Transcript 02_TENZORJI
TENZORJI Fizikalne zakone v mehaniki kontinuuma moramo vpeljati v obliki, ki je neodvisna od koordinatnega sistema. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS POGLAVJE 2, DEL A Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DEL A: INDEKSI INDEKSI Obravnavajmo vsoto s a1 x1 a2 x2 ... an xn Napišimo jo na kompakten način n s ai xi i 1 Naslednje enačbe imajo povsem enak pomen n s ajxj j 1 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 n s am xm m 1 n s a k xk k 1 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS EINSTEINOVA KONVENCIJA SEŠTEVANJA n s ai xi ai xi a j x j am xm ak xk i 1 Če se indeks ponovi dvakrat, se po njem sešteva. V okviru te konvencije naslednji izrazi niso definirani. ai bi xi a j bj x j ambm xm ak bk xk Se pravi, da moramo za seštevanje tovrstnih izrazov uporabiti n s ai bi xi i 1 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS V nadaljevanju za indeks n definiramo vedno vrednost 3 Tako velja aii a11 a22 a33 an xn a1 x1 a2 x2 a3 x3 Konvencijo seštevanja lahko uporabimo za seštevanje dvojne vsote, trojne vsote, itd. Tako lahko napišemo 3 3 aij xi x j i 1 j 1 ali aij xi x j To v celoti ekspandirano daje devet členov a11 x1 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a21 x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3 a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x3 x3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Vsoto sedemindvajsetih členov dobimo, če napišemo 3 3 3 aijk xi x j xk i 1 j 1 k 1 ali aijk xi x j xk PROSTI INDEKSI Obravnavajmo naslednji sistem treh enačb x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1' a1m xm x2' a21 x1 a22 x2 a23 x3 x2' a2 m xm x3' a31 x1 a32 x2 a33 x3 x3' a3m xm Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 xi' aim xm MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Indeks, ki se pojavi le enkrat v enačbi imenujemo prosti indeks. Če ne definiramo drugače, ima prosti indeks vrednosti 1,2,3. Preprosta enačba za definiranje komponent vektorja je ai a ei Preprosta enačba za definiranje vektorja z njegovimi komponentami je a ai ei Kartezijev koordinatni sistem e1 , e2 , e3 ei e j 0; i j ei e j 1; i j Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 ei e j ij kasneje v tekstu definiramo ij MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Obravnavajmo naslednji primer ei' Qmi em Ta primer v dolgi obliki predstavlja e1' Q11e1 Q21e2 Q31e3 e'2 Q12e1 Q22e2 Q32e3 e3' Q13e1 Q23e2 Q33e3 Prosti indeks, ki nastopa v kateremkoli členu enačbe mora biti enak. Naslednje enačbe imajo smisel ai ki ci ali Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 ai bi c j d j fi MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS V primeru, da v enačbi kot sledi, nastopata dva prosta indeksa Tij Aim Ajm Potem je zgornji izraz okrajšava za devet enačb T11 A1m A1m A11 A11 A12 A12 A13 A13 T12 A1m A2 m A11 A21 A12 A22 A13 A23 T13 A1m A3m A11 A31 A12 A32 A13 A33 T21 A2 m A1m A21 A11 A22 A12 A23 A13 ................................................................. T33 A3m A3m A31 A31 A32 A32 A33 A33 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS KRONECKERJEVA DELTA 1 if i j ij 0 if i j 11 22 33 1 12 13 21 23 31 32 0 Matrika Kroneckerjeve delta je identična matrika 11 12 13 1 0 0 ij 21 22 23 0 1 0 31 32 33 0 0 1 ii 1 1 1 3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Velja tudi 1m am 11 a1 12 a2 13 a3 a1 2 m am 21 a1 22 a2 23 a3 a2 3m am 31 a1 32 a2 33 a3 a3 im am ai Velja tudi 1mTmj 11 T1 j 12T2 j 13 T3 j T1 j 2 mTmj 21 T1 j 22T2 j 23 T3 j T2 j imTmj Tij 3mTmj 31 T1 j 32T2 j 33 T3 j T3 j Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Velja tudi im mj ij im mn nj ij Če imamo ortogonalne pravokotne vektorje velja ei e j ij (to smo uporabili smo že prej) Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS PERMUTACIJSKI SIMBOL Permutacijski simbol definiramo kot ijk 1 sodo 1 glede na to, ali i, j, k tvorijo liho permutcijo 1, 2,3 0 ne tvorijo 123 231 312 1 indekse premikamo v eno ali drugo smer 213 321 132 1 dva indeksa zamenjamo med seboj 111 112 222 ... 0 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Opazimo ijk jki kij jik kji ikj Če je so bazni vektorji desnosučni, velja e1 e2 e3 e2 e1 e3 e2 e3 e1 e3 e2 e1 Omenjeno napišemo v skrajšani obliki kot ei e j ijk ek jki ek kij ek ei e j jik ek kji ek ikj ek Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Naj velja a ai ei b bi ei Potem velja a b ai ei bi ei ai b j ei e j ai b j ijk ek Dokažemo lahko tudi naslednjo koristno enakost, ki jo večkrat uporabljamo ijm klm ik jl il jk Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS MANIPULACIJE Z INDEKSI Substitucija: ai Uimbm bi Vim cm drugo enačbo spravimo v prvo enačbo Spremenimo prosti indeks v izrazu bm Vmn cn bm Vmm cm ne!!! Tako dobimo ai U imVmn cn Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Množenje: p ambm q cm dm p q ambm cm d m To ne pomeni prav nič, ker se indeks 4x ponovi! p q ambm cm d m Ta izraz sploh ni definiran! 3 p q am bm cm d m m 1 p q anbn cm d m p q ambm cn d n To je O.K. Pazimo, da se indeks ne ponovi tam, kjer ni smiselno, da se ponovi. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Skalarni produkt: a ai ei b bi ei a b ai ei b j e j ai b j ei e j Ekvivalentno. Ampak, en indeks a b a j e j bi ei a j bi e j ei smo morali spremeniti iz i v j ali j v i V primeru, da so bazni vektorji pravokotni, velja a b ai ei b j e j ai b j ei e j ai b jij a b ai bjij ai bi a j bj a1b1 a2b2 a3b3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Urejanje množenja (faktorizacija): Tij n j ni 0 Z uporabo Kroneckerjeve delte lahko napišemo ni ij n j Nato dobimo Tij n j ij n j 0 T ij ij n j 0 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Krajšanje izrazov: Tii T11 T22 T33 Tij ij 2 Eij drugo enačbo seštejemo diagonalnih indeksih Tii ii 2 Eii 3 2 Eii Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS POGLAVJE 2, DEL B Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DEL B: TENZORJI TENZORJI – LINEARNE TRANFORMACIJE Naj bo T tranformacija, ki transformira katerikoli vektor a v c in b v d . Napišimo Ta c Tb d T predstavlja linearno transformacijo, če velja: Ta b Ta + Tb T a Ta a in b sta poljubna vektorja, je poljuben skalar Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Linearno transformacijo T lahko definiramo tudi takole T a b Ta + Tb Če dva tenzorja T in S transformirata poljubni vektor a na identični način, sta oba tenzorja enaka. Ta Sa T = S Vendar velja poudariti, da dva različna tenzorja lahko transformirata specifična vektorja (ne pa poljubna vektorja) na identičen način. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS KOMPONENTE TENZORJA Transformirajmo komponente baznih vektorjev Kartezijevega koordinatnega sistema e1 , e2 , e3 Te1 T11 e1 T21 e2 T31 e3 Te2 T12 e1 T22 e2 T32 e3 Tei Tji e j tak je dogovor! Te3 T13 e1 T23 e2 T33 e3 Komponente tenzorja lahko razvrstimo v matriko na naslednji način T11 T12 T13 T T21 T22 T23 T31 T32 T33 vrstice gredo v stolpce! To je matrika tenzorja T glede na bazne vektorje e1 , e2 , e3 . Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS e1 e2 e2 e3 e3 e1 0 Velja e1 Te1 T11 e1 e1 T21 e1 e 2 T31e1 e3 e2 Te2 T12 e2 e1 T22e2 e 2 T32 e2 e3 e3 Te3 T13 e3 e1 T23e3 e 2 T33e3 e3 Sledi T11 e1 Te1 T12 e1 Te 2 T13 e1 Te3 T21 e2 Te1 T22 e 2 Te 2 T23 e 2 Te3 T31 e3 Te1 T32 e3 Te2 T33 e3 Te3 Tij ei Te j Te enačbe lahko smatramo tudi kot definicijske enačbe za komponente tenzorja. Komponente tenzorja zavisijo od izbire koordinatnega sistema. Tij' ei' Te'j v sistemu “črtica” so te komponente drugačne Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS KOMPONENTE TRANSFORMIRANEGA VEKTORJA Komponente vektorja a so glede na koordinatni sistem a a1e1 a2e2 a3e3 e1 , e2 , e3 a1 , a2 , a3 b Ta T a1e1 a2e2 a3e3 a1Te1 a2Te2 a3Te3 b1 b e1 e1 T a1e1 a2e2 a3e3 a1 e1 Te1 a2 e1 Te2 a3 e1 Te3 b2 b e2 e2 T a1e1 a2e2 a3e3 a1 e2 Te1 a2 e2 Te2 a3 e2 Te3 b3 b e3 e3 T a1e1 a2e2 a3e3 a1 e3 Te1 a2 e3 Te2 a3 e3 Te3 b1 T11a1 T12 a2 T13 a3 b2 T21a1 T22 a2 T23 a3 b3 T31a1 T32 a2 T33 a3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 b1 T11 T12 T13 a1 b T T a T 2 21 22 23 2 b3 T31 T32 T33 a3 b Ta MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS ALTERNATIVNA IZPELJAVA Z INDEKSI Če uporabimo indekse, lahko zapišemo a ai ei Ta T ai ei ai Tei Tei Tji e j b Ta aiTji e j bm b em aiTji e j em aiTji jm aiTmi bm aiTmi Tmi ai Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TENZORSKA IN MATRIČNA ENAČBA b Ta tenzorska enačba b Ta matrična enačba je povsem enake oblike Zato smo za konvencijo za tenzorsko enačbo privzeli Tei Tji e j Te1 T11e1 T21e2 T31e3 b Ta V primeru, da bi definirali Tei Tij e j Te1 T11e1 T12e2 T13e3 b T Ta ta izbira ne bi bila tako normalna kot prva zgoraj Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS VSOTA TENZORJEV Vsota dveh tenzorjev T in S je za katerikoli vektor a definirana kot T S a Ta Sa W TS Komponente so Wij ei T S e j ei Te j ei Se j Wij Tij Sij V matričnem zapisu imamo W T S tenzorska vsota je konsistentna z matrično vsoto. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS PRODUKT DVEH TENZORJEV Produkt dveh tenzorjev T in S je za katerikoli vektor a definiran kot transformacija TS a T Sa STa S Ta asociativnost Komponente transformacije TS so TS ij ei TS e j ei T Se j ei TSmjem Smj ei Tem SmjTim TSij Tim Smj STij SimTmj V matrični obliki ST ST TS TS TS ST Produkt dveh tenzorjev v splošnem ni komutativen. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS V primeru, da imamo tri tenzorje T, S, V , lahko izpeljemo T SV a T SV a T S Va TS Va T S Va T SV TS V TSV Tenzorski produkt je asociativen Definirajmo še T2 TT T3 TTT Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TRANSPONIRANJE TENZORJA T Transponirani tenzor tenzorja T, ki ga označujemo s T , definiramo kot tenzor, ki ustreza naslednji identiteti za vse vektorje a in b : a Tb b TTa e j Tei ei TTe j Namesto poljubnih vektorjev smo vstavili bazna vektorja Tji TijT T TT T a T b b T T T b Ta b T T T T T T T T a a TS STTT Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 T ABC...D DT ...CTBT AT T MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DIADNI PRODUKT VEKTORJEV Diadni produkt vektorjev a in b , označen kot ab ali a b, je definiran kot transformacija, ki transformira vektor c glede na predpis ab c a b c Iz prejšnjih definicij velja: ab c d a b c d a b c b d a b c a b d ab c ab d Zaradi tega je diadni produkt linearna transformacija. Izračunajmo komponente diadnega produkta dveh vektorjev W ab Wij ei We j ei ab e j ei a b e j ai b j Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Wij ai b j a1b1 W a2b1 a3b1 a1b2 a2b2 a3b2 a1b3 a1 a2b3 a2 b1 b2 a3b3 a3 b3 Diadni produkti baznih vektorjev so 1 0 0 e1e1 0 0 0 0 0 0 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 0 1 0 e1e2 0 0 0 0 0 0 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Vsak tenzor lahko izrazimo kot T T11e1e1 T12e1e2 T13e1e3 T21e2e1 ... Tij eie j Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS SLED TENZORJA Sled tenzorja je skalar, ki upošteva naslednja pravila (1) tr T+S tr T tr S (2) tr T tr T (3) tr ab a b Uporabimo tr T tr Tij ei e j Tij tr ei e j Tij ei e j Tijij Tii To pomeni tr T T11 +T22 +T33 Očitno velja tr TT tr T Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS IDENTIČNI TENZOR IN INVERZNI TENZOR Linearno transformacijo, ki transformira katerikoli vektor v samega sebe imenujemo identični tenzor I. Ia a Tako velja tudi Ie1 e1 Ie 2 e 2 Ie3 e3 Kartezijeve komponente identičnega tenzorja so zato Iij ei Ie j ei e j ij 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Za vsak tenzor T velja TI IT T Če velja Ta a potem velja tudi T I Če imamo tenzor T in če obstaja tenzor S tako, da ST I potem imenujemo S inverzni tenzor tenzorju T in zapišemo S T1 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Iskanje komponent inverznega tenzorja T je ekvivalentno iskanju komponent inverzne matrike T Inverzna matrika obstaja, če je determinanta različna od 0 T T TT 1 1 I Inverzni tenzor zadovoljuje naslednje ralacije T1T TT1 I Pokažemo lahko naslednje T T TS S1T1 T 1 1 1 T Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS V primeru, da obstaja inverzni tenzor, lahko zapišemo Ta b T1 Ta T1b T T a T 1 1 b Ia T1b a T1b V primeru, da obstaja inverzni tenzor, obstaja enolična transformacija vektorjev a in b . V primeru, da ne obstaja inverzni tenzor, obstaja več vektorjev a , ki se transformirajo v vektor b . Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS ORTOGONALNI TENZORJI Ortogonalni tenzor predstavlja linearno transformacijo, pri kateri transformirani vektorji ohranjajo svojo dolžino in medsebojni kot. Po definiciji velja Qa a dolžina vektorja Qb b dolžina vektorja b a cos a, b cos Qa, Qb Zato velja Qa Qb a b Iz definicije transponiranega tenzorja sledi Qa Qb b QTQa Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Qa Qb a b Qa Qb b QT Qa a Tb b TTa b a b Q TQ a b Ia b Q TQa Ker sta vektorja poljubna, sledi QT Q I Pri vseh ortogonalnih tenzorjih je inverzni tenzor enak transponiranemu tenzorju Q1 QT Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Zaradi tega velja QTQ QQT I V matričnem zapisu je zgornja enačba Q Q QQ T T I Notacija z indeksi pa je Qmi Qmj QimQjm ij Determinanta matrike kateregakoli ortogonalnega tenzorja je lahko +1 ali -1 QQ I T QQ Q QT I T Q QT I 1 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Q 1 Q 1 2 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TRANSFORMACIJSKA MATRIKA MED DVEMA PRAVOKOTNIMA KARTEZIJEVIMA KOORDINATNIMA SISTEMOMA Imejmo dva Kartezijeva koordinatna sistema e1 , e2 , e3 e , e ' 1 ' 2 , e3' Oba sistema sta povezana z ortogonalnim tenzorjem QimQjm Qmi Qmj ij ei' Qei Qmi em e Q11e1 Q21e2 Q31e3 ' 1 ali QQT QTQ I e'2 Q12e1 Q22e2 Q32e3 e3' Q13e1 Q23e2 Q33e3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Opazimo naslednje Q11 e1 Qe1 e1 e1' kosinus med e1 in e1' Q12 e1 Qe2 e1 e'2 kosinus med e1 in e'2 Qij ei Qe j ei e'j kosinus med ei in e'j Qij cos ei , e'j Matriko teh smernih kosinusov imenujemo transformacijsko matriko Q11 Q12 Q Q 21 Q22 Q31 Q32 Q13 Q23 Q33 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE VEKTORJA Imejmo poljubni vektor a . Komponente tega vektorja glede na Kartezijeva koordinatna sistema e1 , e2 , e3 e , e ' 1 ' 2 , e3' so ai a ei ai' a ei' Velja ei' Qei Qmi em ai' a ei' a Qmi em Qmi a em Qmi am V matrični obliki je zgornja enačba a1' Q11 Q21 Q31 a1 ' a ali a Q Q Q 22 32 2 2 12 a3' Q13 Q23 Q33 a3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 a Q a ' T MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE VEKTORJA a , a sta matriki istega vektorja a ' a je matrika vektorja a glede na bazo e ' ' a a' , a je matrika vektorja a glede na bazo e ' T sta različna vektorja, povezana z a Q a a Q a ' T Q a Q Q a ' Qa a ' T ai Qim am' Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE TENZORJA Imejmo poljubni tenzor T . Komponente tega tenzorja glede na Kartezijeva koordinatna sistema e1 , e2 , e3 e , e ' 1 ' 2 Velja , e3' Tij ei Te j so Tij' ei' Te'j ei' Qei Qmi em Tij' ei' Te'j Qmi em TQnj en QmiQnj em Ten QmiQnjTmn V matrični obliki je zgornja enačba T11' T12' T13' Q11 Q21 Q31 T11 T12 T13 Q11 Q12 ' Q Q T T T Q Q ' ' T T T Q 22 32 21 22 23 21 22 21 22 23 12 T31' T32' T33' Q13 Q23 Q33 T31 T32 T33 Q31 Q32 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 Q13 Q23 Q33 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE TENZORJA ali T Q TQ ' T Izrazimo lahko komponente tenzorja brez črtice s komponentami tenzorja s črtico QQ Q Q I T T QT QQ TQ ' QT TQ T ' QT Q TQQ ' T Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 T T QT Q ' T MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS T , T sta matriki istega tenzorja T ' T' , T ' T sta različna tenzorja, povezana z T Q TQ Spodnja enačba povezuje komponente istega tenzorja. T Q TQ ' T Spodnja enačba povezuje dva različna tenzorja. T' QT TQ Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DEFINICIJA TENZORJA S TRANSFORMACIJSKIMI ZAKONI V primeru poznavanja komponent vektorja ali tenzorja glede na e1 , e2 , e3 lahko enolično določimo komponente vektorja ali tenzorja glede na e , e ' 1 ' 2 , e3' ai' Qmi am Tij' Qmi QnjTmn Komponente vektorja ali tenzorja določimo s komponentami glede na nek koordinatni sistem. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DEFINICIJA TENZORJA S TRANSFORMACIJSKIMI ZAKONI Predpostavimo bazi Kertezijevih koordinatnih sistemov e1 , e2 , e3 e , e ' 1 ' 2 , e3' ' Pri tem sta ei , ei povezana z ortogonalno transformacijo Q ei' Qei Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Kartezijeve komponente tenzorja lahko definiramo z naslednjimi transformacijskimi zakoni ' tenzor ničtega reda (skalar) ai' Qmi am tenzor prvega reda (vektor) Tij' Qmi QnjTmn tenzor drugega reda (tenzor) Sijk' Qmi Qnj Qrk Smnr tenzor tretjega reda ' Cijkl Qmi Qnj Qrk Qsl Tmnrs tenzor četrtega reda Ti transformacijski zakoni povejo kako se spremenijo komponente tenzorja, če spremenimo koordinatni sistem. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Glede na transformacijske zakone lahko izpeljemo naslednje tri zakone za komponente tenzorjev PRAVILO SEŠTEVANJA Če sta Tijk Qmi Qnj QrkTmnr ' ' in Sijk Qmi Qnj Qrk Smnr ' komponenti tenzorja, sta tudi Tijk' Sijk komponenti tenzorja. Tijk' Sijk' Qmi Qnj QrkTmnr Qmi Qnj Qrk Smnr Qmi Qnj Qrk Tmnr Smnr Wijk' Tijk' Sijk' Wijk Tijk Sijk Wijk' Qmi Qnj Qrk Wmnr Zato, ker se transformira na enak način. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS PRAVILO MNOŽENJA Naj bodo ai komponente vektorja, Tij komponente tenzorja. Iz tega lahko delamo različne produkte. Na primer ai a j Tenzor II reda ai a j ak Tenzor III reda Tij Tkl Tenzor IV reda Tij T jk Tenzor II reda Pokažemo lahko, da so to komponente tenzorja, katerega red je enak redu prostega indeksa. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Dokažimo, da so ai a j komponente tenzorja drugega reda. Definirajmo Sij ai a j Sij' ai' a'j Ker so ai komponente vektorja a velja ai' Qmi am a'j Qnj an Sij' Qmi amQnj an Qmi Qnj aman QmiQnj Smn Kar je transformacijski zakon za tenzor drugega reda. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Dokažimo, da so TijTkl komponente tenzorja četrtega reda. Definirajmo M ijkl TijTkl ' Mijkl Tij'Tkl' Qmi QnjTmnQrk QslTrs Qmi Qnj Qrk QslTmnTrs Kar je transformacijski zakon za tenzor četrtega reda. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS PRAVILO KVOCIENTA Naj bodo ai komponente poljubnega vektorja, Tij komponente tenzorja. Naj velja za katerekoli koordinate ai Tij b j potem so bi komponente vektorja. Zaradi definicije vektorja in tenzorja velja ai Qij am' ' Tij Qim QjnTmn Sledi ' ai Qij am' Qim QjnTmn bj Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 (*) MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Velja tudi ai' Tij' b'j ' am' Tmn bn' Enačba (*) postane ' ai Qij am' Qij Tij' b'j Qim QjnTmn bj Pomnožimo prejšnjo enačbo z Qik in upoštevajmo Qik Qim km ' Qik Qij Tij' b'j Qik Qim QjnTmn bj km Tmn' bn' kmQjnTmn' bj Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 oziroma Tkn' bn' QjnTkn' b j MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Tkn' bn' Q jnb j 0 Ker mora enačba veljati za katerikoli tenzor T , mora biti bn' Qjnb j 0 ali bn' Qjnbj To pa je transformacijski zakon za komponente vektorja. Zato so bi komponente vektorja. Dokazano! Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Če so Tij Eij komponente poljubnih dveh tenzorjev T E in velja za katerekoli koordinate Tij Cijkl Eij potem so Cijkl komponente tenzorja četrtega reda. Zadevo dokažemo na identični način kot za tenzorje drugega reda. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS SIMETRIČNI IN ANTISIMETRIČNI TENZORJI Za tenzor T pravimo, da je simetričen, če velja T TT . Komponente simetričnega tenzorja imajo lastnost Tij Tji ali T12 T21 T13 T31 T23 T32 Za tenzor T pravimo, da je antisimetričen, če velja T TT . Komponente antisimetričnega tenzorja imajo lastnost Tij Tji ali T12 T21 T13 T31 T23 T32 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Vsak tenzor lahko vedno razdelimo na simetrični in antisimetrični del T TS TA T TT T 2 S T TT T 2 A Ta dekompozicija je enolična. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DUALNI VEKTOR ANTISIMETRIČNEGA TENZORJA Diagonalne komponente antisimetričnega tenzorja so vedno enake 0. Od šestih nediagonalnih elementov so edino tri neodvisne. T12 T21 T13 T31 T23 T32 Zato ima antisimetrični tenzor samo tri komponente, tako kot vektor. Za vsak antisimetrični tenzor T obstaja vektor t A tako, da velja za vsak vektor a Ta t A a Vektor t A imenujemo dualni vektor antisimetričnega tenzorja T . Ponekod ga imenujejo tudi aksialni vektor. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Pokažimo, da lahko dejansko najdemo takšen vektor. T12 e1 Te2 e1 t A e2 t A e2 e1 t A e3 t3A T31 e3 Te1 e3 t A e1 t A e1 e3 t A e2 t2A T23 e2 Te3 e2 t A e3 t A e3 e2 t A e1 t1A T21 e2 Te1 e2 t A e1 t A e1 e2 t A e3 t3A T13 e1 Te3 e1 t A e3 t A e3 e1 t A e2 t2A T32 e3 Te2 e3 t A e2 t A e2 e3 t A e1 t1A Komponente tega vektorja so t A T23e1 T31e2 T12e3 T32e1 T13e2 T21e3 Z indeksi lahko omenjeno zapišemo kot 1 t A ijk Tjk ei 2 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI TENZORJA Predpostavimo tenzor T . Če je a vektor, ki se vsled T transformira v vektor, vzporeden s samim seboj, Ta λa (*) imenujemo vektor a lastni vektor, konstanto λ pa lastno vrednost tenzorja T. Za linearno transformacijo velja T a Ta = λ a Lastni vektorji, ki zadostijo enačbi (*) imajo lahko poljubno dolžino. Pri izračunih se omejimo samo na lastne vektorje z enotno dolžino. Tenzor ima lahko neskončno število lastnih vektorjev. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Vsak vektor je lastni vektor identičnega tenzorja. Ia λa a Vsaka lastna vrednost identičnega tenzorja je enaka 1. Imejmo enotski vektor n . Potem velja Tn λn λIn T λI n 0 n i ei n n 1 i i 1 V komponentni obliki velja T ij λ ij j 0 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS V razpisani obliki je omenjeno T11 λ 1 T12 2 T133 0 T121 T22 λ 2 T23 3 0 T311 T32 2 T33 λ 3 0 Trivialna rešitev omenjenega sistema je 1 2 3 0 Netrivialno rešitev dobimo samo takrat, ko je determinanta sistema T λI 0 T11 λ T12 T13 T21 T22 λ T23 0 T31 T32 T33 λ Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Za omenjeno determinanto dobimo kubično enačbo za lambda. Imenujemo jo karakteristično enačbo tenzorja T. Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti tenzorja T. Te enačbe, skupaj z enačbo 12 22 32 1 določajo enotne lastne vektorje. Če ima tenzor realne komponente in je simetričen, so vse lastne vrednosti realne. Če je tenzor realen in nesimetričen sta lahko dve lastni vrednosti kompleksni konjugirani števili. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS POGLAVITNE VREDNOSTI IN POGLAVITNE SMERI REALNIH SIMETRIČNIH TENZORJEV Lastne vrednosti vseh realnih simetričnih tenzorjev so vse realne. Omenjene lastne vrednosti imenujemo poglavitne vrednosti, lastne vektorje pa poglavitne smeri. Izpeljimo, da vedno obstajajo tri poglavitne smeri, ki so med seboj pravokotne. Tn1 λ1n1 Tn 2 λ 2n 2 n2 Tn1 n2 λ1n1 =λ1n2 n1 n1 Tn2 n1 λ2n2 =λ2n1 n2 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Za simetrični tenzor velja T TT n1 Tn2 n2 TTn1 n2 Tn1 n2 Tn1 n1 TTn2 n1 Tn2 λ1n2 n1 λ 2n2 n1 0 λ1 λ2 n2 n1 0 Če lastni vrednosti nista enaki, sta lastna vektorja pravokotna. Če so lastne vrednosti simetričnega tenzorja različne, so lastni vektorji pravokotni. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Predpostavimo Tn1 λ1n1 Tn 2 λ 2n 2 Tn1 n2 Tn1 Tn2 λn1 λn2 λ n1 n2 Potem je tudi n1 n2 lastni vektor z enako lastno vrednostjo λ Za vsak realni simetrični tenzor obstaja vsaj ena triada vektorjev, ki so med seboj pravokotni. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS MATRIKA TENZORJA GLEDE NA POGLAVITNE SMERI Za realne simetrične tenzorje vedno obstajajo tri poglavitne smeri, ki so med seboj pravokotne. Naj bodo n1 n 2 n3 enotni vektorji v teh smereh. Če te vektorje uporabimo kot bazne vektorje, so komponente tenzorja T11 n1 Tn1 n1 1n1 1n1 n1 1 T22 n 2 Tn 2 n 2 2 n 2 2 n 2 n 2 2 T33 n3 Tn 3 n 3 3n 3 3n 3 n 3 3 T12 n1 Tn 2 n1 2n 2 2n1 n 2 0 T13 n1 Tn 3 n1 3n 3 3n1 n 3 0 T23 n 2 Tn 3 n 2 3n 3 3n 2 n 3 0 λ1 T 0 0 0 λ2 0 0 0 λ 3 n i Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Matrika tega tenzorja je diagonalna in diagonalne vrednosti so lastne vrednosti tenzorja T Poglavitne vrednosti tenzorja T vsebujejo maksimalne in minimalne vrednosti, ki jih lahko ima katerakoli matrika tenzorja T. Za katerikoli enotski vektor velja e1' n1 n2 n3 T11' e1' Te1' λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ 3 T11' λ1 2 λ 2 2 +λ3 2 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Brez izgube splošnosti lahko zapišemo λ1 λ 2 λ 3 upoštevajmo λ1 λ1 2 2 2 λ1 2 +λ 2 2 +λ3 2 λ1 T11' se pravi vsi diagonalni elementi so pod λ1 λ1 2 +λ 2 2 +λ3 2 λ3 2 2 2 λ3 T11' λ3 se pravi vsi diagonalni elementi so nad Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 λ3 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS POGLAVITNE SKALARNE INVARIANTE TENZORJA Tij λ ij 0 T λI 0 Karakteristično enačbo tenzorja T zapišemo v obliki λ3 I1λ2 I 2 λ I3 0 Skalarne invariante so I1 =T11 T22 T33 tr T T11 T12 T22 T23 T11 T13 I2 = T21 T22 T32 T33 T31 T33 1 1 2 TiiT jj TijT ji tr T +tr T2 2 2 T11 T12 T13 I 3 = T21 T22 T23 T31 T32 T33 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS I1 =λ1 λ 2 λ3 I 2 =λ1λ 2 λ 2 λ3 λ3 λ1 I 3 =λ1λ 2 λ 3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS POGLAVJE 2, DEL C Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DEL C TENZORSKE FUNKCIJE SKALARJEV Definirajmo T Tt T t t T t dT lim t 0 dt t d dT dS T S dt dt dt d d dT t T T dt dt dt Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS d dT dS TS S T dt dt dt d dT da Ta a T dt dt dt d T dT T dt dt T Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Izpeljimo samo eno definicijo. Ostale lahko po istem kopitu. d dT da Ta a T dt dt dt T t t a t t T t a t d Ta lim t 0 dt t T t t a t t T t a t T t a t t T t a t t lim t 0 t T t t a t t T t a t t T t a t t T t a t lim t 0 t T t t T t a t t a t lim t 0 a t t lim t 0 T t t t dT da aT dt dt Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS SKALARNO POLJE IN GRADIENT SKALARNE FUNKCIJE Definicija r d r dr r dr d dr e dr dr d ei xi dr v smeri ei Kartezijeve komponente gradienta skalarne funkcije e1 e2 e3 ei x1 x2 x3 xi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS VEKTORSKO POLJE IN GRADIENT VEKTORSKEGA POLJA Definicija v v r dv v r dr v r v dr dr dr dr dr dv v e dr v smeri e e V Kartezijevih koordinatah v dv v e j dr v smeri e j x j Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS v ij v v ei vi ei v e j ei x j x j x j v1 x1 v2 v x1 v 3 x1 v1 x2 v2 x2 v3 x2 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 v1 x3 v2 x3 v3 x3 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS DIVERGENCA VEKTORSKEGA POLJA IN DIVERGENCA TENZORSKEGA POLJA Definicija v tr v V Kartezijevih koordinatah v1 v2 v3 vi v x1 x2 x3 xi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Definicija T Tr Divergenca tenzorja T je definirana tako, da za vsak vektor a velja T a TTa tr TTa V Kartezijevih koordinatah imamo e i 0 Definirajmo b T bi b ei T ei tr T ei Tij e j 0 T T Tij x j T Tij x j ei Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS ROTOR VEKTORSKEGA POLJA Naj bo v v r vektorsko polje Rotor vektorskega polja je definiran kot 2x dualni vektor antisimetričnega dela v v 2t A tA je dualni vektor Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 v A MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS V pravokotnih kartezijevih koordinatah imamo v A 1 v1 v2 0 2 x x 1 2 1 v1 v2 0 2 x2 x1 1 v1 v3 1 v2 v3 2 x x 2 x x 1 2 3 3 1 v1 v3 2 x3 x1 1 v2 v3 2 x3 x2 0 v3 v2 v1 v3 v2 v1 v 2t e1 e2 e3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 A V indeksni notaciji je zgornji zapis v ijk Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 v j xk ei MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS LAPLACE SKALARNEGA POLJA Definicija 2 f f tr f V Kartezijevih koordinatah Laplace postane 2 2 2 2 f f f f 2 f tr f 2 2 2 xi xi x1 x2 x3 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS LAPLACE VEKTORSKEGA POLJA 2 Definicija v v v V pravokotnih koordinatah vk v xi xk ei v j v jk xk e v i x ij k ik j x Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 v j jk xk v j xk v j ei i i x xk ei x vi xk x ei v j xk ei MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Zato v v v xi 2 vk xk e i x vi x x v j x ei To je v pravokotnih koordinatah 2 vi v ei 2 vi ei x x 2 V dolgi obliki 2 v1 2 v1 2 v1 2 v2 2 v2 2v2 2 v3 2 v3 2 v3 v 2 2 2 e1 2 2 2 e2 2 2 2 e3 x2 x3 x2 x3 x2 x3 x1 x1 x1 2 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS TENZORJI / TENSORS