Transcript скачать, - 572 кб - Marisite.ru Сайт
Марина Александровна
Эпиграф к уроку
Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само оно не приходит.
Случай из жизни!!
Бранислав Нушич – сербский писатель-драматург
Три способа формулировки математических утверждений:
1) 2) 3)
Словесный
неудобный; – понятный, но длинный,
Геометрический
– наглядный, но не всегда удобный для вычисления;
Символьный
– краткий, легко запоминающийся.
Квадрат суммы
КВАДРАТ СУММЫ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ ПЛЮС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(a+b)
2
=(a
2
+2ab + b
2
)
Доказательство: (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a 2 +ab+ab+b 2 = a 2 + 2ab +b 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть a и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной a+b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами a и b. Площадь квадрата со стороной a+b равна (a+b)² Этот квадрат мы разрезали на 4 части: квадрат со стороной a (его площадь a²), квадрат со стороной b (его площадь b²), 2 прямоугольника со сторонами a и b (площадь каждого прямоугольника равна ab) Значит, (a + b)² = a² + b² + 2ab
Квадрат разности
КВАДРАТ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИЙ РАВЕН СУММЕ ИХ КВАДРАТОВ МИНУС ИХ УДВОЕННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(a-b)
2
=(a
2
- 2ab + b
2
)
Доказательство: (a-b) 2 = (a-b) (a b) = a·a - a·b - b·a + b·b = a 2 -ab-ab+b 2 = a 2 -2ab +b 2
Расширение знаний по формулам сокращенного умножения
а 2 + b 2 + с 2
(а + b + с)
2 + 2аb + 2ас + 2bс
=
Геометрическое доказательство
Докажем следующие утверждения
При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что
( ─a — b)² = (a + b)²; (b — a)² = (a — b)².
РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СУММЫ ОДНОЧЛЕНОВ НА ИХ РАЗНОСТЬ
a
2
-b
2
=(a+b)(a-b)
Доказательство: (a+b)(a-b)= a 2 -ab+ab-b 2 = a 2 -b 2
Доказательство: b a-b
S 1 S 3
b
S-
площадь квадрата со стороной
a.
По рисунку получаем
S=S 1 +S 2 +2S 3
таким образом, получаем
a
S3 S 2
a-b
a 2 =b 2 +(a-b) 2 +2(a-b)b a 2 -b 2 =(a-b)(a-b+2b) a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
b a-b
Доказано
a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Задача – сказка!
У одного царя-батюшки было две дочки и прямоугольное царство, длина которого на 11 км больше ширины. Первой вышла замуж за соседского принца младшая дочка и получила в приданое квадратную часть со стороной равной ширине царства, которое было изначально у батюшки. Старшей дочери, когда она наконец уговорила Иванушку, ее батюшка - царь выделил площадь в 50 км 2 . Вычислите площадь царства, которое было до замужества всех дочерей у царя, если жилплощадь, которая осталась у царя-батюшки равна 49 км 2 .
a b
Было царство Мл. дочь X+11 x Ст. дочь Осталось
S
X*(x+11) X*x 50 49
Некоторые математические фокусы
Отметим, что на формулах квадрата суммы и квадрата разности основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например, можно практически устно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1, 2, 8 и 9.
71 ² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041
Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5:
85 ² = (80 + 5)² = 80² + 2·80·5 + 5² = 80·(80 + 10) + 25 = = 80·90 + 25 = 7200 + 25 = 7225
a
2
= а
2
– b
2
+ b
2
= (a – b)(a + b) + b
2
,
где b – дополнение числа а до круглого числа.
Пример.
Вычислите 94
2
1. Круглое число 100.
а = 94, b = 6, а + b = 100, a – b = 88. 2. 94 2 = 94 2 - 6 2 + 6 2 = (94-6)*(94+6) +36=88*100+36=8836.
Вычислите:
1) 95 2 2) 195 2
Быстрый счёт
Но и в формуле разности квадратов есть свои фокусы 29 2 -28 2 =(29-28)(29+28)=1·57=57 73 2 -63 2 =(73+63)(73-63)=136·10=1360 133 2 -134 2 =(133-134)(133+134)= -1·267= 267
«Устный счет» Николая Богданова – Бельского
Главный герой картины
10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 365
Задача из второй книги «Начал» Евклида
Доказать, что:
Домашнее задание
1. Вычислите: а) 976 2 ; б) 295 2 .
2. Найти три последовательных натуральных чисел таких, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего числа.
3.
• • Я считаю себя отличным хозяином. Все, что касается домашних дел, я решаю сам. Вот и вчера я купил напольное покрытие, длина которого была на 1,6 метра больше его ширины. При укладке пришлось отрезать вдоль и поперек покрытия полосы шириной 20 см (0,2 м) , в результате чего его площадь сократилась на 1,2 м 2 . Найдите площадь комнаты, которой я любуюсь вот уже второй день?
(Примечание: покрытие легло ровно на всю поверхность пола.)
Спасибо за урок!!!
«Мышление надо упражнять, надо ежедневно снова и снова размышлять, чтобы сохранить жизнь мысли» И.Бехер