Transcript 03_kinematika_kontin..

UVOD V KINEMATIKO KONTINUUMA
Vejo mehanike, kjer snov obravnavamo nedeljivo
(brez notranje strukture) imenujemo mehaniko kontinuuma.
Teoretično obravnavamo infinitezimalni del volumna snovi, ki potem z
ostalimi infinitezimalnimi deli skupaj tvori obravnavani makroskopski del
snovi.
V tem poglavju obravnavamo kinematiko (gibanje) tovrstnih infinitezimalnih
delov snovi.
Popolnoma nič pa se ne sprašujemo zakaj to gibanje nastaja.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POGLAVJE 3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
OPIS GIBANJA KONTINUUMA
V kinematiki pot delca opišemo z vektorsko funkcijo r
v odvisnosti od časa
t
r  r(t )
r
predstavlja pozicijski vektor, ki ga izražamo s koordinatnimi vektorji
r(t )  x1 (t )e1  x2 (t )e2  x3 (t )e3
Prejšnjo enačbo s komponentami zapišemo v obliki
x1  x1 (t ), x2  x2 (t ), x3  x3 (t )
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V primeru, da imamo N delcev in poti, vsako izmed poti opišemo z eno
izmed enačb
rn  rn (t ); N  1, 2,..., N 1, N
Delec 1 potuje po poti
r1  r1 (t )
Delec 2 potuje po poti
r2  r2 (t )
Itd.
V kontinuumu je neskončno veliki delcev. Zato jih ni mogoče oštevilčiti
in obravnavati vsakega posebej. Zato delce identificiramo s pozicijo, ki
jo delci zasedajo ob referenčnem času t 0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
KINEMATIKA KONTINUUMA
Delec P je bil ob času t 0 na položaju X
Zato lahko delec identificiramo z začetnimi koordinatami ( X1 , X 2 , X 3 )
Poti vsakega delca kontinuuma lahko opišemo z naslednjo vektorsko
enačbo
x  x( X, t )
pri čemer velja začetno stanje
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
X  x(X, t0 )
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Pri čemer je x pozicijski vektor delca P ob času
t
x(t )  x1 (t )e1  x2 (t )e2  x3 (t )e3
Ta delec je bil ob času
t0
x(t0 )  X(t0 )  X1 (t0 )e1  X 2 (t0 )e2  X 3 (t0 )e3
V razpisani koordinatni obliki sta zgornji dve enačbi
x1  x1  X 1 , X 2 , X 3 , t 
x2  x2  X 1 , X 2 , X 3 , t 
x3  x3  X 1 , X 2 , X 3 , t 
X 1  x1  X1 , X 2 , X 3 , t0 
X 2  x2  X1 , X 2 , X 3 , t0 
X 3  x3  X 1 , X 2 , X 3 , t0 
V skrajšani koordinatni obliki pa
xi  xi  X1, X 2 , X 3 , t 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
X i  xi  X1, X 2 , X 3 , t0 
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Koordinate
( X1 , X 2 , X 3 )
definirajo različne delce sistema. Zato jih imenujemo snovne (materialne)
koordinate.
Zapisane enačbe definirajo gibanje kontinuuma. Pravzaprav definirajo
poti vseh delcev kontinuuma.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
SNOVNI (MATERIALNI) POPIS IN PROSTORSKI POPIS
Če se kontinuum giba, se njegova temperatura  hitrost
v
in napetostni tenzor T spreminjajo v času. Spreminjanje lahko opišemo
na dva načina
1) Prvi način: sledimo spremembam istega delca (na različnih krajih) po času
ˆ ( X , X , X , t)

1
2
3
v  vˆ ( X 1 , X 2 , X 3 , t )
strešica pomeni isti delec
ˆ ( X , X , X , t)
TT
1
2
3
Tak opis imenujemo snovni (materialni) opis ali Lagrangeov opis.
( X1 , X 2 , X 3 ) so snovne (materialne) koordinate
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
2) Drugi način: sledimo spremembam različnih delcev na fiksnem kraju po času
  ( x1 , x2 , x3 , t )
v  v( x1 , x2 , x3 , t )
T  T( x1 , x2 , x3 , t )
Tak opis imenujemo prostorski opis ali Eulerjev opis.
( x1 , x2 , x3 ) so prostorske koordinate
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
MATERIALNI ODVOD
Spremembo lastnosti delca po času imenujemo snovni (materialni) odvod.
Snovni odvod označimo kot
D
Dt
d
(v določenih knjigah)
dt
1) V primeru snovnega popisa skalarne funkcije imamo
ˆ ( X , X , X , t)

1
2
3
ˆ
D  


Dt  t  X fixed
i
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
2) V primeru prostorskega popisa skalarne funkcije imamo
  ( x1, x2 , x3 , t )
xi  xˆi ( X1 , X 2 , X 3 , t )
ˆ
   xˆ1    xˆ2    xˆ3   
D  










Dt  t  X fixed  x1  t  x2  t  x3  t  t  x fixed
i
i
ˆ
  
  
  
  
D  



 v3  
 v1  
 v2  

Dt  t  X fixed  x1 

x

x

t


 2
 3
i
ˆ
D  




 vi

Dt  t  X fixed t
xi
i
V brezkoordinatni obliki imamo
D 

 v 
Dt
t
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POSPEŠEVANJE DELCA
Opišimo gibanje kontinuuma v obliki
x  x( X, t ) pri čemer velja začetna konfiguracija X  x(X, t0 )
Hitrost delca
v ob času t delca X je
Dx
 x 
v 

 t  X i fixed Dt
Pospešek
a delca X ob času t je
Dv
 v 
a 

 t  X i fixed Dt
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Primer 1
Imamo podano v  v(X, t ) in izračunamo pospešek delca.
v ( X, t )
a
t
Primer 2
Imamo podano v  v(x, t ) in izračunamo pospešek delca.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Imejmo Kartezijev koordinatni sistem
v  v1  x1, x2 , x3 , t  e1  v2  x1, x2 , x3 , t  e2  v3  x1, x2 , x3 , t  e3
Ker so bazni vektorji fiksni, velja
Dv3
Dv2
Dv Dv1
a

e1 
e2 
e3
Dt
Dt
Dt
Dt
V komponentni obliki imamo
Dvi vi
vi
vi
vi
ai 

 v1
 v2
 v3
Dt
t
x1
x2
x3
vi
vi
ai 
 vj
t
x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V brezkoordinatni obliki imamo
a
v
  v  v
t
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POLJE PREMIKA
t0  do trenutne pozicije
P t0  do P  t  in ga označimo z u  X,t 
Polje premika delca iz referenčne pozicije P
P  t  definiramo kot vektor od
u  X, t   x  X, t   X  x  X, t   x  X, t0 
Iz zgornjega je razvidno, da če poznamo pot delca, poznamo tudi njegov
premik.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
.
ENAČBE GIBANJA TOGEGA TELESA
Translacijo togega telesa opišemo z
x  X  c t 
Pri tem je
c  t0   0
Premik togega telesa zaradi translacije je neodvisen od X
u  x  X  X  c t   X  c t 
Rotacijo togega telesa okoli fiksne točke b opišemo z
x  b  R t  X  b
Kjer je R rotacijski tenzor.
R t0   I in b je konstantni vektor, ki
predstavlja točko okoli katere se togo telo vrti.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Splošno gibanje togega telesa opišemo z
x  R t  X  b  c t 
Kjer je R rotacijski tenzor.
katerega velja
c  t0   b
R t0   I in c t  je vektor, za
Zgornja enačba predstavlja translacijo točke X  b
in rotacijo okoli te točke.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
INFINITEZIMALNA DEFORMACIJA
Shema infinitezimalne deformacije
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
INFINITEZIMALNA DEFORMACIJA
Obstajajo številni problemi, kjer lahko predpostavimo, da je
deformacija (premik) infinitezimalna.
Po deformaciji je pozicija delca P
x  X  u(X, t )
Sosednja točka Q , ki je na položaju X  dX pride na položaj x  dx
x  dx  X  dX  u(X  dX, t ) po deformaciji je pozicija delca Q
Če zgornji dve enačbi odštejemo, dobimo
dx  dX  u(X  dX, t )  u(X, t )
u(X  dX, t )  u(X, t )  u dX
dx  dX  u dX
 u  je tenzor drugega reda, ki ga imenujemo gradient premika.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V Kartezijevem koordinatnem sistemu je matrika tenzorja
 u1

 X 1
 u2
 u   
 X 1
 u3

 X 1
u1
X 2
u2
X 2
u3
X 2
 u  oblike
u1 

X 3 
u2 

X 3 
u3 

X 3 
Enačbo dx  dX   u  dX  I   u   dX
lahko zapišemo tudi kot
dx  FdX
F  I   u 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
F imenujemo deformacijski gradient. Ker predstavlja gradient funkcije,
x  xˆ ( X, t ) , ki predstavlja gibanje.
Poiščimo relacije med razdaljami
ds
, ki predstavlja dolžino dx
dS
, ki predstavlja dolžino dX
dx  dx  FdX  FdX  dX   F T F  dX
ds 2  dX  CdX
C  FTF
Tenzor C imenujemo desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V primeru
CI
Velja
ds 2  dS 2
Zato C  I predstavlja gibanje togega telesa (translacije in/ali rotacije).
C  F F   I  u 
T
T
 I  u   I  u   u 
T
  u   u 
T
Definirajmo
E* 
1
T
T
u   u    u   u   Lagrangeov deformacijski tenzor

2
Zgornja enačba za desni Cahchy-Greenov deformacijski tenzor
zato dobi obliko
C  I  2E*
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V nadaljevanju privzamimo samo majhne deformacije. V tem primeru velja
1
1
T
T
T

E  u    u     u    u   E   u    u  


2
2
*
C  I  2E
1
T
E  u   u    simetrični del  u 

2
Ta tenzor imenujemo infinitezimalni deformacijski tenzor. V Kartezijevih
koordinatah ima obliko
1  ui u j
Eij  


2  X j X i
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010



MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Matrika infinitezimalnega deformacijskega tenzorja je v
Kartezijevih koordinatah

u1

X 1

 
1 u1 u2 


 E  

 2  X 2 X 1 

 1  u1 u3 
 2  X  X 
  3
1 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
1  u1 u2 



2  X 2 X 1 
u2
X 2
1  u2 u3 



2  X 3 X 2 
1  u1 u3  



2  X 3 X 1  

1  u2 u3  



2  X 3 X 2  

u3


X 3

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Obravnavajmo dva snovna elementa
dX (1)
dX (2)
Zaradi gibanja postaneta ob času
t
dx(1)
dx(2)
Zaradi infinitezimalne deformacije lahko zapišemo zadnjo približnost
dx(1)  dx(2)  FdX(1)  FdX(2)  dX(1)  CdX(2)
 dX(1)   I  2E*  dX(2)  dX(1)   I  2E  dX(2)
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2)  2dX(1)  EdX(2)
To enačbo bomo v nadaljevanju uporabili za
definicijo pomena komponent infinitezimalnega deformacijskega tenzorja.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
GEOMETRIJSKI POMEN KOMPONENT INFINITEZIMALNEGA
DEFORMACIJSKEGA TENZORJA
Diagonalni elementi infinitezimalnega deformacijskega tenzorja
dX(1)  dX(2)  dX  dSn
n enotski vektor
po deformaciji je ds dolžina dx
dS je dolžina dX
ds 2  dx  dx  dX  dX  2dX EdX
 dS 2  2dSn EdSn  dS 2  2dS 2  n  En 
Za majhne deformacije velja
ds2  dS 2   ds  dS    ds  dS   2dS  ds  dS 
ds  dS
2
2
2
2dS  ds  dS   ds  dS  2dS n  En
 n  En  Enn
dS
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Enn je relativno podaljšanje elementa, ki je bil originalno v smeri en
Diagonalne elemente
Enn imenujemo tudi normalne deformacije.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Ne-diagonalni elementi infinitezimalnega deformacijskega tenzorja
Imejmo
dX(1)  dS1m dX(2)  dS2n
Predpostavimo
m n  0
ds1ds2 cos  2dS1dS2m  En
 meri majhen prirastek kota med dX(1) in dX(2)

 je strižna deformacija
Definirajmo    
2
Za male deformacije velja
ds1
ds2


1
1
cos      sin   
dS1
dS2
2

  2(m  En) Če sta bila m in n v smeri e1 in e2 velja   2(e1  Ee2 )
2 Eij podaja zmanjšanje kota (glede na  /2) med dvema elementoma,
ki sta bila na začetku v smereh ei in e j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POGLAVITNE DEFORMACIJE
Ker je infinitezimalni deformacijski tenzor E simetričen in realen,
obstajajo vsaj tri med seboj ortogonalne poglavitne smeri n1n2n3 , da
lahko zapišemo
En
i
 E1
  0
 0
0
0 
E3 
0
E2
0
λ3  I1λ2  I2λ  I3  0
I1  E11  E22  E33
I2 
E11 E12
E21 E22

E22 E23
E32 E33

E11 E13
E31 E33
I 3  Eij
I1 , I 2 , I3 imenujemo poglavitne skalarne invariante
infinitezimalnega deformacijskega tenzorja
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
DILATACIJA
Prva skalarna invarianta deformacijskega tenzorja ima preprosti geometrijski
pomen. Predpostavimo tri diferenciale materialnih dolžin v smeri koordinatnih
osi. Volumen, ki ga opisujejo, je
dV  dS1dS2 dS3
Po deformaciji velja
  dV   dV  t   dV  t0  
 dS1dS2 dS3 (1  E1 )(1  E2 )(1  E3 )  dS1dS 2 dS3
 dS1dS2 dS3  E1  E2  E3 
za majhne deformacije
  dV 
e
 E1  E2  E3  I1 prva skalarna invarianta
dV
imenujemo
ui
u1 u2 u3
e


e  Eii 
   u e dilatacija
X i
dx1 dx2 dx3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
INFINITEZIMALNI ROTACIJSKI TENZOR
Tenzor gradienta premika u izrazimo s simetričnim in nesimetričnim
delom deformacijskega tenzorja
dx  dX  u dX  dX   E  Ω dX
S
E   u  infinitezimalni deformacijski tenzor
Ω   u  infinitezimalni rotacijski tenzor
T
Ω predstavlja infinitezimalno rotacijo triade poglavitnih lastnih vektorjev E
Rotacijo opišemo z vektorjem
ΩdX  t A  dX
t A  32e1  13e2  21e3
Komponente vektorja 32 , 13 , 21 podajajo infinitezimalni kot rotacije
okoli osi e1 , e2 , e3 , ki so v smeri poglavitnih smeri E
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
SPREMEMBA MATERIALNEGA ELEMENTA PO ČASU (HITROST)
Predpostavimo materialni element dx na mestu x ob času t .
Izračunajmo spremembo tega materialnega elementa po času
x  x  X,t 
dx  x  X  dX, t   x  X, t 
Naredimo materialni odvod zgornje enačbe
D
D
D
dx 
x  X  dX, t  
x  X, t 
Dt
Dt
Dt
D
dx  vˆ  X, t   v  x, t 
Dt
D
dx  vˆ  X  dX, t   vˆ  X, t   v  x  dx, t   v  x, t 
Dt
D
dx    X vˆ  dX    x v  dx
Dt
Indeks pri gradientnem operatorju označuje bodisi snovni ali
prostorski popis.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V nadaljevanju uporabljamo samo prostorski popis hitrosti, tako da imamo
za gradient hitrosti
D
dx   v  dx
Dt
V Kartezijevih koordinatah je tenzor gradienta hitrosti
 v1 v1 v1 



x

x

x
2
3 
 1
 v2 v2 v2 
 v   

 x1 x2 x3 
 v3 v3 v3 


 x1 x2 x3 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
SPREMEMBA DEFORMACIJSKEGA TENZORJA PO ČASU
(HITROST DEFORMACIJE)
Tenzor gradienta hitrosti lahko razstavimo na simetrični in antisimetrični del
v   D  W
1
T
D    v    v  

2
1
T
W   v    v  

2
D
tenzor hitrosti deformacije
W
tenzor spina
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Komponente tenzorja hitrosti deformacije so v Kartezijevih koordinatah

v1

x1

 
1 v1 v2 
S

 D    v      
2  x2 x1 

 1  v1 v3 
 2  x  x 
  3
1 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
1  v1 v2 



2  x2 x1 
v2
x2
1  v2 v3 



2  x3 x2 
1  v1 v3  



2  x3 x1  

1  v2 v3  



2  x3 x2  

v3


x3

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Komponente tenzorja spina so v Kartezijevih koordinatah
 W    v 
A

1  v1 v2 
1  v1 v3  
0
 




  
2

x

x
2

x

x
1 
1 
 2
 3








v

v

v

v
1
1
   1  2 
0
  2  3 
 2  x2 x1 
2  x3 x2  


 1  v1 v3 

1  v2 v3 
0
  2  x  x   2  x  x 



1 
2 
 3
 3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Pokažimo, da je hitrost spremembe dolžine dx opisana s tenzorjem D
dx  dx   ds 
2
D
D
2
dx  d x 
 ds 
Dt
Dt
D
D
2dx 
dx  2ds
ds
Dt
Dt
D
dx 
dx  dx   v  dx  dx   D  W  dx  dx  Ddx  dx  Wdx
Dt
Uporabimo definicijo transponiranega vektorja in antisimetrično lastnost W
dx  Wdx  dx  WT dx  dx  WT dx  0
Tako velja
dx 
D
dx  dx  Ddx
Dt
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
ds 
D
 ds   dx  Ddx
Dt
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Velja
dx  dsn
1
D
1
ds   ds  
dx  Ddx
2
2
Dt
 ds 
 ds 
1 D
 ds   dn  Ddn  Dnn
ds Dt
Hitrost deformacije dolžine imenujemo skrček. Podan je z
Dnn .
Dnn je hitrost relativnega podaljšanja elementa, ki je bil originalno
v smeri en
2 Dij podaja hitrost zmanjšanja kota (glede na  /2) med dvema elementoma,
ki sta bila na začetku v smereh ei in e j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Hitrost zmanjšanja kota imenujemo tudi hitrost striga ali striženje.
Relativna sprememba volumna po času
D11  D22  D33 
1 D
dV
dV Dt
Omenjeno s komponentami hitrosti zapišemo kot
vi
1 D
dV 
  v
dV Dt
xi
Ker je D simetričen, vedno obstajajo tri med seboj pravokotne smeri
(poglavitne lastne vektorje D ), okoli katerih ima krčenje minimalno in
maksimalno vrednost.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
TENZOR SPINA IN VEKTOR KOTNE HITROSTI
Ker je tenzor spina antisimetričen, lahko definiramo vektor kotne hitrosti
Wa  ω  a
ω   W23e1  W31e2  W12e3 
Lahko zapišemo
Wd x  ω  d x
Velja
D
dx   v  dx   D  W  dx  Ddx  Wdx  Ddx  ω  dx
Dt
Vektor
ω rotira vektor dx brez spremembe njegove dolžine.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
ENAČBA OHRANITVE MASE
Definirajmo pomemben princip mehanike kontinuuma, princip ohranitve
mase. Princip navaja, da če sledimo infinitezimalnemu volumnu materiala,
se lahko spremenita volumen ali gostota materiala, njun produkt (masa) pa
ne.
D
D
dm 
  dV   0
Dt
Dt
D
D
  dV  
dV  0
Dt
Dt
vi D


dV  0
xi Dt
V koordinatno invariantni obliki je zgornja enačba
D  

 v 
Dt
t
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
V Kartezijevih koordinatah je enačba ohranitve mase
 v1 v2 v3  






 v1
 v2
 v3
0

x1
x2
x3
 x1 x2 x3  t
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POGOJI KOMPATIBILNOSTI INFINITEZIMALNIH KOMPONENT
DEFORMACIJE
V primeru, ko imamo podane tri komponente u1 u2 u3 premika lahko
izračunamo šest komponent deformacijskega tenzorja na podočjih,
kjer lahko izračunamo odvode
ui
X j
V primeru, ko imamo podanih šest komponent deformacijskega tenzorja
E11 E22 E33 E12 E13 E23
pa lahko tudi ne obstajajo tri komponente
premika, ki zadovoljujejo naslednje deformacijsko-premične zveze.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Zveze med premikom in deformacijo
u1
 E11
X 1
u2
 E22
X 2
u3
 E33
X 3
1  u1 u2 


  E12
2  X 2 X 1 
1  u1 u3 


  E13
2  X 3 X 1 
1  u2 u3


2  X 3 X 2

  E23

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Kot primer neobstoja teh ralacij si oglejmo naslednje komponente
deformacijskega tenzorja
E11  kX 22
E22  E33  E12  E13  E23  0
Sledi
u1
 E11  kX 22
X1
u1  kX1 X 22  f  X 2 , X 3 
u2
 E22  0
X 2
u2  g  X1, X 3 
Kjer sta f in g poljubni integracijski konstanti (funkciji).
Ker je
E12  0 mora veljati
u1 u2

0
X 2 X1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
f  X 2 , X 3  g  X1 , X 3 
2kX1 X 2 

0
X 2
X 2
Ta enačba pa nikoli ne mora biti zadoščena. Iz tega sledi, da definiranih
šest komponent deformacijskega tenzorja ni kompatibilnih!
IZREK


Naj bodo Eij  Eij X1 , X 2 , X 3 zvezne funkcije, ki imajo zvezne druge
parcialne odvode v preprosto povezanem območju.
Potrebni in zadostni pogoj, da obstajajo enolične zvezne funcije pomika
u1 u2 u3 , ki zadostijo šestim enačbam deformacijskega tenzorja, so
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Potrebni in zadostni pogoji kompatibilnosti so
 2 E11  2 E22
 2 E12

2
2
2
X 2
X1
X1X 2
 2 E23
 2 E22  2 E33

2
2
2
X 3
X 2
X 2X 3
To so enačbe kompatibilnosti
(ali pogoji integrabilnosti)
 2 E33  2 E11
 2 E31

2
2
2
X1
X 3
X 3X1
 2 E11
  E23 E31 E12 





X 2X 3 X 1  X 1 X 2 X 3 
 2 E22
  E31 E12 E23 





X 3X 1 X 2  X 2 X 3 X 1 
 2 E33
  E12 E23 E31 





X1X 2 X 3  X 3 X1 X 2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Da so te enačbe potrebne, lahko dokažemo na naslednji način
u1
 E11
X 1
u1
 E22
X 1
 3u1
2
E11

2
2
X 2 X 1 X 2
 3u2
2
E22

2
2
X 1 X 2 X 1
Zaradi zveznosti lahko spremenimo vrstni red odvajanja
 3u1
2
 2  u1 
E11 



2
2
X 2
X 2 X 1 X 1X 2  X 2 
 3u1
2
 2  u2 
E22 



2
2
X 1
X 2 X 1 X 1X 2  X 1 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
2
2
 2  u1 
 2  u2 
E11 
E22 




2
2
X 2
X 1
X 1X 2  X 2  X 1X 2  X 1 
 2  u1 u2 
2

E12

2
X 1X 2  X 2 X 1 
X 1 X 2
Ostalih pet kompatibilnostnih enačb lahko izpeljemo na podoben način.
V primeru območja, ki ni prosto povezano, opisani kompatibilnostni
pogoji niso dovolj.
Če so komponente deformacije linearne funkcije koordinat so
kompatibilnostni pogoji zadoščeni.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POGOJI KOMPATIBILNOSTI SPREMEMB DEFORMACIJSKIH
KOMPONENT
V primeru, ko imamo podane tri komponente hitrosti v1 v2 v3 lahko
izračunamo šest komponent sprememb deformacijskega tenzorja na
področjih, kjer lahko izračunamo odvode
vi
X j
V primeru, ko imamo podanih šest komponent sprememb deformacijskega
tenzorja D D D D D D pa lahko tudi ne obstajajo tri komponente
11
22
33
12
13
23
hitrosti, ki zadovoljujejo naslednje zveze med hitrostjo in spremembo
deformacije.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Zveze med hitrostjo in spremembo deformacije
v1
 D11
X 1
v2
 D22
X 2
v3
 D33
X 3
1  v1 v2 


  D12
2  X 2 X 1 
1  v1 v3 


  D13
2  X 3 X 1 
1  v2 v3 


  D23
2  X 3 X 2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Potrebni in zadostni pogoji kompatibilnosti so
 2 D11  2 D22
 2 D12

2
2
2
X 2
X1
X1X 2
 2 D23
 2 D22  2 D33

2
2
2
X 3
X 2
X 2X 3
To so enačbe kompatibilnosti
(ali pogoji integrabilnosti)
 2 D33  2 D11
 2 D31

2
2
2
X1
X 3
X 3X1
 2 D11
  D23 D31 D12 





X 2X 3 X 1  X 1 X 2 X 3 
 2 D22
  D31 D12 D23 





X 3X 1 X 2  X 2 X 3 X 1 
 2 D33
  D12 D23 D31 





X 1X 2 X 3  X 3 X 1 X 2 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
DEFORMACIJSKI GRADIENT
Ponovimo, da lahko splošno gibanje kontinuuma popišemo kot
x  x  X,t 
dx  x  X  dX, t   x  X, t   x dX
dx  FdX
F
F  Xx  X,t 
predstavlja tenzor gradienta deformacije
F  I  u
x  Xu
Fizika zahteva, da je dx enak nič samo, če je dX enak nič. Zato
1
obstaja F
dX  F1dx
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Prav tako fizika ne dovoljuje inflekcije deformacije, kar pomeni
F  Fe1  Fe2  Fe3  0
Seveda zgornje velja v primeru, če
vektorje.
e i predstavljajo desnosučne bazne
LOKALNO TOGO GIBANJE
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
KONČNA DEFORMACIJA
Deformacijo materialne točke X telesa okarakterizira spremamba
razdalje med katerimakoli paroma materialnih točk v majhni razdalji
okoli X .
Zaradi gibanja se materialni element dX spremeni v
dx  FdX
Celotna informacija o deformaciji je vključena v
deformacijskem gradientu F
Če F predstavlja pravilni ortogonalni vektor v točki X ni deformacije.
Predpostavimo, da je F pozitivno definitni simetrični tenzor.
Za tak tenzor uporabimo oznako U . Velja
a  Ua  0 za vsak realni vektor in a  Ua  0 samo če a  0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Za takšno deformacijo napišemo
dx  UdX
V tem primeru je okolica X v popolnem raztegu. V primeru
x  UX
je celotno telo v popolnem raztegu. Kjer je U konstantni tenzor.
Tenzor U lahko napišemo v dagonalni obliki
 λ1 0 0 
 U   0 λ 2 0 
0 0 λ 3  e
i
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
dX(1)  dX1e1
dx(1)  λ1dX1e1  λ1dX(1)
dX(2)  dX 2e2
dx(2)  λ2dX 2e2  λ2dX(2)
dX(3)  λ3dX(3)
dx(3)  λ3dX 3e3  λ3dX(3)
Okoli teh smeri je deformirani element v isti smeri kot nedeformirani.
Razmerje med deformiranim in nedefrormiranim elementom imenujemo
Razteg (ali skrček).
Stretch 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
dx
dX
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POLARNI DEKOMPOZICIJSKI IZREK
V prejšnji diskusiji smo vpeljali dve posebni obliki deformacijskega gradienta
FR
pravilni ortogonalni tenzor, ki predstavlja premik togega telesa
F  U Simetrični pozitivno definitni deformacijski gradient, ki predstavlja
tenzor čistega raztega.
Vsaki realni tenzor F z determinanto različno od nič lahko razstavimo v
F  RU
U desni tenzor raztega
F  VR
V levi tenzor raztega
R
pravilni ortogonalni tenzor
UVR
so enolično določeni
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Deformacijski gradient transformira dX v dx
dx  FdX  RUdX
Najprej U povzroči čisti razteg. Nato R povzroči čisto rotacijo.
dx  FdX  VRdX
Najprej R povzroči čisto rotacijo. Nato V povzroči čisti razteg.
Velja
F  RU  VR
Sledi
U  RT VR
Vseeno je ali deformacijo obravnavamo najprej kot čisti razteg,
nato kot čisto rotacijo ali najprej kot čisto rotacijo in nato kot čisti razteg.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Shema polarnega dekompozicijskega izreka
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
IZRAČUN SKRČKA (RAZTEGA) IN ROTACIJSKEGA TENZORJA IZ
DEFORMACIJSKEGA GRADIENTA
Izračunajmo
FTF = (RU)T (RU) = UT RT RU = UT U = UU
Sledi
U2 = FT F
Ko določimo U izračunamo še R
R = FU1
R R = (FU ) (RU ) =  U
T
1 T
1

1 T
F T FU 1 = U 1UUU 1 = I
Sledi
V = FRT  RURT
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
DESNI CAUCHY-GREENOV DEFORMACIJSKI TENZOR
C = U2
U desni tenzor skrčka ali raztega
C desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor
V primeru, ko ni deformacije, imamo
UC=I
V splošnem primeru imamo
C = FTF
Komponente C imajo zelo preprosti geometrijski pomen
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Predpostavimo dva materialna elementa
dX (1)
dX (2)
ki se transformirata v
dx(1)
dx(2)
dx(1)  dx(2)  FdX(1)  FdX(2)  dX(1)  FT FdX(2)  dX(1)  CdX(2)
dX(1)  dS1e1
dx(1)  ds1n1
Predpostavimo
dX(1)  dX(2)  dX  dS1e1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Dobimo
 ds1 
2
  dS1  e1  Ce1
2
Sledi
 ds1 
C11  

 dS1 
2
 ds2 
C22  

dS
 2
za
dX  dX(1)  dX(2)  dS1e1
2
 ds3 
C33  

dS
 3
za
dX  dX(1)  dX(2)  dS2e2
za
dX  dX(1)  dX(2)  dS3e3
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Predpostavimo
dX(1)  dS1e1
dX(2)  dS2e2
ds1ds2 cos   dS1dS2  e1  Ce2
ds1 ds2
C12 
cos  dx(1) , dx(2)  za
dS1 dS2
ds1 ds3
C13 
cos  dx(1) , dx(3)  za
dS1 dS3
ds2 ds3
C23 
cos  dx(2) , dx(3)  za
dS2 dS3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
dX(1)  dS1e1
dX(2)  dS2e2
dX(1)  dS1e1
dX(3)  dS3e3
dX(2)  dS2e2 dX(3)  dS3e3
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
LAGRANGEOV DEFORMACIJSKI TENZOR
Definirajmo
E* 
1
C - I 
2
C
je desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor
I
je identični tenzor
E*
je Lagrangeov tenzor končne deformacije
V primeru, ko ni deformacije, velja
CI
E*  0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Velja
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2)  dX(1)  C  I  dX(2)
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2)  2dX(1)  E*dX(2)
Za materialni element
dX  dS1e1
ki se deformira v
dx  dS1n1
Zgornja enačba za
dX(1)  dX(2)  dX  dS1e1
dx(1)  dx(2)  dx  ds1n
2
2
2
*
ds

dS

2
dS
e

E
e1
Da
1
1
1 1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
2
2
ds

dS
E11*  1 2 1
2dS1
za
dX  dS1e1 , ki se deformira v dx  ds1n
2
2
ds

dS
*
E22
 2 2 2
2dS2
za
dX  dS2e2 , ki se deformira v dx  ds2m
2
2
ds

dS
*
E33
 3 2 3
2dS3
za
dX  dS3e3 , ki se deformira v dx  ds2q
n, m, q so enotski vektorji, ki v splošnem niso ortogonalni
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Predpostavimo materialni element
dX (1)  dS1e1
dX (2)  dS 2e 2
ki se deformira v
dx(1)  dS1n
dx(2)  dS2m

(1)
Dobimo ds1ds2 cos dx , dx
(2)
  2dS dS e  E e
*
1
2 1
2
ds1ds2
2E 
cos  n, m 
dS1dS2
*
12
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Lagrangeov deformacijski tenzor lahko izrazimo z deformacijskim tenzorjem
1 T
1
1
T
T

E   F F - I   u   u    u   u 
 2
2
2
*
Napisano z indeksi, je
1  ui u j
E  


2  X j X i
*
ij
 1 um um
 
 2 X i X j
In v dolgi obliki
2
2
2

u1 1  u1   u2   u3  
*
E11 
 
 
 
 
X1 2  X1   X1   X1  


1  u1 u2  1  u1  u1   u2  u2   u3  u3  
*
E12  

  






2  X 2 X 1  2  X 1  X 2   X 1  X 2   X 1  X 2  
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
LEVI CAUCHY-GREENOV DEFORMACIJSKI TENZOR
B  V2
B je levi tenzor skrčka
V je levi Cauchy-Greenov deformcijski tenzor ali prstni deformacijski tenzor
V primeru, ko ni deformacije, velja
V BUCI
Iz
F  VR
izpeljemo
B  FF T
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Vstavimo
B  RCR T
C  R T BR
Če je n lastni vektor C z lastno vrednostjo λ , potem je Rn lastni vektor
B z enako lastno vrednostjo λ .
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Komponente B imajo zelo preprost geometrijski pomen, ki ga opišemo
na naslednji način.
Predpostavimo materialni element
dX  dSn
n  R Te1
ki se deformira v
dx  dsm
m
je enotski vektor
Dobimo
ds2  dS 2n  Cn  dS 2RTe1  CRTe1  dS 2e1  RCRTe1
ds 2  dS 2e1  Be1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010

za dX  dS R e1
T

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
za materialni element
dX  dS1  R T e1 
ds22
B22  2
dS2
za materialni element
dX  dS 2  R T e 2 
ds22
B33  2
dS2
za materialni element
dX  dS3  R T e3 
ds12
B11  2
dS1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Nadalje predpostavimo materialna elementa
dX(1)  dS1R T e1
dX(2)  dS 2 R T e 2
ki se deformirata v
dx (1)  ds1m
dx (2)  ds2n
m
n
sta enotska vektorja, ki v splošnem nista med seboj ortogonalna,
in tvorita kot 
Dobimo
ds1ds2  dS1dS2 cos   dS1dS2 R Te1n  C  R Te2  
dS1dS2e1  RCR Te2  dS1dS2e1  Be2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
(1)
T
d
X

dS
R
e1 

ds1ds2
1
(1)
(2)
za
materialna
elementa
B12 
cos  dx , dx 
(2)
T
d
X

dS
R
e2 
dS1dS2
2
ds1ds3
B13 
cos  dx(1) , dx(3) 
dS1dS3
dX(1)  dS1  R T e1 
za materialna elementa
dX(3)  dS3  R T e3 
(2)
T
d
X

dS
R
e2 
ds2 ds3

1
(2)
(3)
za
materialna
elementa
B23 
cos  dx , dx 
(3)
T
d
X

dS
R
e3 
dS2 dS3
3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Komponente B lahko izrazimo s komponentami premika
B = FF T   I  u  I  u   I  u   u    u  u 
T
T
T
V notaciji z indeksi imamo
 ui u j
Bij   ij  

 X
X i
j

  ui  u j 
  



X

X
  m  m 
Za male gradiente premika dobimo zvezo
1
Bij   ij   Eij

2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
EULERJEV DEFORMACIJSKI TENZOR
Definirajmo Eulerjev deformacijski tenzor
e* 
1
I - B 1 

2
B
je Cauchy-Greenov deformacijski tenzor
I
je identični tenzor
V primeru, ko nimamo deformacije, imamo
B 1  I
e*  0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Sedaj opišimo geometrijski pomen komponent tenzorjev
B 1
e*
dx  FdX
dX  F1dx
V primeru pravokotnih Kartezijevih koordinat imamo
dX i  Fij1dx j
X i
F 
x j
X i  X i  x1 , x2 , x3 , t 
1
ij
xi  xi  X 1 , X 2 , X 3 , t 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Če uporabimo Kartezijeve koordinate za referenčno in trenutno konfiguracijo
 X 1 X 1 X 1 



x

x

x
2
3 
 1
 X 2 X 2 X 2 
1
F   


x

x

x
2
3 
 1
 X 3 X 3 X 3 


 x1 x2 x3 
dX  dX
(1)
(2)
1
1
 F dx  F dx
(1)
(2)
 dx
(1)
F 
1 T
1
F dx
(2)
 dx
(1)
FF 
T 1
dX(1)  dX(2)  dx(1)  B1dx(2)
dx(1)  dx(2)  dX(1)  dX(2)  2dx(1)  e*dx(2)
dx  dse1 dX  dsn
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
dx(2)
2
dS
B111  2  e1  B 1e1
ds
ds 2  dS 2
*
*

e

e
e

e
1
1
11
2
2ds
Podobno velja za ostale diagonalne elemente.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Nadalje predpostavimo deformirana materialna elementa
dx (1)  ds1R T e1
dx (2)  ds2 R T e 2
ki sta bila pred deformacijo
dX(1)  dS1m
dX(2)  dS2n
m
n
sta enotska vektorja, ki v splošnem nista med seboj ortogonalna,
in tvorita kot 
Dobimo
dS1dS2
cos  n, m   e1  B1e2  B121
ds1ds2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
dS1dS2

cos  n, m   e12*
2ds1ds2
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
B 1 in e * lahko izrazimo tudi v transformiranih koordinatah
X  x  u  x1 , x2 , x3 , t 
X i  xi  ui  x1 , x2 , x3 , t 
X i
ui
  ij 
x j
x j
F 1  I   xu
B   FF
1
T
  F

1 T
F 1
1
e   I  B 1 
2
T
T
T
1




B  I   xu  I   xu   I   xu   xu   xu  xu 




*
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Sledi
*
e
xu    xu 


T
2
xu   xu 


T
2
1  ui u j  1 um um
*
eij  

 

2  x j xi  2 xi x j
In v dolgi obliki
2
2
2

u1 1  u1   u2   u3  
*
e11 
 
 
 
 
x1 2  x1   x1   x1  


u1 1  u1 u2  1  u1 u1 u2 u2 u3 u3 
*
e11 
 



 

x1 2  x2 x1  2  x1 x2 x1 x2 x1 x2 
1  ui u j 
*
eij  

 za male deformacije

2  X j X i 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
SPREMEMBA POVRŠINE ZARADI DEFORMACIJE
Predpostavimo dva materialna elementa
dX (1)  dS1e1
dX (2)  dS 2e 2
ki oba izhajata iz koordinate X ob referenčnem času
t0
Pravokotna ploskev, ki jo omejujeta oba elementa, ima površino
dA0  dX(1)  dX(2)  dS1dS2e3  dA0e3
Elementa se ob času
t deformirata v
dx(1)  FdX1
dx(2)  FdX2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Deformirana površina je oblike
dA  FdX(1)  FdX(2)  dS1dS 2 Fe1  Fe 2  dA0Fe1  Fe 2
dA  dAn
 dA0 
n
  Fe1  Fe 2 
 dA 
Velja
Fe1   Fe1  Fe2   Fe2   Fe1  Fe2   0
Fe1  n1  Fe2  n1  0
zato
e1  FTn  e2  FTn  0
F Tn je pravokoten na e1  e2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
 dA0 
 dA0 
Fe3  n  
 Fe3   Fe1  Fe2   
 det F
 dA 
 dA 
 dA 
e3  FTn   0  det F
 dA 
 dA

FTn   0 det F  e3
 dA

1 T
dAn  dA0  det F   F  e3
Deformirana površina se izraža z nedeformirano površino kot
dA  dA0 (det F)  F

1 T
e3
V primeru, da je nedeformirana površina pravokotna na
dAn 0  dA 0 J  F
dA  dA 0 J  F

1 T
n0
n0

1 T
J  det F  det F je vedno pozitivno število, zato velja ta enakost
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
SPREMEMBA VOLUMNA ZARADI DEFORMACIJE
Predpostavimo tri materialne elemente
dX (1)  dS1e1
dX (2)  dS 2e 2
dX (3)  dS3e3
ki vsi izhajajo iz koordinate X ob referenčnem času
t0
Volumen, ki ga omejujejo vsi trije elementi je
dV0  dS1dS2dS3
Elementi se ob času t deformirajo v
dx(1)  FdX1
dx(2)  FdX 2
dx(3)  FdX3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Deformirani volumen je
dV  FdX(1)  FdX(2)  FdX(3)  dS1dS2 dS3 Fe1  Fe 2  Fe3
dV  dV0 det F  JdV0
Po definiciji velja
C  FTF
B  FFT
det C  det B   det F 
2
dV  det CdV0  det BdV0
Za nestisljiv material velja
dV  dV0
det F  det C  det B  1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Enačbo ohranitve mase lahko napišemo kot

0
det F

0
det C
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010

0
det B
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
TRENUTNA KONFIGURACIJA KOT REFERENČNA KONFIGURACIJA
Imejmo
x
t
pozicijski vektor delca ob času
x'
pozicijski vektor delca ob času

Potem velja enačba
x '  xt'  x, 
x  xt'  x, t 
To je enačba za gibanje kontinuuma v primeru, ko je trenutni čas
privzet kot referenčni čas.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Za dano hitrost
v  v  x ' , 
'
v  v  x,t  je hitrost pri poziciji x ob času  podana kot
Po drugi strani, pa je za specifičen delec (pri fiksnem
podana kot
x in t ) hitrost
 xt' 





 x ,t  fixed
xt'
v

V primeru, ko je trenutna deformacija privzeta kot referenčna deformacija
tudi tenzorje v tej konfiguraciji ustrezno označimo
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Ft  xt'
relativni deformacijski gradient
Ct  F Tt Ft
relativni desni Cauchy-Greenov tenzor
B t  Ft F Tt
relativni levi Cauchy-Greenov tenzor
Relativni deformacijski tenzorji se uporabljajo v ne-Newtonskih tekočinah
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA
MEHANIKA
KONTINUUMA
KONTINUUMA
/ CONTINUUM
/ CONTINUUM
MECHANICS
MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA
KINEMATICS OF
/ KINEMATICS
A CONTINUUM
OF CONTINUUM
POTREBNI IN ZADOSTNI POGOJI ZA KOMPATIBILNOST DEFORMACIJE
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POZITIVNO-DEFINITNI SIMETRIČNI TENZORJI
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
POZITIVNO DEFINITNE REŠITVE U**2 = D
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA / KINEMATICS OF CONTINUUM
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA
MEHANIKA
KONTINUUMA
KONTINUUMA
/ CONTINUUM
/ CONTINUUM
MECHANICS
MECHANICS
KINEMATIKA KONTINUUMA
KINEMATICS OF
/ KINEMATICS
A CONTINUUM
OF CONTINUUM