Transcript формулы сокращенного умножения

ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Подготовили:
Ученицы 7 «а» класса
МОУ СОШ №11
Дурапова Валерия
Хан Анна
Руководитель:
Клычникова О.А.
МЫ, ДУРАПОВА ВАЛЕРИЯ СЕРГЕЕВНА И ХАН
АННА ВЛАДИМИРОВНА СТАВИМ ЦЕЛЬ
ПРОЕКТА:
Узнать
немного истории о
ныне хорошо известных
формулах
Исследовать
геометрические
доказательства сложных
формул
Вывести для себя полезную
информацию
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ.
ЧТО ЭТО?
Формулы сокращённого умножения многочленов
— часто встречающиеся случаи умножения
многочленов.
ИСТОРИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

Формулы сокращенного умножения были
известны еще 4000 лет назад. Ученые Древней
Греции представляли величины не числами
или буквами, а отрезками прямых. Вместо
«произведение аb» говорилось «прямоугольник,
содержащийся между а и в»,вместо а2
«квадрат на отрезке а».В книге Евклида
«Начало» правило квадрата суммы
выражается так: «если прямая линия каклибо рассечена точкой С, то квадрат на всей
прямой равен квадратам на отрезках вместе
с дважды взятым прямоугольником ,
заключенным между отрезками»
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
В геометрической алгебре величины стали
изображать
с
помощью
отрезков
и
прямоугольников.
Складывать можно было только однородные
величины:
-отрезки с отрезками. Сложение отрезков
осуществлялось путем приставления одного из
них к другому вдоль прямой, вычитание - путем
отсечения от большего отрезка части, равной
меньшему отрезку.
-прямоугольники с прямоугольниками. В этом
случае
возникали
трудности,
ибо
для
объединения
двух
прямоугольников
в
один
необходимо, чтобы у них была пара
одинаковых сторон.
Умножение осуществлялось путем построения
прямоугольника на соответствующих отрезках.
Деление приводило к понижению размерности и
выполнялось с помощью все того же “приложения
площадей”.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
ФОРМУЛ
СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ
(a+b)2=a2+2ab+b2
Построим квадрат со стороной a, его площадь S1 = a2.
Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со
стороной a+b, площадь которого S =(a+b)2
Вместе с тем,
площадь квадрата со стороной a+b (S)
b
S3
S4
состоит
из площади квадрата со стороной a
(S1),
площади квадрата со стороной b (S4) и
двух прямоугольников с площадями ab
a
S1
S2
(S2, S3).
a
b
Тогда S = S1 + S2 + S3 + S4
или
(a+b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab +
b2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ
(a-b)2=a2-2ab+b2
a-b
Построим квадрат со стороной a, его площадь S = a2.
Отложим на сторонах квадрата отрезок b, получим квадрат со
а-b, площадь которого S1 =(a-b)2
Проведем отрезки, соединяющие концы отрезков a-b и b на
каждой из сторон.
Площадь квадрата со
b
стороной a (S) состоит из
S3
b S4
b
площади квадрата со
стороной a-b (S1), площади
квадрата со стороной b (S4) и
a-b
двух прямоугольников с
a
площадями (a-b)b (S2, S3).
S1
S2
Тогда S1 = S - S2 - S3 - S4
или
2 = a2 - (a-b)b - (a-b)b (a-b)
b
b2 =
a2 – ab + b2 – ab + b2 - b2 =
a
a2 - 2ab + b2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ
a2-b2=(a-b)(a+b)
a-b
Построим квадрат со стороной a и разделим его на квадрат со
стороной b и два прямоугольника со сторонами a-b, a и a-b,
b, соответственно.
S3
S2
b
S1
b
a-b
a
a
Площадь фигуры, определяемая
как разность площади квадрата со
стороной a (S) и площади квадрата
со стороной b (S1) равна сумме
площадей прямоугольников со
сторонами
a-b, a (S2) и a-b, b (S3).
Тогда S - S1 = S2 + S3
или
a2 – b2 = (a - b)a + (a - b)b = (a - b)(a +
b).
Доказательство формулы
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3
V = V1 + V2 + V3 + V4
(a+b)3 = a3 + b(a+b)(a+b) + a(а+b)b +ааb = a3 + b(a2+2аb+ b 2)+aab+abb+aab=
a3 + a2 b+ 2аb 2+ b3 + a2 b+ аb 2 + a2 b=a3 + 3a2 b+ 3аb 2+ b3.