Марина Александровна

Эпиграф к уроку

Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит.

Случай из жизни!!

Бранислав Нушич – сербский писатель-драматург

Три способа формулировки математических утверждений:

1) 2) 3)

Словесный

неудобный; – понятный, но длинный,

Геометрический

– наглядный, но не всегда удобный для вычисления;

Символьный

– краткий, легко запоминающийся.

Квадрат суммы

КВАДРАТ СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ ПЛЮС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(a+b)

2

=(a

2

+2ab + b

2

)

Доказательство: (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a 2 +ab+ab+b 2 = a 2 + 2ab +b 2

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

   Пусть a и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной a+b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами a и b. Площадь квадрата со стороной a+b равна (a+b)² Этот квадрат мы разрезали на 4 части: квадрат со стороной a (его площадь a²), квадрат со стороной b (его площадь b²), 2 прямоугольника со сторонами a и b (площадь каждого прямоугольника равна ab) Значит, (a + b)² = a² + b² + 2ab

Квадрат разности

КВАДРАТ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ МИНУС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(a-b)

2

=(a

2

- 2ab + b

2

)

Доказательство: (a-b) 2 = (a-b) (a b) = a·a - a·b - b·a + b·b = a 2 -ab-ab+b 2 = a 2 -2ab +b 2

Расширение знаний по формулам сокращенного умножения

а 2 + b 2 + с 2

(а + b + с)

2 + 2аb + 2ас + 2bс

=

Геометрическое доказательство

Докажем следующие утверждения

   При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что

( ─a — b)² = (a + b)²; (b — a)² = (a — b)².

РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СУММЫ ОДНОЧЛЕНОВ НА ИХ РАЗНОСТЬ

a

2

-b

2

=(a+b)(a-b)

Доказательство: (a+b)(a-b)= a 2 -ab+ab-b 2 = a 2 -b 2

Доказательство: b a-b

S 1 S 3

b

S-

площадь квадрата со стороной

a.

По рисунку получаем

S=S 1 +S 2 +2S 3

таким образом, получаем

a

S3 S 2

a-b

a 2 =b 2 +(a-b) 2 +2(a-b)b a 2 -b 2 =(a-b)(a-b+2b) a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

b a-b

Доказано

a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Задача – сказка!

У одного царя-батюшки было две дочки и прямоугольное царство, длина которого на 11 км больше ширины. Первой вышла замуж за соседского принца младшая дочка и получила в приданое квадратную часть со стороной равной ширине царства, которое было изначально у батюшки. Старшей дочери, когда она наконец уговорила Иванушку, ее батюшка - царь выделил площадь в 50 км 2 . Вычислите площадь царства, которое было до замужества всех дочерей у царя, если жилплощадь, которая осталась у царя-батюшки равна 49 км 2 .

a b

Было царство Мл. дочь X+11 x Ст. дочь Осталось

S

X*(x+11) X*x 50 49

Некоторые математические фокусы

    Отметим, что на формулах квадрата суммы и квадрата разности основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9.

71 ² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5:

85 ² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·(80 + 10) + 25 = = 80·90 + 25 = 7200 + 25 = 7225

a

2

= а

2

– b

2

+ b

2

= (a – b)(a + b) + b

2

,

где b – дополнение числа а до круглого числа.

Пример.

Вычислите 94

2

1. Круглое число 100.

а = 94, b = 6, а + b = 100, a – b = 88. 2. 94 2 = 94 2 - 6 2 + 6 2 = (94-6)*(94+6) +36=88*100+36=8836.

Вычислите:

1) 95 2 2) 195 2

Быстрый счёт

Но и в формуле разности квадратов есть свои фокусы 29 2 -28 2 =(29-28)(29+28)=1·57=57 73 2 -63 2 =(73+63)(73-63)=136·10=1360 133 2 -134 2 =(133-134)(133+134)= -1·267= 267

«Устный счет» Николая Богданова – Бельского

Главный герой картины

10 2  11 2  12 2  13 2  14 2 365

Задача из второй книги «Начал» Евклида

Доказать, что:

Домашнее задание

1. Вычислите: а) 976 2 ; б) 295 2 .

2. Найти три последовательных натуральных чисел таких, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.

3.

• • Я считаю себя отличным хозяином. Все, что касается домашних дел, я решаю сам. Вот и вчера я купил напольное покрытие, длина которого была на 1,6 метра больше его ширины. При укладке пришлось отрезать вдоль и поперек покрытия полосы шириной 20 см (0,2 м) , в результате чего его площадь сократилась на 1,2 м 2 . Найдите площадь комнаты, которой я любуюсь вот уже второй день?

(Примечание: покрытие легло ровно на всю поверхность пола.)

Спасибо за урок!!!

«Мышление надо упражнять, надо ежедневно снова и снова размышлять, чтобы сохранить жизнь мысли» И.Бехер