EQUAÇÕES BÁSICAS Lecture 4

Equação de Estado

A equação de estado para um gás ideal é

p =



RT

(1) Onde, p,  . R e T são a pressão, a densidade, a constante universal dos gases para o ar seco e a temperatura absoluta, respectivamente.

Em certas ocasiões, pode ser utilizado o volume específico (  =1/  ), no lugar da densidade, levando a p  = RT (2) Se o ar contém vapor d` água, a equação de estado torna-se p  = RT v Onde T v T v é a temperatura virtual definida como = T (1+ 0.61w) (3) (4) Onde w é a a razão de mistura definida como a razão entre a massa do vapor d` água num dado volume e a massa de ar seco neste mesmo volume.

Primeira Lei da Termodinâmica

A primeira lei da termodinâmica pode ser expressa da seguinte maneira  H = du +  W (5) onde  H, du e considerado.

 W são, respectivamente, o calor adicionado por unidade de massa, a mudança da energia interna por unidade de massa e o trabalho realizado por unidade de massa, com relação ao sistema e Para um gás invíscido  W = p d   H = du + p d  A mudança da energia interna por unidade de massa pode ser escrita como du = C v dT (6) onde Cv é o calor específico a volume constante. Substituindo esta expressão na equação (6), obtêm-se  H = C v dT + p d  (7) O calor específico a volume constante é relacionado ao calor específico a pressão constante e à constante dos gases para o ar seco pela expressão C p = C v + R (8) Usando esta expressão, (7) pode ser escrita como  H = C p dT – RdT + pd  , mas pela equação do estado nos temos pd  +  dp = RdT. Entao,  H = C p dT –  dp (9)

Equação do Movimento Horizontal

A equação do movimento horizontal na forma vetorial, em coordenadas cartesianas, pode ser escrita como dV/dt + f k x V = – 1/   h p + F (10) Onde V = u i + v j é o vetor velocidade horizontal, f = 2  sin  Coriolis,  é a velocidade angular da rotação da terra, força de fricção, k é o vetor unitário na vertical, and  h  é o parâmetro de é latitude, F é a é o operador del horizontal, no qual em coordenadas cartesianas é definido como:  h

= i

 /  x + j  /  y + k  /  z Desprezando os efeitos de fricção e reescrevendo a equação (10) em coordenadas de pressão, tem-se dV/dt + f k x V = –  p  onde  = gz é a altura geopotencial (11)

Equação Hidrostática

A equação hidrostática (ou aproximação) pode ser escrita como  p/  z = –  g (12) Na expressão (12) a força do gradiente de pressão vertical por unidade de massa é balanceada pela aceleração da gravidade. Para movimentos de grande escala, que resultam de sistemas de escala sinótica, esta expressão é válida. Para sistemas convectivos ou no caso de escoamento em regiões com terreno rugoso (montanhas), acelerações verticais são importantes e a expressão (12) não é válida.

Equação Hipsométrica (ou da Espessura)

A equação hidrostática pode ser integrada para obter a equação hipsométrica ou da espessura. Usando a equação do estado (p =  RT) e substituindo  (  =P/RT) na equação (12), obtemos  p/  Z = – pg/RT (13) Equação (13) pode ser escrita como  lnp/  Z = – g/RT a qual, integrada no nível (p 1 , z 1 ) até o nível (p 2 , z 2 ) resulta em: ⌠ p2 ⌠ z2 ⌡ p1 d lnp = –g ⌡ z1 dz/RT Integrando e aproximando T por T m ln (p 2 /p 1 ) = g (z 2 – z 1 )/(RT m ) (temperatura média para camada de z 1 a z 2 ), tem-se Portanto, para a espessura (z 2 z 2 – z 1 = (RT m /g) ln(p 1 /p 2 ) – z 1 ) segue que (14) (15) (16) (17) Equação (17) é chamada a equação hipsométrica ou da espessura. É utilizada operacionalmente no cálculo da altura de um dado nível de pressão a partir dos dados de radiossondagem. Na equação (17) T m deveria ser, na realidade, T vm (temperatura virtual media da camada).

Equação (17) pode também ser utilizada para inferir importantes propriedades da atmosfera terrestre. Dados dois níveis de pressão, a espessura, z em seções futuras. 2 – z 1 , correspondente a essas superficies de pressão é diretamente proporcional à temperatura media da camada. Esse ponto sera abordado varias vezes

Equação da Continuidade

A equação da continuidade pode ser escrita da seguinte forma 1/  d  /dt +   V = 0 (18) onde     V é a divergência tridimensional da velocidade, que em coordenadas cartesianas é dada por

V =

 u/  x +  v/  y +  w/  z (19) e d  /dt é a variação de massa acompanhando a parcela de ar.

Para o escoamento incompressível, temos d  /dt = 0 and   V = 0 A relação aproximada entre ω e w é ω ≈ w  p/  z ou ω ≈  g .

(20) A equação da continuidade em coordenadas de pressão é matematicamente mais simples, ou seja:  p 

V +

 /  p = 0 (21) onde,  p  V =  u/  x p +  v/  y p e  = dp/dt é o movimento vertical em coordenadas de pressão.

Equação da Vorticidade

A equação da vorticidade em coordenadas cartesianas pode ser escrita da seguinte forma d(ζ+f)/dt = –(ζ+f)  h  V+(∂w/∂y ∂u/∂z–∂w/∂x ∂v/∂z)+(∂p/∂x ∂α/∂y–∂p/∂y ∂α/∂x) (22) (a) (b) (c) onde ζ é a componente vertical da vorticidade relativa e (ζ + f) é a componente vertical da vorticidade absoluta.

O termo (a) representa as mudanças na vorticidade devido a convergencia e divergencia do campo do vento o termo (b) representa as mudanças na vorticidade devidas ao movimento vertical diferencial num campo de vento com cisalhamento vertical (termo de inclinação); o termo (c) representa as mudanças na vorticidade causadas pelos gradients de densidade ao longo da direção do movimento (termo solenoidal).

Escrevendo a equação (22) em coordenadas de pressão, o termo solenoidal desaparece, ficando d(ζ + f)/dt = –(ζ + f)  p  V + (∂ω/∂y ∂u/∂p –∂ω/∂x ∂v/∂p) (23) o termo de inclinação (“tilting”) é pequeno para escoamento de escala sinótica. Este termo é, contudo, localmente importante quando ocorre desenvolvimento rápido de um ciclone (ciclogênese) e também para fenômenos de mesoescala, tais como um cumulonimbus em rotação, tornados e convecção em geral.

COORDENADAS NATURAIS

O sistema de coordenadas naturais é um dos mais úteis para os meteorologistas sinóticos. Os eixos deste sistema são obtidos girando os eixos x e y do sistema de coordenadas cartesianas tal que o eixo x fique na direção do movimento, denotado por s (ver figura). Mediante rotação o eixo y fica na direção n, normal e à esquerda do movimento do ar. Os vetores unitários nas direções s e n, respectivamente, estabelecem a seguinte relação: s x n = k (24) onde k é o vetor unitário na vertical. Por convenção, o ângulo de rotação (δ) é positivo se a rotação for anti-horária.

Relação entre as coordenadas naturais e as coordenadas cartesianas

• No sistema de coordenadas naturais os eixos mudam de orientação à medida que o movimento do ar muda de direção. Os vetores unitários se n podem então ser função do tempo. • Uma vantagem óbvia do sistema de coordenadas naturais é que o vetor velocidade horizontal tem somente uma componente, aquela na direção s. Então, V = Vs (25) É conveniente usar a equação do movimento em coordenadas de pressão pois os dados sinóticos de ar superior são geralmente fornecidos em níveis de pressão constante.

Equação do Movimento

(

Coordenadas Naturais

) A equação vetorial do movimento em coordenadas de pressão (equação 11) pode ser escrita como: dV/dt + fk x V = –  p  (26) onde f é o parâmetro de Coriolis e  é a altura geopotencial (gz) de uma dada superfície de pressão.

• Os vetores unitários s e n podem ser expressos em termos dos vetores i e j, conforme segue:

s = s

x

n = n

x

i + s

y

i + n

y

j j

s x s y n x n y onde = s = s ● ● = n ● i = | s | | i | cosδ = cosδ, j = | s | | j | cos (90-δ) = senδ, i = | n | | i | cos(90+ δ) = – senδ, = n ● j = | n | | j | cos(δ) = cosδ Desta forma, s = cosδ i + senδ j n = – senδ i + cosδ j Substituindo (25) em (26), obtêm-se dVs/dt + fk x Vs = –  p  Em coordenadas naturais,  p = s ∂/∂s p + n ∂/∂n p (27)

Substituindo  p = s ∂/∂s p + n ∂/∂n p em (27), obtêm-se dVs/dt + fk x Vs = – s ∂  /∂s – n ∂  /∂n (28) onde as derivadas parciais são avaliadas numa superfície de pressão constante.

O primeiro termo no lado esquerdo da expressão (28) pode ser escrito da seguinte forma: dVs/dt = s dV/dt + V ds/dt Utilizando a expressão para s em termos de i and j (slide anterior), ds/dt = (– i sinδ + j cosδ)dδ/dt = n dδ/dt Porém, dδ/dt é a velocidade angular relativa do ar que pode expressa como d  /dt = (d  /ds) (ds/dt) onde dδ/ds = 1/R, R é o raio da curvatura do escoamento (positivo para escoamento no sentido anti-horário) δ R

Note

: A mudança angular, se o fluxo completa o círculo, é 2π. A distância que a parcela de ar atravessaria é a circunferência do círculo 2πR. Então, dδ/ds = 2π/ 2πR = 1/R

ds/dt = V, desta forma dδ/dt reduz para dδ/dt = V/R e dVs/dt = s dV/dt + n V 2 /R (29) Assim, a aceleração do vetor velocidade em coordenadas naturais é dada pela soma de duas acelerações, uma orientada ao longo do escoamento (aceleração da magnitude) e a outra orientada ortogonal ou na direção normal ao escoamento (aceleração centripeta).

Agora considerando o termo aceleração de Coriolis fk x Vs = fVk x s = fVn (30) Mediante substituição de (29) e (30) em (28), obtêm-se a equação do movimento em coordenadas naturais: sdV/dt + nV 2 /R + fVn = – s ∂  /∂s – n ∂  /∂n (31) O produto escalar de (31) com os vetores unitários s e n fornece, respectivamente, dV/dt = – ∂  /∂s V 2 /R + fV = – ∂  /∂n (32) (33)

É evidente em (32) que acelerações na magnitude da velocidade somente se verificam quando a altura geopotencial varia na direção do movimento do ar. Considere-se a análise esquemática da altura geopotencial mostrada na Figura abaixo para o HS e assuma que que a velocidade do ar é maior do que a velocidade de deslocamento do cavado  4  3

C A B

40 50 isotacas  2 Cavado  1 No ponto A o vento tem velocidade maximo e o vetor do vento é paralelo aos contornos de altura geopotencial,  /  s = 0 e dV/dt = 0). No ponto B, a velocidade esta diminuindo seguindo o movimento do ar (dV/dt < 0) o que necessita que  /  s > 0. De modo semelhante, no ponto C, dV/dt > 0 e  /  s < 0. Uma vez que (32) nao envolve f, estes resultados aplicam-se a ambos os hemisférios. Em geral, o movimento do ar, numa superfície de pressão constante, acelera-se quando o movimento é em direção a alturas geopotenciais mais baixas e desacelera-se quando o movimento é em direção a alturas geopotenciais mais altas. O escoamento é dito uniforme, na direção do movimento, se dV/dt = 0 em todos os pontos.

Se o escoamento for uniforme, então a equação do movimento em coordenadas naturais reduz-se a (3.11) e diz-se que o vento encontra se em balanço gradiente. Este tipo de vento é chamado vento gradiente, frequentemente denotado pelo subscrito gr. Então, V gr 2 /R + fV gr = – ∂  /∂n (34) Se o escoamento for retilínio (o escoamento atmosférico seguindo grandes círculos na Terra) então o termo da aceleração centripeta é zero. O escoamento resultante é dito estar em balanço geostrófico, e este tipo de vento é chamado vento geostrófico, frequentemente denotado pelo subscrito g. Então, fV g = – ∂  /∂n (35) Em geral, em virtude do ar frequentemente realizar movimentos curvilíneos, associado com cavados e cristas, o vento gradiente é uma aproximação melhor do que o vento geostrófico para o vento observado. Em regiões onde a curvatura é pronunciada, o vento observado pode variar de 50% a 200% do vento geostrófico

No Hemisfério Norte (f > 0)  deve diminuir na direção n positiva (∂  /∂n < 0), e no Hemisfério Sul (f < 0)  deve aumentar na direção n positiva.

HN (f>0)

n L ∂  /∂n < 0

HS (f<0)

n H ∂  /∂n > 0 H L

Se o escoamento ciclônico for definido como o movimento do ar curvilíneo que representa no seu centro baixo valor de altura geopotencial, então o escoamento ciclônico corresponde a R > 0 no HN e R < 0 no HS

HN HS

N Escoamento Ciclônico N De modo semelhante, defini-se o escoamento anticiclônico como um movimento curvilíneo que representa no seu centro alto valor de altura geopotencial. O escoamento anticiclônico corresponde a R < 0 no HN e R > 0 no HS

HN HS

Escoamento Anticiclônico N N

Substituindo (35) em 34, temos V gr 2 /R + fV gr = fV g que pode ser re-escrita como V gr – V g = - V gr 2 /fR Para o escoamento ciclônico (no HN: R>0, f> 0; no HS: R<0, f<0), o vento gradiente é menor que o vento geostrófico (V gr – V g < 0), e temos escoamento subgeostrófico Para o escoamento anticiclônico (no HN: R<0, f>0; no HS: R>0, f<0), o vento gradiente é maior que o vento geostrófico(V gr – V g > 0), e temos escoamento supergeostrófico

N

NH

escoamento ciclônico (

subgeostrófico)

HS

N N escoamento anticiclônico (

supergeostrófico)

N

Divergência e Convergência

Em geral, a divergência da velocidade horizontal é uma grandeza difícil de medir acuradamente, em parte por causa dos erros nas medidas dos ventos e em parte porque sua representação matemática é a soma de dois termos que geralmente são de tamanhos comparáveis porém de sinais opostos. Também, neste caso o uso de coordenadas naturais fornece uma representação mais útil para o meteorologista sinótico. Em coordenadas naturais a divergência da velocidade horizontal pode ser expressa como:  p  V = s∂/∂s  Vs + n∂/∂n  Vs Expandindo os termos no lado direito da equação acima, obtêm-se: 0  p  V = s  s ∂V/∂s + Vs  ∂s/∂s + ∂V/∂n n  s + Vn  ∂s/∂n  p  V = ∂V/∂s + Vs  0 n ∂δ/∂s + Vn  n ∂δ/∂n or  p  V = ∂V/∂s + V∂δ/∂n (a) (b) (36) Onde (a) é a variação na magnitude da velocidade na direção do movimento e (b) representa a confluência ou difluência do escoamento do ar.

Para confluência, ∂δ/∂n é negative, and para difluência ∂δ/∂n é positivo. Em geral (a) and (b) tem sinais opostos (velocidade aumenta na direção do escoamento para confluência, e velocidade diminui na direção do escoamento para difluência)

N δ<0

Corrente de Jato

δ>0 Jet δ<0 δ>0

Região de entrada do Jato

∂δ/∂n < 0, Confluência ∂V/∂s > 0

Região de saída Jato

∂δ/∂n > 0, Difluência ∂V/∂s < 0

Vorticidade

• A curvatura ou rotação apresentada pelo movimento do ar relativo à Terra é chamada vorticidade relativa, que matemáticamente é expressa como Vorticidade Relativa = 

x V

(37) Em coordenadas naturais, a componente vertical de (37) torna-se ζ = k  [(s ∂/∂s + n ∂/∂n) x Vs (38) Expandindo o lado direito da equação(38), temos ζ = k  (s x ∂(Vs)/∂s + n x ∂Vs/∂n) Expandindo as derivadas e usando as expressões para s e n em termos de i e j s = cosδ i + senδ j n = – senδ i + cosδ j obtêm-se,

ζ = k  (Vs x n ∂δ/∂s + s x s ∂V/∂s + Vn x n ∂δ/∂n + n x s ∂V/∂n) Como s x n = k, s x s = n x n = 0, n x s = -k e ∂δ/∂s =1/R, a velocidade relativa em coordenadas naturais pode ser escrita como: ζ = V/R – ∂V/∂n (39) onde V/R é definido como a vorticidade devido à curvatura e  V/  n é definido como a vorticidade devida ao cisalhamento As figuras a seguir mostram exemplos da vorticidade devido à curvatura e devido ao cisalhamento, tanto no NH e SH.

(a) (b) N

Vorticidade devido à Curvatura

NH SH V/R>0 N V/R<0 Vorticidade relativa

ciclônica

devido ao escoamento curvado N V/R<0 N V/R>0 Vorticidade relativa

anticiclônica

devido ao escoamento curvado

(a) n

Vorticidade devido ao Cisalhamento

HN

– ∂V/∂n >0

HS

– ∂V/∂n <0 Vorticidade relativa

ciclônica

devido ao cisalhamento horizontal (b) – ∂V/∂n <0 Vorticidade relativa

anticiclônica

devido ao cisalhamento horizontal