Transcript 4Algoritma-Golden-Section

Algoritma Golden Section Search untuk
Mencari Solusi Optimal pada
Pemrograman Non Linear Tanpa
Kendala
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
PENDAHULUAN
Pemrograman nonlinear tanpa kendala dengan satu peubah :
max (atau min)
Masalah:
- Belum tentu f ’(x) = 0 (f.o.c) ada pada selang tersebut
- Solusi f ’(x) = 0 (f.o.c) pada selang tersebut tidak dapat
diselesaikan secara langsung
Algoritma ini berusaha menyelesaikan permasalahan di atas,
selama fungsi mempunyai sifat tertentu.
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Algoritma Golden Section Search (kasus
maksimisasi)
Syarat : f(x) harus bersifat unimodal pada [a, b],
artinya jika x* adalah titik optimal pada [a, b]
maka
• f(x) adalah fungsi monoton naik pada interval
[a, x*]
• f(x) adalah fungsi monoton turun pada
interval [x*, b]
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Pada kasus Max
• Jika f(x) adalah fungsi unimodal pada [a, b],
maka hanya ada satu lokal maksimum pada [a,
b], dan lokal maksimum tersebut adalah solusi
permasalahan optimasi.
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Kasus sebaliknya, jika f(x) bukan fungsi
unimodal pada [a, b]  solusi tidak dapat
diperoleh.
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Algoritma Golden Section Search
Berdasarkan sifat f(x) yang unimodal pada selang [a,b],
Konsep Dasar algoritma adalah mempersempit selang
daerah asal, sehingga mencapai titik optimal
Interval-interval di mana solusi optimal X berada:
selang ketidakpastian
a
Penyempitan selang
X x4
x1 x3
x2
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
b
Beberapa Kasus Sifat Fungsi untuk
Selang Ketidakpastian yang lebih
sempit di dalam [a, b]
• Untuk x1 dan x2 di dalam [a, b]
• Kasus I: f(x1) < f(x2)
– f(x) fungsi naik pada sebagian [x1, x2] dan unimodal
– Titik optimal bukan pada [a, x1], akan tetapi pada [x1, b]
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Untuk x1 dan x2 di dalam [a, b]
• Kasus II: f(x1) = f(x2)
– f(x) fungsi turun pada sebagian selang [x1, x2]
– Karena sifat unimodal, titik optimal pasti tidak
lebih dari x2
– Kemungkinan letak titik optimal [a, x2]
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Untuk x1 dan x2 di dalam [a, b]
• Kasus III: f(x1) > f(x2)
– f(x) fungsi turun pada sebagian [x1, x2] dan
unimodal
– Titik optimal bukan pada [x2, b], akan tetapi pada
[a, x2]
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Prosedur Penyempitan Selang
Ketidakpastian
1. Dimulai dengan [a, b] sebagai selang
ketidakpastian pertama. Evaluasi sifat f(x1) dan
f(x2)
2. Tentukan kasus yang mana (1 sampai dengan 3)
sebagai dasar penyempitan selang
ketidakpastian
3. Evaluasi sifat f(x) pada dua titik di dalam selang
ketidakpastian yang baru. Kembali ke langkah 2
sampai selang ketidakpastian relatif sangat kecil
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Penentuan Ujung Kiri x1 dan Ujung Kanan
x2 selang Ketidakpastian yang baru
• x1 : Pindahkan ujung kanan selang lama (b) ke arah
kiri sejauh r bagian selang lama.
x1= b – r(b – a)
• x2 : Pindahkan ujung kiri selang lama (a) ke arah
kanan sejauh r bagian selang lama
x2= a + r(b – a)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Selang ketidakpastian setelah iterasi ke k: Ik
• Panjang selang ketidakpastian setelah iterasi
ke k: Lk
• Untuk iterasi 0 , L0 =b – a
• Pada iterasi pertama bisa saja I1=[a, x2] atau
I1=[x1, b]
• Panjang selang:
L1= x2 – a = a + r(b – a) – a = r(b – a) atau
L1= b – x1 = b – (b – r(b – a)) = r(b – a)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Ilustrasi prosedur selanjutnya
• Dari selang terbaru, akan ditentukan dua titik
baru x3 dan x4 di mana f(x) akan dievaluasi
• Kasus 1: f(x1) < f(x2)
– I1=[x1, b], L1= b – x1 = r(b – a)
• x3 = b – rL1 = b – r(b – x1 )= b – r2(b – a)
• x4 = a + rL1 = a + r(b – x1 )= a + r2(b – a)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
• Kasus 2: f(x1) > f(x2)
– I1=[a, x2], L1= x2 – a = r(b – a)
• x3 = x2 – rL1 = b – r(x2 – a)= b – r2(b – a)
• x4 = a + rL1 = a + r(x2 – a) = a + r2(b – a)
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Keistimewaan Alogritma Golden
Section Search
• Tetapan r = 0.618 adalah solusi dari persamaan
kuadrat r2 + r =1
• Atau r2 =r – 1, dengan besaran ini:
• Pada kasus 1 akan berlaku:
• x3 = b – r2(b – a) = b – (1 – r) (b – a)
= a + r(b – a) = x2
• Titik kiri dalam selang baru (x3 ) adalah titik
kanan dalam selang lama (x2 )
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Keistimewaan Alogritma Golden
Section Search
• Pada kasus 2 akan berlaku:
• x4 = a + r2(b – a) = a + (1 – r) (b – a)
= b – r(b – a) = x1
• Titik kanan dalam selang baru (x4 ) adalah titik
kiri dalam selang lama (x1 )
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Keistimewaan Alogritma Golden
Section Search
• Lebar selang pada iterasi ke k mempunyai
bentuk khusus:
– Lk =rk(b – a) = rk L0
• Sehingga jika iterasi dihentikan sampai Lk < ε
maka:
• rk L0 < ε ↔ k < (ln ε – ln L0)/ln r
• Jumlah iterasi dapat ditetapkan terlebih
dahulu dengan hubungan tersebut
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Soal
• Terapkan algoritma Golden Section untuk
menentukan:
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc