Transcript 02_TENZORJI
TENZORJI
Fizikalne zakone v mehaniki kontinuuma moramo vpeljati v obliki, ki je
neodvisna od koordinatnega sistema.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
POGLAVJE 2, DEL A
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DEL A: INDEKSI
INDEKSI
Obravnavajmo vsoto
s a1 x1 a2 x2 ... an xn
Napišimo jo na kompakten način
n
s ai xi
i 1
Naslednje enačbe imajo povsem enak pomen
n
s ajxj
j 1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
n
s am xm
m 1
n
s a k xk
k 1
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
EINSTEINOVA KONVENCIJA SEŠTEVANJA
n
s ai xi ai xi a j x j am xm ak xk
i 1
Če se indeks ponovi dvakrat, se po njem sešteva.
V okviru te konvencije naslednji izrazi niso definirani.
ai bi xi
a j bj x j
ambm xm
ak bk xk
Se pravi, da moramo za seštevanje tovrstnih izrazov uporabiti
n
s ai bi xi
i 1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
V nadaljevanju za indeks n definiramo vedno vrednost 3
Tako velja
aii a11 a22 a33
an xn a1 x1 a2 x2 a3 x3
Konvencijo seštevanja lahko uporabimo za seštevanje dvojne vsote,
trojne vsote, itd. Tako lahko napišemo
3
3
aij xi x j
i 1 j 1
ali
aij xi x j
To v celoti ekspandirano daje devet členov
a11 x1 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a21 x2 x1 a22 x2 x2 a23 x2 x3
a31 x3 x1 a32 x3 x2 a33 x3 x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Vsoto sedemindvajsetih členov dobimo, če napišemo
3
3
3
aijk xi x j xk
i 1 j 1 k 1
ali aijk xi x j xk
PROSTI INDEKSI
Obravnavajmo naslednji sistem treh enačb
x1' a11 x1 a12 x2 a13 x3
x1' a1m xm
x2' a21 x1 a22 x2 a23 x3
x2' a2 m xm
x3' a31 x1 a32 x2 a33 x3
x3' a3m xm
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
xi' aim xm
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Indeks, ki se pojavi le enkrat v enačbi imenujemo prosti indeks. Če ne
definiramo drugače, ima prosti indeks vrednosti 1,2,3.
Preprosta enačba za definiranje komponent vektorja je
ai a ei
Preprosta enačba za definiranje vektorja z njegovimi komponentami je
a ai ei
Kartezijev koordinatni sistem
e1 , e2 , e3
ei e j 0; i j
ei e j 1; i j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
ei e j ij
kasneje v tekstu
definiramo ij
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Obravnavajmo naslednji primer
ei' Qmi em
Ta primer v dolgi obliki predstavlja
e1' Q11e1 Q21e2 Q31e3
e'2 Q12e1 Q22e2 Q32e3
e3' Q13e1 Q23e2 Q33e3
Prosti indeks, ki nastopa v kateremkoli členu enačbe mora biti enak.
Naslednje enačbe imajo smisel
ai ki ci
ali
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
ai bi c j d j fi
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
V primeru, da v enačbi kot sledi, nastopata dva prosta indeksa
Tij Aim Ajm
Potem je zgornji izraz okrajšava za devet enačb
T11 A1m A1m A11 A11 A12 A12 A13 A13
T12 A1m A2 m A11 A21 A12 A22 A13 A23
T13 A1m A3m A11 A31 A12 A32 A13 A33
T21 A2 m A1m A21 A11 A22 A12 A23 A13
.................................................................
T33 A3m A3m A31 A31 A32 A32 A33 A33
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
KRONECKERJEVA DELTA
1 if i j
ij
0 if i j
11 22 33 1
12 13 21 23 31 32 0
Matrika Kroneckerjeve delta je identična matrika
11 12 13 1 0 0
ij 21 22 23 0 1 0
31 32 33 0 0 1
ii 1 1 1 3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Velja tudi
1m am 11 a1 12 a2 13 a3 a1
2 m am 21 a1 22 a2 23 a3 a2
3m am 31 a1 32 a2 33 a3 a3
im am ai
Velja tudi
1mTmj 11 T1 j 12T2 j 13 T3 j T1 j
2 mTmj 21 T1 j 22T2 j 23 T3 j T2 j
imTmj Tij
3mTmj 31 T1 j 32T2 j 33 T3 j T3 j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Velja tudi
im mj ij
im mn nj ij
Če imamo ortogonalne pravokotne vektorje velja
ei e j ij
(to smo uporabili smo že prej)
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
PERMUTACIJSKI SIMBOL
Permutacijski simbol definiramo kot
ijk
1
sodo
1 glede na to, ali i, j, k tvorijo liho permutcijo 1, 2,3
0
ne tvorijo
123 231 312 1
indekse premikamo v eno ali drugo smer
213 321 132 1
dva indeksa zamenjamo med seboj
111 112 222 ... 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Opazimo
ijk jki kij jik kji ikj
Če je so bazni vektorji desnosučni, velja
e1 e2 e3
e2 e1 e3
e2 e3 e1
e3 e2 e1
Omenjeno napišemo v skrajšani obliki kot
ei e j ijk ek jki ek kij ek
ei e j jik ek kji ek ikj ek
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Naj velja
a ai ei
b bi ei
Potem velja
a b ai ei bi ei ai b j ei e j ai b j ijk ek
Dokažemo lahko tudi naslednjo koristno enakost, ki jo večkrat uporabljamo
ijm klm ik jl il jk
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
MANIPULACIJE Z INDEKSI
Substitucija:
ai Uimbm
bi Vim cm
drugo enačbo spravimo v prvo enačbo
Spremenimo prosti indeks v izrazu
bm Vmn cn
bm Vmm cm ne!!!
Tako dobimo
ai U imVmn cn
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Množenje:
p ambm
q cm dm
p q ambm cm d m
To ne pomeni prav nič, ker se indeks 4x ponovi!
p q ambm cm d m
Ta izraz sploh ni definiran!
3
p q am bm cm d m
m 1
p q anbn cm d m
p q ambm cn d n
To je O.K.
Pazimo, da se indeks ne ponovi tam, kjer ni smiselno, da se ponovi.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Skalarni produkt:
a ai ei
b bi ei
a b ai ei b j e j ai b j ei e j Ekvivalentno. Ampak, en indeks
a b a j e j bi ei a j bi e j ei smo morali spremeniti iz i v j ali j v i
V primeru, da so bazni vektorji pravokotni, velja
a b ai ei b j e j ai b j ei e j ai b jij
a b ai bjij ai bi a j bj a1b1 a2b2 a3b3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Urejanje množenja (faktorizacija):
Tij n j ni 0
Z uporabo Kroneckerjeve delte lahko napišemo
ni ij n j
Nato dobimo
Tij n j ij n j 0
T
ij
ij n j 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Krajšanje izrazov:
Tii T11 T22 T33
Tij ij 2 Eij
drugo enačbo seštejemo diagonalnih indeksih
Tii ii 2 Eii 3 2 Eii
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
POGLAVJE 2, DEL B
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DEL B: TENZORJI
TENZORJI – LINEARNE TRANFORMACIJE
Naj bo T tranformacija, ki transformira katerikoli vektor a v c in b v d .
Napišimo
Ta c
Tb d
T predstavlja linearno transformacijo, če velja:
Ta b Ta + Tb
T a Ta
a in b sta poljubna vektorja, je poljuben skalar
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Linearno transformacijo T lahko definiramo tudi takole
T a b Ta + Tb
Če dva tenzorja T in S transformirata poljubni vektor a
na identični način, sta oba tenzorja enaka.
Ta Sa T = S
Vendar velja poudariti, da dva različna tenzorja lahko transformirata
specifična vektorja (ne pa poljubna vektorja) na identičen način.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
KOMPONENTE TENZORJA
Transformirajmo komponente baznih vektorjev Kartezijevega koordinatnega
sistema e1 , e2 , e3
Te1 T11 e1 T21 e2 T31 e3
Te2 T12 e1 T22 e2 T32 e3
Tei Tji e j
tak je dogovor!
Te3 T13 e1 T23 e2 T33 e3
Komponente tenzorja lahko razvrstimo v matriko na naslednji način
T11 T12 T13
T T21 T22 T23
T31 T32 T33
vrstice gredo v stolpce!
To je matrika tenzorja T glede na bazne vektorje e1 , e2 , e3 .
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
e1 e2 e2 e3 e3 e1 0
Velja
e1 Te1 T11 e1 e1 T21 e1 e 2 T31e1 e3
e2 Te2 T12 e2 e1 T22e2 e 2 T32 e2 e3
e3 Te3 T13 e3 e1 T23e3 e 2 T33e3 e3
Sledi
T11 e1 Te1
T12 e1 Te 2
T13 e1 Te3
T21 e2 Te1
T22 e 2 Te 2
T23 e 2 Te3
T31 e3 Te1
T32 e3 Te2
T33 e3 Te3
Tij ei Te j
Te enačbe lahko smatramo tudi kot definicijske enačbe za komponente
tenzorja. Komponente tenzorja zavisijo od izbire koordinatnega sistema.
Tij' ei' Te'j
v sistemu “črtica” so te komponente drugačne
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
KOMPONENTE TRANSFORMIRANEGA VEKTORJA
Komponente vektorja a so glede na koordinatni sistem
a a1e1 a2e2 a3e3
e1 , e2 , e3
a1 , a2 , a3
b Ta T a1e1 a2e2 a3e3 a1Te1 a2Te2 a3Te3
b1 b e1 e1 T a1e1 a2e2 a3e3 a1 e1 Te1 a2 e1 Te2 a3 e1 Te3
b2 b e2 e2 T a1e1 a2e2 a3e3 a1 e2 Te1 a2 e2 Te2 a3 e2 Te3
b3 b e3 e3 T a1e1 a2e2 a3e3 a1 e3 Te1 a2 e3 Te2 a3 e3 Te3
b1 T11a1 T12 a2 T13 a3
b2 T21a1 T22 a2 T23 a3
b3 T31a1 T32 a2 T33 a3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
b1 T11 T12 T13 a1
b T T
a
T
2 21 22 23 2
b3 T31 T32 T33 a3
b Ta
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
ALTERNATIVNA IZPELJAVA Z INDEKSI
Če uporabimo indekse, lahko zapišemo
a ai ei
Ta T ai ei ai Tei
Tei Tji e j
b Ta aiTji e j
bm b em aiTji e j em aiTji jm aiTmi
bm aiTmi Tmi ai
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TENZORSKA IN MATRIČNA ENAČBA
b Ta
tenzorska enačba
b Ta
matrična enačba je povsem enake oblike
Zato smo za konvencijo za tenzorsko enačbo privzeli
Tei Tji e j
Te1 T11e1 T21e2 T31e3
b Ta
V primeru, da bi definirali
Tei Tij e j
Te1 T11e1 T12e2 T13e3
b T Ta
ta izbira ne bi bila tako normalna kot prva zgoraj
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
VSOTA TENZORJEV
Vsota dveh tenzorjev T in S je za katerikoli vektor a definirana kot
T S a Ta Sa
W TS
Komponente so
Wij ei T S e j ei Te j ei Se j
Wij Tij Sij
V matričnem zapisu imamo
W T S
tenzorska vsota je konsistentna z matrično vsoto.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
PRODUKT DVEH TENZORJEV
Produkt dveh tenzorjev T in S je za katerikoli vektor a definiran kot
transformacija
TS a T Sa
STa S Ta
asociativnost
Komponente transformacije TS so
TS ij ei TS e j ei T Se j ei TSmjem Smj ei Tem SmjTim
TSij Tim Smj
STij SimTmj
V matrični obliki
ST ST
TS TS
TS ST
Produkt dveh tenzorjev v splošnem ni komutativen.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
V primeru, da imamo tri tenzorje T, S, V , lahko izpeljemo
T SV a T SV a T S Va
TS Va T S Va
T SV TS V TSV
Tenzorski produkt je asociativen
Definirajmo še
T2 TT
T3 TTT
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TRANSPONIRANJE TENZORJA
T
Transponirani tenzor tenzorja T, ki ga označujemo s T , definiramo
kot tenzor, ki ustreza naslednji identiteti za vse vektorje a in b :
a Tb b TTa
e j Tei ei TTe j Namesto poljubnih vektorjev smo vstavili bazna vektorja
Tji TijT
T TT
T
a T b b T
T T
b Ta b T
T
T
T T
T
T T
a
a
TS STTT
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
T
ABC...D DT ...CTBT AT
T
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DIADNI PRODUKT VEKTORJEV
Diadni produkt vektorjev a in b , označen kot ab ali a b, je definiran
kot transformacija, ki transformira vektor c glede na predpis
ab c a b c
Iz prejšnjih definicij velja:
ab c d a b c d
a b c b d a b c a b d ab c ab d
Zaradi tega je diadni produkt linearna transformacija.
Izračunajmo komponente diadnega produkta dveh vektorjev
W ab
Wij ei We j ei ab e j ei a b e j ai b j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Wij ai b j
a1b1
W a2b1
a3b1
a1b2
a2b2
a3b2
a1b3 a1
a2b3 a2 b1 b2
a3b3 a3
b3
Diadni produkti baznih vektorjev so
1 0 0
e1e1 0 0 0
0 0 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
0 1 0
e1e2 0 0 0
0 0 0
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Vsak tenzor lahko izrazimo kot
T T11e1e1 T12e1e2 T13e1e3 T21e2e1 ... Tij eie j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
SLED TENZORJA
Sled tenzorja je skalar, ki upošteva naslednja pravila
(1)
tr T+S tr T tr S
(2)
tr T tr T
(3)
tr ab a b
Uporabimo
tr T tr Tij ei e j Tij tr ei e j Tij ei e j Tijij Tii
To pomeni
tr T T11 +T22 +T33
Očitno velja
tr TT tr T
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
IDENTIČNI TENZOR IN INVERZNI TENZOR
Linearno transformacijo, ki transformira katerikoli vektor v samega sebe
imenujemo identični tenzor I.
Ia a
Tako velja tudi
Ie1 e1
Ie 2 e 2
Ie3 e3
Kartezijeve komponente identičnega tenzorja so zato
Iij ei Ie j ei e j ij
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Za vsak tenzor T velja
TI IT T
Če velja
Ta a
potem velja tudi T I
Če imamo tenzor T in če obstaja tenzor S tako, da
ST I
potem imenujemo S inverzni tenzor tenzorju T in zapišemo
S T1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Iskanje komponent inverznega tenzorja T je ekvivalentno iskanju
komponent inverzne matrike T
Inverzna matrika obstaja, če je determinanta različna od 0
T T TT
1
1
I
Inverzni tenzor zadovoljuje naslednje ralacije
T1T TT1 I
Pokažemo lahko naslednje
T
T
TS
S1T1
T 1
1
1 T
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
V primeru, da obstaja inverzni tenzor, lahko zapišemo
Ta b
T1 Ta T1b
T T a T
1
1
b
Ia T1b
a T1b
V primeru, da obstaja inverzni tenzor, obstaja enolična transformacija
vektorjev
a in b .
V primeru, da ne obstaja inverzni tenzor, obstaja več vektorjev a , ki se
transformirajo v vektor b .
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
ORTOGONALNI TENZORJI
Ortogonalni tenzor predstavlja linearno transformacijo, pri kateri
transformirani vektorji ohranjajo svojo dolžino in medsebojni kot.
Po definiciji velja
Qa a
dolžina vektorja
Qb b
dolžina vektorja b
a
cos a, b cos Qa, Qb
Zato velja
Qa Qb a b
Iz definicije transponiranega tenzorja sledi
Qa Qb b QTQa
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Qa Qb a b
Qa Qb b QT Qa
a Tb b TTa
b a b Q TQ a
b Ia b Q TQa
Ker sta vektorja poljubna, sledi
QT Q I
Pri vseh ortogonalnih tenzorjih je inverzni tenzor enak transponiranemu
tenzorju
Q1 QT
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Zaradi tega velja
QTQ QQT I
V matričnem zapisu je zgornja enačba
Q Q QQ
T
T
I
Notacija z indeksi pa je
Qmi Qmj QimQjm ij
Determinanta matrike kateregakoli ortogonalnega tenzorja je lahko
+1 ali -1
QQ I
T
QQ Q QT I
T
Q QT
I 1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
Q 1 Q 1
2
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TRANSFORMACIJSKA MATRIKA MED DVEMA PRAVOKOTNIMA
KARTEZIJEVIMA KOORDINATNIMA SISTEMOMA
Imejmo dva Kartezijeva koordinatna sistema
e1 , e2 , e3
e , e
'
1
'
2
, e3'
Oba sistema sta povezana z ortogonalnim tenzorjem
QimQjm Qmi Qmj ij
ei' Qei Qmi em
e Q11e1 Q21e2 Q31e3
'
1
ali
QQT QTQ I
e'2 Q12e1 Q22e2 Q32e3
e3' Q13e1 Q23e2 Q33e3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Opazimo naslednje
Q11 e1 Qe1 e1 e1' kosinus med e1 in e1'
Q12 e1 Qe2 e1 e'2 kosinus med e1 in e'2
Qij ei Qe j ei e'j kosinus med ei in e'j
Qij cos ei , e'j
Matriko teh smernih kosinusov imenujemo transformacijsko matriko
Q11 Q12
Q
Q
21 Q22
Q31 Q32
Q13
Q23
Q33
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE VEKTORJA
Imejmo poljubni vektor a .
Komponente tega vektorja glede na Kartezijeva koordinatna sistema
e1 , e2 , e3
e , e
'
1
'
2
, e3'
so
ai a ei
ai' a ei'
Velja
ei' Qei Qmi em ai' a ei' a Qmi em Qmi a em Qmi am
V matrični obliki je zgornja enačba
a1' Q11 Q21 Q31 a1
'
a ali
a
Q
Q
Q
22
32 2
2 12
a3' Q13 Q23 Q33 a3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
a Q a
'
T
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE VEKTORJA
a , a sta matriki istega vektorja a
'
a je matrika vektorja a glede na bazo e '
'
a
a' , a
je matrika vektorja a glede na bazo e
'
T
sta različna vektorja, povezana z a Q a
a Q a
'
T
Q
a
Q
Q
a
'
Qa a
'
T
ai Qim am'
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE TENZORJA
Imejmo poljubni tenzor T .
Komponente tega tenzorja glede na Kartezijeva koordinatna sistema
e1 , e2 , e3
e , e
'
1
'
2
Velja
, e3'
Tij ei Te j
so
Tij' ei' Te'j
ei' Qei Qmi em
Tij' ei' Te'j Qmi em TQnj en QmiQnj em Ten QmiQnjTmn
V matrični obliki je zgornja enačba
T11' T12' T13' Q11 Q21 Q31 T11 T12 T13 Q11 Q12
'
Q Q
T T T Q Q
'
'
T
T
T
Q
22
32 21
22
23 21
22
21 22 23 12
T31' T32' T33' Q13 Q23 Q33 T31 T32 T33 Q31 Q32
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
Q13
Q23
Q33
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
TRANSFORMACIJSKI ZAKONI ZA KARTEZIJEVE KOMPONENTE TENZORJA
ali
T Q TQ
'
T
Izrazimo lahko komponente tenzorja brez črtice s komponentami tenzorja
s črtico
QQ Q Q I
T
T
QT QQ TQ
'
QT TQ
T
'
QT Q TQQ
'
T
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
T
T QT Q
'
T
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
T , T sta matriki istega tenzorja T
'
T' , T
'
T
sta različna tenzorja, povezana z T Q TQ
Spodnja enačba povezuje komponente istega tenzorja.
T Q TQ
'
T
Spodnja enačba povezuje dva različna tenzorja.
T' QT TQ
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DEFINICIJA TENZORJA S TRANSFORMACIJSKIMI ZAKONI
V primeru poznavanja komponent vektorja ali tenzorja glede na
e1 , e2 , e3
lahko enolično določimo komponente vektorja ali tenzorja glede na
e , e
'
1
'
2
, e3'
ai' Qmi am
Tij' Qmi QnjTmn
Komponente vektorja ali tenzorja določimo s komponentami glede
na nek koordinatni sistem.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DEFINICIJA TENZORJA S TRANSFORMACIJSKIMI ZAKONI
Predpostavimo bazi Kertezijevih koordinatnih sistemov
e1 , e2 , e3
e , e
'
1
'
2
, e3'
'
Pri tem sta ei , ei povezana z ortogonalno transformacijo Q
ei' Qei
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Kartezijeve komponente tenzorja lahko definiramo z naslednjimi
transformacijskimi zakoni
'
tenzor ničtega reda (skalar)
ai' Qmi am
tenzor prvega reda (vektor)
Tij' Qmi QnjTmn
tenzor drugega reda (tenzor)
Sijk' Qmi Qnj Qrk Smnr
tenzor tretjega reda
'
Cijkl
Qmi Qnj Qrk Qsl Tmnrs
tenzor četrtega reda
Ti transformacijski zakoni povejo kako se spremenijo komponente
tenzorja, če spremenimo koordinatni sistem.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Glede na transformacijske zakone lahko izpeljemo naslednje
tri zakone za komponente tenzorjev
PRAVILO SEŠTEVANJA
Če sta Tijk Qmi Qnj QrkTmnr
'
'
in Sijk
Qmi Qnj Qrk Smnr
'
komponenti tenzorja, sta tudi Tijk' Sijk
komponenti tenzorja.
Tijk' Sijk' Qmi Qnj QrkTmnr Qmi Qnj Qrk Smnr Qmi Qnj Qrk Tmnr Smnr
Wijk' Tijk' Sijk'
Wijk Tijk Sijk
Wijk' Qmi Qnj Qrk Wmnr
Zato, ker se transformira na enak način.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
PRAVILO MNOŽENJA
Naj bodo ai komponente vektorja, Tij komponente tenzorja.
Iz tega lahko delamo različne produkte. Na primer
ai a j
Tenzor II reda
ai a j ak
Tenzor III reda
Tij Tkl
Tenzor IV reda
Tij T jk
Tenzor II reda
Pokažemo lahko, da so to komponente tenzorja, katerega red je enak
redu prostega indeksa.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Dokažimo, da so ai a j komponente tenzorja drugega reda.
Definirajmo
Sij ai a j
Sij' ai' a'j
Ker so ai komponente vektorja a velja
ai' Qmi am
a'j Qnj an
Sij' Qmi amQnj an Qmi Qnj aman QmiQnj Smn
Kar je transformacijski zakon za tenzor drugega reda.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Dokažimo, da so TijTkl komponente tenzorja četrtega reda.
Definirajmo
M ijkl TijTkl
'
Mijkl
Tij'Tkl' Qmi QnjTmnQrk QslTrs Qmi Qnj Qrk QslTmnTrs
Kar je transformacijski zakon za tenzor četrtega reda.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
PRAVILO KVOCIENTA
Naj bodo ai komponente poljubnega vektorja, Tij komponente tenzorja.
Naj velja za katerekoli koordinate
ai Tij b j
potem so bi komponente vektorja.
Zaradi definicije vektorja in tenzorja velja
ai Qij am'
'
Tij Qim QjnTmn
Sledi
'
ai Qij am' Qim QjnTmn
bj
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
(*)
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Velja tudi
ai' Tij' b'j
'
am' Tmn
bn'
Enačba (*) postane
'
ai Qij am' Qij Tij' b'j Qim QjnTmn
bj
Pomnožimo prejšnjo enačbo z Qik in upoštevajmo Qik Qim km
'
Qik Qij Tij' b'j Qik Qim QjnTmn
bj
km Tmn' bn' kmQjnTmn' bj
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
oziroma
Tkn' bn' QjnTkn' b j
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Tkn' bn' Q jnb j 0
Ker mora enačba veljati za katerikoli tenzor T , mora biti
bn' Qjnb j 0
ali
bn' Qjnbj
To pa je transformacijski zakon za komponente vektorja. Zato so
bi
komponente vektorja.
Dokazano!
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Če so
Tij
Eij
komponente poljubnih dveh tenzorjev
T
E
in velja za katerekoli koordinate
Tij Cijkl Eij
potem so
Cijkl
komponente tenzorja četrtega reda.
Zadevo dokažemo na identični način kot za tenzorje drugega reda.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
SIMETRIČNI IN ANTISIMETRIČNI TENZORJI
Za tenzor T pravimo, da je simetričen, če velja T TT .
Komponente simetričnega tenzorja imajo lastnost
Tij Tji
ali T12 T21
T13 T31
T23 T32
Za tenzor T pravimo, da je antisimetričen, če velja T TT .
Komponente antisimetričnega tenzorja imajo lastnost
Tij Tji ali T12 T21 T13 T31 T23 T32
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Vsak tenzor lahko vedno razdelimo na simetrični in antisimetrični del
T TS TA
T TT
T
2
S
T TT
T
2
A
Ta dekompozicija je enolična.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DUALNI VEKTOR ANTISIMETRIČNEGA TENZORJA
Diagonalne komponente antisimetričnega tenzorja so vedno enake 0.
Od šestih nediagonalnih elementov so edino tri neodvisne.
T12 T21 T13 T31 T23 T32
Zato ima antisimetrični tenzor samo tri komponente, tako kot vektor.
Za vsak antisimetrični tenzor T obstaja vektor t A tako, da velja
za vsak vektor a
Ta t A a
Vektor t A imenujemo dualni vektor antisimetričnega tenzorja T .
Ponekod ga imenujejo tudi aksialni vektor.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Pokažimo, da lahko dejansko najdemo takšen vektor.
T12 e1 Te2 e1 t A e2 t A e2 e1 t A e3 t3A
T31 e3 Te1 e3 t A e1 t A e1 e3 t A e2 t2A
T23 e2 Te3 e2 t A e3 t A e3 e2 t A e1 t1A
T21 e2 Te1 e2 t A e1 t A e1 e2 t A e3 t3A
T13 e1 Te3 e1 t A e3 t A e3 e1 t A e2 t2A
T32 e3 Te2 e3 t A e2 t A e2 e3 t A e1 t1A
Komponente tega vektorja so
t A T23e1 T31e2 T12e3 T32e1 T13e2 T21e3
Z indeksi lahko omenjeno zapišemo kot
1
t A ijk Tjk ei
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
LASTNE VREDNOSTI IN LASTNI VEKTORJI TENZORJA
Predpostavimo tenzor T . Če je a vektor, ki se vsled T transformira
v vektor, vzporeden s samim seboj,
Ta λa
(*)
imenujemo vektor a lastni vektor, konstanto λ pa lastno vrednost
tenzorja T.
Za linearno transformacijo velja
T a Ta = λ a
Lastni vektorji, ki zadostijo enačbi (*) imajo lahko poljubno dolžino.
Pri izračunih se omejimo samo na lastne vektorje z enotno dolžino.
Tenzor ima lahko neskončno število lastnih vektorjev.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Vsak vektor je lastni vektor identičnega tenzorja.
Ia λa a
Vsaka lastna vrednost identičnega tenzorja je enaka 1.
Imejmo enotski vektor n . Potem velja
Tn λn λIn
T λI n 0
n i ei
n n 1
i i 1
V komponentni obliki velja
T
ij
λ ij j 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
V razpisani obliki je omenjeno
T11 λ 1 T12 2 T133 0
T121 T22 λ 2 T23 3 0
T311 T32 2 T33 λ 3 0
Trivialna rešitev omenjenega sistema je
1 2 3 0
Netrivialno rešitev dobimo samo takrat, ko je determinanta sistema
T λI 0
T11 λ
T12
T13
T21
T22 λ
T23 0
T31
T32
T33 λ
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Za omenjeno determinanto dobimo kubično enačbo za lambda. Imenujemo
jo karakteristično enačbo tenzorja T.
Rešitve karakteristične enačbe so lastne vrednosti tenzorja T.
Te enačbe, skupaj z enačbo
12 22 32 1
določajo enotne lastne vektorje.
Če ima tenzor realne komponente in je simetričen, so vse lastne vrednosti
realne.
Če je tenzor realen in nesimetričen sta lahko dve lastni vrednosti kompleksni
konjugirani števili.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
POGLAVITNE VREDNOSTI IN POGLAVITNE SMERI REALNIH
SIMETRIČNIH TENZORJEV
Lastne vrednosti vseh realnih simetričnih tenzorjev so vse realne.
Omenjene lastne vrednosti imenujemo poglavitne vrednosti, lastne vektorje
pa poglavitne smeri.
Izpeljimo, da vedno obstajajo tri poglavitne smeri, ki so med seboj pravokotne.
Tn1 λ1n1
Tn 2 λ 2n 2
n2 Tn1 n2 λ1n1 =λ1n2 n1
n1 Tn2 n1 λ2n2 =λ2n1 n2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Za simetrični tenzor velja
T TT
n1 Tn2 n2 TTn1 n2 Tn1
n2 Tn1 n1 TTn2 n1 Tn2
λ1n2 n1 λ 2n2 n1 0
λ1
λ2 n2 n1 0
Če lastni vrednosti nista enaki, sta lastna vektorja pravokotna.
Če so lastne vrednosti simetričnega tenzorja različne, so lastni vektorji
pravokotni.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Predpostavimo
Tn1 λ1n1
Tn 2 λ 2n 2
Tn1 n2 Tn1 Tn2 λn1 λn2 λ n1 n2
Potem je tudi
n1 n2
lastni vektor z enako lastno vrednostjo
λ
Za vsak realni simetrični tenzor obstaja vsaj ena triada vektorjev,
ki so med seboj pravokotni.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
MATRIKA TENZORJA GLEDE NA POGLAVITNE SMERI
Za realne simetrične tenzorje vedno obstajajo tri poglavitne smeri, ki
so med seboj pravokotne. Naj bodo n1 n 2 n3 enotni vektorji v teh smereh.
Če te vektorje uporabimo kot bazne vektorje, so komponente tenzorja
T11 n1 Tn1 n1 1n1 1n1 n1 1
T22 n 2 Tn 2 n 2 2 n 2 2 n 2 n 2 2
T33 n3 Tn 3 n 3 3n 3 3n 3 n 3 3
T12 n1 Tn 2 n1 2n 2 2n1 n 2 0
T13 n1 Tn 3 n1 3n 3 3n1 n 3 0
T23 n 2 Tn 3 n 2 3n 3 3n 2 n 3 0
λ1
T 0
0
0
λ2
0
0
0
λ 3 n
i
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Matrika tega tenzorja je diagonalna in diagonalne vrednosti so lastne
vrednosti tenzorja T
Poglavitne vrednosti tenzorja T vsebujejo maksimalne in minimalne
vrednosti, ki jih lahko ima katerakoli matrika tenzorja T.
Za katerikoli enotski vektor velja
e1' n1 n2 n3
T11' e1' Te1'
λ1
0
0
0
λ2
0
0
0
λ 3
T11' λ1 2 λ 2 2 +λ3 2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Brez izgube splošnosti lahko zapišemo
λ1 λ 2 λ 3
upoštevajmo
λ1 λ1 2 2 2 λ1 2 +λ 2 2 +λ3 2
λ1 T11'
se pravi vsi diagonalni elementi so pod
λ1
λ1 2 +λ 2 2 +λ3 2 λ3 2 2 2 λ3
T11' λ3
se pravi vsi diagonalni elementi so nad
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
λ3
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
POGLAVITNE SKALARNE INVARIANTE TENZORJA
Tij λ ij 0
T λI 0
Karakteristično enačbo tenzorja T zapišemo v obliki
λ3 I1λ2 I 2 λ I3 0
Skalarne invariante so
I1 =T11 T22 T33 tr T
T11 T12 T22 T23 T11 T13
I2 =
T21 T22 T32 T33 T31 T33
1
1
2
TiiT jj TijT ji tr T +tr T2
2
2
T11 T12 T13
I 3 = T21 T22 T23
T31 T32 T33
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
I1 =λ1 λ 2 λ3
I 2 =λ1λ 2 λ 2 λ3 λ3 λ1
I 3 =λ1λ 2 λ 3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
POGLAVJE 2, DEL C
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DEL C
TENZORSKE FUNKCIJE SKALARJEV
Definirajmo
T Tt
T t t T t
dT
lim t 0
dt
t
d
dT dS
T S
dt
dt dt
d
d
dT
t
T
T
dt
dt
dt
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
d
dT
dS
TS S T
dt
dt
dt
d
dT
da
Ta a T
dt
dt
dt
d T dT
T
dt
dt
T
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Izpeljimo samo eno definicijo. Ostale lahko po istem kopitu.
d
dT
da
Ta
a
T
dt
dt
dt
T t t a t t T t a t
d
Ta lim t 0
dt
t
T t t a t t T t a t T t a t t T t a t t
lim t 0
t
T t t a t t T t a t t T t a t t T t a t
lim t 0
t
T t t T t
a t t a t
lim t 0
a t t lim t 0 T t
t
t
dT
da
aT
dt
dt
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
SKALARNO POLJE IN GRADIENT SKALARNE FUNKCIJE
Definicija
r
d r dr r dr
d
dr
e
dr
dr
d
ei
xi dr v smeri ei
Kartezijeve komponente gradienta skalarne funkcije
e1
e2
e3
ei
x1
x2
x3
xi
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
VEKTORSKO POLJE IN GRADIENT VEKTORSKEGA POLJA
Definicija
v v r
dv v r dr v r v dr
dr dr
dr
dr
dv
v e
dr v smeri e
e
V Kartezijevih koordinatah
v
dv
v e j
dr v smeri e j x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
v ij
v v ei vi
ei v e j ei
x j
x j
x j
v1
x1
v2
v
x1
v
3
x1
v1
x2
v2
x2
v3
x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
v1
x3
v2
x3
v3
x3
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
DIVERGENCA VEKTORSKEGA POLJA IN
DIVERGENCA TENZORSKEGA POLJA
Definicija
v tr v
V Kartezijevih koordinatah
v1 v2 v3 vi
v
x1 x2 x3 xi
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Definicija
T Tr
Divergenca tenzorja T je definirana tako, da za vsak vektor a velja
T a TTa tr TTa
V Kartezijevih koordinatah imamo
e i 0
Definirajmo b T
bi b ei T ei tr T ei Tij e j 0
T
T
Tij
x j
T
Tij
x j
ei
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
ROTOR VEKTORSKEGA POLJA
Naj bo v v r vektorsko polje
Rotor vektorskega polja je definiran kot 2x dualni vektor antisimetričnega
dela v
v 2t A
tA
je dualni vektor
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
v
A
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
V pravokotnih kartezijevih koordinatah imamo
v
A
1 v1 v2
0
2
x
x
1
2
1 v1 v2
0
2 x2 x1
1 v1 v3
1 v2 v3
2 x x 2 x x
1
2
3
3
1 v1 v3
2 x3 x1
1 v2 v3
2 x3 x2
0
v3 v2
v1 v3
v2 v1
v 2t
e1
e2
e3
x1 x2
x2 x3
x3 x1
A
V indeksni notaciji je zgornji zapis
v ijk
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
v j
xk
ei
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
LAPLACE SKALARNEGA POLJA
Definicija
2 f f tr f
V Kartezijevih koordinatah Laplace postane
2
2
2
2
f
f
f
f
2 f tr f
2 2 2
xi xi x1
x2 x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
LAPLACE VEKTORSKEGA POLJA
2
Definicija v v v
V pravokotnih koordinatah
vk
v
xi xk
ei
v j
v jk
xk
e
v i
x
ij k
ik j
x
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
v j
jk
xk
v j
xk
v j
ei i i
x xk
ei
x
vi
xk
x
ei
v j
xk
ei
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Zato
v v v
xi
2
vk
xk
e
i
x
vi
x
x
v j
x
ei
To je v pravokotnih koordinatah
2 vi
v
ei 2 vi ei
x x
2
V dolgi obliki
2 v1 2 v1 2 v1
2 v2 2 v2 2v2
2 v3 2 v3 2 v3
v 2 2 2 e1 2 2 2 e2 2 2 2 e3
x2 x3
x2
x3
x2
x3
x1
x1
x1
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
TENZORJI / TENSORS