка
« В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов».
СПОСОБЫ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ТЕОРЕМЫ
Существует около 500 различных доказательств этой теоремы
Доказательство Евклида
Дано:
ABC-прямоугольный треугольник
Доказать:
SABDE=SACFG+SBCHI
Доказательство:
Пусть ABDE-квадрат, построенный на
гипотенузе прямоугольного
треугольника ABC, а ACFG и BCHIквадраты, построенные на его
катетах. Опустим из вершины C
прямого угла перпендикуляр CP на
гипотенузу и продолжим его до
пересечения со стороной DE
квадрата ABDE в точке Q; соединим
точки C и E, B и G.
Очевидно, что углы CAE=GAB=A+90°;
отсюда следует, что треугольники ACE и
AGBравны между собой (по двум
сторонам и углу между ними). Сравним
далее треугольник ACE и прямоугольник
PQEA; они имеют общее основание AE
и высоту AP, опущенную на это
основание, следовательно
SPQEA=2SACE
Точно так же квадрат FCAG и
треугольник BAG имеют общее
основание GA и высоту AC; значит,
SFCAG=2SGAB
Отсюда и из равенства треугольников ACE и GBA вытекает
равновеликость прямоугольника QPBD и квадрата CFGA;
аналогично доказывается и равновеликость прямоугольника
QPAE и квадрата CHIB. А отсюда, следует, что квадрат ABDE
равновелик сумме квадратов ACFG и BCHI, т.е. теорема
Пифагора.
Доказательство Эпштейна
Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым
углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.
Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме
квадратов, построенных на катетах
Доказательство.
Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга
на 90° ⇒ они равны.
Треугольники 2 совпадают при осевом отображении
относительно оси EF и параллельном переносе, т.е.
они тоже равны.
При параллельных переносах и поворотах
совпадают и все остальные треугольники, т.е. они
тоже равны между собой.
Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе
равен сумме квадратов, построенных на катетах.
Теорема доказана.
Доказательство Мёльманна
1. Площадь данного
треугольника с одной стороны
равна 0,5ab,
с другой 0,5pr, где
p – полупериметр
треугольника,
B
r – радиус вписанной в него
окружности (r=0,5(a+b-c)).
C
a
b
c
A
C
a
b
B
c
A
Алгебраическое доказательство
Дано: ABC-прямоугольный треугольник
Доказать: AB2=AC2+BC2
Доказательство:
1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.
2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB,
отсюда следует
AB*AD=AC2.
3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит
AB*BD=BC2.
4) Сложив полученные равенства почленно, получим:
AC2+BC2=АВ*(AD + DB)
AB2=AC2+BC2.
ч.т.д.
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придём.
Справка
Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали
очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или
elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не
имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.
Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и
прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть
теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся
называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде
«Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.
Занимательные задачи по теме:
"Теорема Пифагора".
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра
порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И
угол прямой с теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь
фута была широка. Верхушка склонилась у края
реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу
тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика
высота?
Решение.
Пусть CD – высота ствола.
BD = АВ
По теореме Пифагора
имеем
АВ = 5 .
CD = CB + BD,
CD = 3 + 5 =8.
Ответ: 8 футов.
"Случися некому
человеку к стене
лестницу прибрати,
стены же тоя высота
есть 117 стоп. И обреете
лестницу долготью 125
стоп. И ведати хочет,
колико стоп сея
лестницы нижний конец
от стены отстояти
имать."
Пифагор- это не только
великий математик, но и
великий мыслитель своего
времени.