Transcript 06_newtonske_viskozn..

POGLAVJE 6
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TEKOČINE
Snovi kot so zrak in voda so primeri tekočin.
Voda predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo kapljevine.
Zrak predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo plini.
Bistvo tekočin je, da se ne morejo upreti strižnim napetostim brez
konstantne deformacije.
Če damo vodo med dve plošči in ju vlečemo v različnih smereh se bo
voda kontinuirano deformirala.
Če damo vodo v posodo, bo dobila obliko posode.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Gostota zraka se močno spreminja s tlakom. Zrak lahko idealiziramo
kot stisljivo tekočino.
Gostota vode se šibko spreminja s tlakom. Vodo lahko idealiziramo
kot nestisljivo tekočino. Če pa obravnavamo akustične valove v vodi,
pa jo moramo obravnavati kot stisljivo.
V tem poglavju obravnavamo linearne viskozne tekočine ali
Newtonske tekočine.
Pri teh tekočinah so napetosti zaradi gibanja linearno odvisne od hitrosti
deformacije.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TEKOČINE
Tekočine imenujemo razred idealiziranih materialov kateri
(ko so v togem gibanju ali mirovanju) ne morejo zadržati strižnih
napetosti.
Z drugimi besedami: ko je tekočina v togem gibanju ali mirovanju
je napetost v katerikoli točki in glede na katerikoli ravnino pravokotna
na to ravnino.
Zapišimo
Tn   n
Velikost napetostnega vektorja  je enaka za vsako ravnino, ki gre skozi
dano točko.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Predpostavimo dve takšni ravnini, definirani s smernima vektorjema
n1 , n 2
Tn1  1n1
Tn2  2n2
Zapišimo razliko
n1  Tn2  n2  Tn1  n1   2  n2   n2   1n1    2  1  n1  n2
Velja
n 2  Tn1  n1  TT n 2
T  TT
n 2  Tn1  n1  Tn 2
Iz tega sledi
2  1  n1  n2  0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
1  2
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pravokotne napetosti na vse ravnine, ki gredo skozi točko so enake.
T   pl
Pri tem smo pravokotne napetosti definirali z  p
V komponentni obliki je ta enačba
Tij   pij
p
definiramo kot hidrostatični tlak
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STISLJIVE IN NESTISLJIVE TEKOČINE
Nestisljive tekočine so definirane z relacijo
D
0
Dt
Iz enačbe ohranitve mase sledi
v
D
 k 0
Dt
xk

   v  0
t
Za nestisljivo tekočino velja
vk

0
xk
v  0
Vse nestisljive tekočine imajo lahko od kraja različno gostoto.
Če je gostota konstantna, tekočine imenujemo homogene tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENAČBE HIDROSTATIKE
Enačbe ravnovesja, izražene z napetostmi, so:
Tij
x j
  Bi  0
Za tekočine velja
Tij   pij
Sledi
p
  Bi
xi
p   B
V primeru gravitacijskega polja velja
B1  0, B2  0, B3   g
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
p
p
p
 0,
 0,
  g
x1
x2
x3
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Tlačna razlika med dvema točkama je
p2  p1   gh
h
je relativna globina točke
p2 glede na točko p1 .
p2  p1   gh
V primeru togega gibanja fluida velja
p

  Bi   ai
xi
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEWTONSKE TEKOČINE
Ko deluje strižna napetost na elastično trdnino se deformira iz začetne
konfiguracije v končno konfiguracijo z od nič različno strižno deformacijo.
Deformacija bo izginila, ko bo izginila strižna napetost.
Ko deluje strižna napetost na tekočino se deformira iz začetne konfiguracije
in bo dosegla ustaljene razmere, pri katerih se bo tekočina kontinuirno
deformirala z od nič različno strižno hitrostjo.
Deformacija bo ostala, ko bo izginila strižna napetost.
Strižne napetosti v tekočini so neodvisne od strižne deformacije.
Strižne napetosti v tekočini so odvisne od hitrosti strižne deformacije.
Za takšne tekočine ni potrebna strižna napetost za ohranjanje strižne
deformacije.
Potrebna pa je končna strižna napetost za ohranjanje hitrosti strižne
deformacije.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pri tekočinah napetostni tenzor razdelimo na dva dela
Tij   pij  Tij'
Tij'
je odvisen od hitrosti deformacije. Je enak nič v primeru, ko se
tekočina togo giba ali miruje (hitrost deformacije je enaka nič).
p je skalar katerega vrednost ni odvisna od hitrosti deformacije
Definirajmo razred idealiziranih snovi, ki jih imenujemo Newtonske tekočine:
1. Za vsako snovno točko so vrednosti Tij v vsakem času t linearno odvisne
od komponent hitrosti deformacijskega tenzorja Dij v vsakem trenutku in ne
od katerikoli druge kinematične količine. Hitrost deformacije je izražena z
gradienti hitrosti kot
1  vi v j 
Dij  



2  x j xi 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
2. Tekočina je izotropna glede na katerokoli referenčno konfiguracijo.
Najbolj splošna oblika viskoznega napetostnega tenzorja je
Tij  ij  2 Dij
  D11  D22  D23  Dkk
Celotni napetostni tenzor je
Tij   pij  ij  2 Dij
T11   p    2 D11
T12  2 D12
T22   p    2 D22
T13  2 D13
T33   p    2 D33
T23  2 D23
p imenujemo tlak. V splošnem ni enak celotni pravokotni napetosti
na ravnino.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
INTERPRETACIJA “LAMBDA” IN “MI”
Imejmo strižni tok, ki ga podamo z enačbo
v1  v1 ( x2 )
v2  0
v3  0
Za ta tok velja
D11  D22  D33  D13  D23  0
Sledi
T11  T22  T33   p, T13  T23  0
1 dv1
D12 
2 dx2
dv1
T12  
dx2
 imenujemo prvi koeficient viskoznosti. Je sorazmernostna
konstanta, ki korelira strižno napetost glede na hitrost
zmanjševanja kota med dvema pravokotnima snovnima linijama
x1 x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za poljubno hitrostno polje velja
1
2 


Tii    

3
3 

Kjer je
  Dii
hitrost spremembe volumna (ali dilatacija).
2

3
je sorazmernostna konstanta, ki korelira normalne
viskozne napetosti
1
Tii
3
s hitrostjo spremembe volumna  .
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Koeficient
2
 
3
Imenujemo drugi koeficient viskoznosti ali notranja viskoznost.
Povprečna pravokotna napetost je
1
2 

Tii   p    

3
3 

Vidimo, da tlak ne predstavlja normalno pravokotno napetost
v primeru, ko sta drugi koeficient viskoznosti in hitrost spremembe
volumna različna od nič.
Privzetek, da je notranja viskoznost enaka nič za stisljive tekočine
imenujemo Stokesov privzetek.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NESTISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE
Za nestisljive tekočine ves čas velja
  Dii  0
Konstitucijska enačba za takšno tekočino je
Tij   pij  2 Dij
Iz te enačbe sledi
Tii   pii  2 Dii  3 p
Tii
p
3
Pri nestisljivi tekočini ima tlak pomen povprečne pravokotne napetosti.
Tlak v tem primeru ne zavisi od nobene kinematične lastnosti.
Je nedoločen glede na mehansko obnašanje tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Tlak pri nestisljivih tekočinah imenujemo “nedoločeni tlak”. V primeru,
ko imamo predpisane tlačne robne pogoje, tlak postane predpisan.
Velja
1  vi v j 
Dij  



2  x j xi 
Konstitucijsko zvezo lahko napišemo
 vi v j 
Tij   p ij   


 x
 j xi 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
V komponentni obliki
 v1 v2 
v1
T12   

T11   p  2 


x

x
x1
 2
1 
v2
 v1 v3 
T22   p  2 
T  


x2 13
 x3 x1 
v
 v2 v3 
T33   p  2  3


x3 T23   

x

x
2 
 3
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE
Navier - Stokesove enačbe predstavljajo enačbe gibanja tekočine,
zapisane s hitrostnimi komponentami tekočine.
Enačbe gibanja tekočine, zapisane z napetostmi, so
 vi
vi  Tij

 vj
  Bi
 
 t
x j  x j

Če vstavimo konstitucijsko enačbo v zgornjo enačbo, dobimo
 vi
vi 
 2vi
p

 vj

   Bi 
 t
x j 
xi
x j x j

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE
V komponentni obliki velja
 v1
  2v1  2v1  2v1 
v1
v1
v1 
p

 v1
 v2
 v3
 2  2  2 
   B1 
x1
x2
x3 
x1
 t
 x1 x2 x3 
 v2
  2v2  2v2  2v2 
v2
v2
v2 
p

 v1
 v2
 v3
 2  2  2 
   B2 
x1
x2
x3 
x2
x2
x3 
 t
 x1
 v3
  2 v3  2 v3  2 v3 
v3
v3
v3 
p

 v1
 v2
 v3
 2  2  2 
   B3 
x1
x2
x3 
x3
x2
x3 
 t
 x1
V koordinatno invariantni obliki velja
 v

    v  v    B  p   2 v
 t

To je Navier - Stokesova enačba gibanja nestisljive Newtonske tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE
V omenjenih enačbah nastopajo štiri neznanke
v1
v2
v3
p
Za njihovo rešitev potrebujemo štiri enačbe. Četrta enačba je
v1 v2 v3


0
x1 x2 x3
v  0
V primeru, da v Navier-Stokesovi enačbi izpustimo tlačni del, dobimo
Burgerjevo enačbo. Uporablja se pri številnih teoretičnih obravnavah
Navier - Stokesovih enačb.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ROBNI POGOJI
Na togi površini imamo tako imenovane nezdrsne robne pogoje.
To pomeni, da je hitrost tekočine na tem robu enaka hitrosti roba.
Eksperimenti so pokazali, da omenjeno velja tudi za tekočine, ki ne
omočijo površine (npr. živo srebro) in tekočine, ki se ne obnašajo Newtonsko.
Nezdrsni robni pogoji so nekaj drugega kot nepropustni robni pogoji.
v0
nezdrsni robni pogoji
v   n  0
v  n  0
nepropustni robni pogoji
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TOKOVNICA, POTOVNICA, USTALJEN, NEUSTALJEN, LAMINAREN IN
TURBULENTEN TOK
Tokovnica ob času t je krivulja, katere tangenta v vsaki točki je enaka
smeri hitrosti v tej točki.
Eksperimentalno lahko tokovnice vidimo preko delcev v tekočini, ki jih
slikamo s primerno dolgo (kratko) odprto zaslonko.
Matematično pa lahko tokovnice izračunamo na naslednji način
x  x  s
Je parametrična enačba tokovnice ob času
t , ki gre skozi točko x0.
Vektor dx / ds pri kateremkoli s je tengencialen na krivuljo v tej točki.
s lahko vedno izberemo tako, da velja dx / ds  v .
Izberemo s  0 pri poziciji x0 .
dx
 v  x, t 
ds
x  s  0  x0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Potovnica je pot, po kateri se giba delec tekočine.
Za fotografiranje potovnice je potrebna (ustrezno) dolgotrajna ekspozicija.
Potovnico matematično opišemo kot
dx
 v  x, t 
ds
x t0   X
Naj bo  neodvisna spremenljivka.
  
0
Pri ustaljenem toku velja 

 t x fixed
V splošnem tudi pri ustaljenem toku velja
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
D
0
Dt
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
USTALJENI IN NEUSTALJENI TOK
Tok imenujemo ustaljen, če se na vseh lokacijah toka nič ne spreminja
s časom.
V nasprotnem primeru je tok neustaljen.
V ustaljenem toku se hitrost, pospešek, temperatura, itd. danega delca v
splošnem spreminjajo!!! s časom.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za primer si oglejmo
v1  kx1 , v2  kx2 , v3  0
Omenjeni tok ima od nič različen pospešek
Dv1
Dv2
2
a1 
 k x1 , a2 
 k 2 x2 , a 3  0
Dt
Dt
Za ustaljene tokove je tokovnica enaka potovnici.
Za ustaljene tokove je potovnica enaka tokovnici.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
LAMINARNI IN TURBULENTNI TOK
Laminarni tok je urejeni tok pri katerem se delci tekočine gibajo v
gladkih plasteh ali laminah. Drsijo mimo delcev v sosednjih laminah brez
da bi se mešali z njimi.
Takšni tokovi se običajno opazijo pri nizkih hitrostih toka.
Reynolds je ugotovil naslednje za okroglo cev premera d
Re 
vm  d

Re  2100
tok je laminaren in stabilen
Re  100000
tok je lahko še vedno laminaren, vednar takoj postane
turbulenten, če ga le malo zmotimo.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
RAVNINSKI COUETTOV TOK
premična plošča
v1  v  x2  , v2  0, v3  0
fiksna plošča
Iz Navier - Stokesovih enačb in robnih pogojev
v(0)  0
v(d )  v0
Dobimo
v  x2  
v0 x2
d
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
RAVNINSKI POISEUILLE-OV TOK
v1  v  x2  , v2  0, v3  0
Najprej zanemarimo gravitacijo, pa dobimo
p
 2v p
p
 2,
 0,
0
x1
x2 x2
x3
Iz druge in tretje enačbe zgoraj vidimo, da tlak ne zavisi od
x2 x3 .
Zato velja
2 p
0
2
x1
p
 a constant
x1
p
 
x1
Iz enačbe zgoraj dobimo
 2v
 2  
x2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
v  
 x22
2
 Cx2  D
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Integracijske konstante določimo iz robnjih pogojev
v  b  v  b  0
Integracijski konstanti sta
C 0
 b2
D
2
Sledi
 b2 2 2
v  x2  
b  x2 

2
Največja hitrost toka je
 b2
vmax  x2  
2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Volumen tekočine, ki gre skozi cev na enoto časa lahko izračunamo
z integracijo
  2b3 
Q   vdx2  

b
 3 
b
Povprečna hitrost je
Q  b2
v

2b  3
V nadaljevanju pokažimo, da ima Poiseuillov tok vedno paraboličen profil,
ne glede na to ali je prisotna gravitacija.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Volumsko silo definiramo kot B   gk
k je enotski vektor v smeri navzgor.
Komponente volumske sile v koordinatnih smereh so
B1   g  e1  k 
B2   g  e2  k 
B3   g  e3  k 
Pozicijski vektor delca tekočine je
r  x1e1  x2e2  x3e3
y  r  k  x1 e1  k   x2 e2  k   x3 e3  k 
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
y
  e1  k 
x1
y
  e2  k 
x2
y
  e3  k 
x3
y
y
y
B1   g
, B2   g
, B3   g
x1
x2
x3
Navier-Stokesove enačbe
p
 2v
p
p
 B1 
  2  0  B2 
 0  B3 
0
x1
x2
x2
x3
potem dobijo obliko
  p   gy 
  p   gy 
 2v   p   gy 
 2
0
0
x1
x2
x2
x3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Te enačbe so enake kot v prejšnjem primeru brez gravitacije. Samo
člen s tlakom se je spremenil v člen
p  p   gy
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
RAVNINSKI COUETTE-OV TOK DVEH PLASTI NESTISLJIVEGA
VISKOZNEGA FLUIDA
Zgornja plošča se giba.
Spodnja plošča miruje.
Tlačni gradient v smeri toka je nič.
Distribucija toka v zgornji plasti je
v1(1)  v (1)  x2  v2(1)  0 v3(1)  0
Distribucija toka v spodnji plasti je
v2(2)  v (2)  x2  v2(2)  0 v3(2)  0
Navier - Stokesove enačbe dajo
d 2v(1)
dp(1)
dp(1)
plast 1: 0  
, 0
 1 g , 0  
2
dx2
dx2
dx3
d 2v(2)
dp(2)
dp(2)
plast 2: 0  
, 0
 2 g , 0  
2
dx2
dx2
dx3
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Integracija omenjenih enačb da
v (1)  A1 x2  B1 , p (1)   1 gx2  C1
v (2)  A2 x2  B2 , p (2)   2 gx2  C2
Uporabimo naslednje robne pogoje
v(1)  v0 pri x2  b1
v(2)  0 pri x2  b2
Robni pogoji med obema plastema so
v(1)  v(2) pri x2  0
(2)
t (1)


t
e2
e2
ali
med plastema tekočine ni zdrsa
T(1)e2  T(2)e2
pri
x2  0
Napetostni vektor v plasti 1 je enak in nasproten temu v plasti 2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
T12(1)  T12(2)
T22(1)  T22(2) pri x2  0
T32(1)  T32(2)
Napetostne komponente morajo biti zvezne preko vmesne plasti
T12(1)
dv (1)

dx2
T22(1)
dv (2)

dx2
T32(1)  T32(2)  0
T22(1)   p (1)
T22(2)   p (2)
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Z uporabo robnih pogojev dobimo
B2  A2b2 , B1  v0  Ab
1 1 , B1  B2 , 1 A1  2 A2
To so štiri enačbe za štiri neznanke
A1
A2
B1
B2
Iz njih izračunamo
2v0
1v0b2
A1 
, B1 
,
1b2  2b1
1b2  2b1
1v0
b2 1v0
A2 
, B2 
1b2  2b1
1b2  2b1
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Porazdelitvi hitrosti v obeh plasteh sta
(1)
1
2 x2  1b2  v0


,
v2(1)  v3(1)  0
(2)
1
1 x2  1b2  v0


,
v2(2)  v3(2)  0
v
v
2b1  1b2
2b1  1b2
Na koncu iz pogojev
p (1)  p (2)
C1  C2  p0
p (1)   1 gx2  p0
p (2)    2 gx2  p0
p0 je tlak na meji, ki je predpisan
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
COUETTE-OV TOK
Zaenkrat ne obravnavamo.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TOK V BLIŽINI OSCILIRAJOČE RAVNINE
Zaenkrat ne obravnavamo!
v1  v  x2 , t  , v2  0, v3  0
v
 2v
  2
t
x2
v  ae x2 cos t   x2   
Zadošča enačbi
   2
v  a cos t   
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
DISIPACIJSKA FUNKCIJA ZA NEWTONSKE TEKOČINE
Hitrost dela (moč) je bila izpeljana v Poglavju 3
D
P
 K .E.  Ps dV
Dt
vi
Ps  Tij
x j
je setavljena iz spremembe kinetične energije in spremembe
volumna in oblike delca.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
A. Nestisljive Newtonske tekočine
Imamo
Tij   pij  Tij
Pomnožimo z gradientom hitrosti
Tij
vi
v
v
  p i  Tij i
x j
xi
x j
Za nestisljive tekočine velja
vi
0
xi
Zaradi tega
vi
vi
vi
Tij
 Tij
 2 Dij
 2 Dij  Dij  Wij   2 Dij Dij
x j
x j
x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pri tem nadalje upoštevamo
vi
Wij  antisim
x j
DijWij  0
Zaradi tega
2
2
Ps  2  Dij Dij  2   D112  D22
 D332  2 D122  2 D132  2 D23

Funkcijo
2
2
 inc  2  Dij Dij  2   D112  D22
 D332  2 D122  2 D132  2 D23

Imenujemo disipacijsko funkcijo nestisljive tekočine.
Predstavlja hitrost spreminjanja dela v toploto.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
B. Stisljive Newtonske tekočine
vi
vi
Tij
   p ij   ij  2 Dij 
 p   2  inc   p   com
x j
x j
vi

xi
Disipacijska funkcija za stisljive Newtonske tekočine
 com    D11  D22  D33    inc
2
Napišemo jo lahko
v obliki
 com
2 
2

  
D

D

D
22
33 
  11
3 

2 
2
2
2

D

D

D

D

D

D






11
22
11
22
22
33

3 
4   D122  D132  D232 

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENERGIJSKA ENAČBA ZA NEWTONSKO TEKOČINO
Energijska enačba za kontinuum je
vi qi
Du

 Tij

  qs
Dt
x j xi
qi
komponenta vektorja toplotnega toka
qs
notranja generacija toplote
Fourierjeva konstitucijska enačba za toplotni tok je
q  k 
k
koeficient toplotne prevodnosti

temperatura
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Tako energijska enačba postane
vi
Du
   

 Tij

  k
   qs
Dt
x j xi  x j 
Upoštevajmo še relacijo
u  c
Kjer smo vpeljali specifično toploto
c.
Velja
vi
D
   
c
 Tij

 k
   qs
Dt
x j xi  x j 
V primeru konstantne toplotne prevodnosti velja
vi
D
 2
c
 Tij
k
  qs
Dt
x j
x j x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V primeru, da ni notranjih izvorov toplote velja
D
 2

Dt
x j x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
  k c
toplotna difuzivnost
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
VEKTOR VRTINČNOSTI
Antisimetrični del tenzorja gradienta hitrosti v je definiran kot spinski
tenzor W .
Wx  ω  x
ω   W23e1  W31e2  W12e3 
D
 dx    v  dx  Ddx  Wdx  Ddx  ω  x
Dt
ω predstavlja vektor kotne hitrosti poglavitnih smeri tenzorja hitrosti
deformacije D .
če je
n enotski vektor v poglavitni smeri D
velja
Dn
 Wn  ω  x
Dt
Naj bo dx snovni element v smeri n ob času t . Potem imamo
dx
Kjer je ds dolžina dx .
n
ds
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Snovni odvod prejšnje enačbe da
Dn D  dx  1  D  1  D 

    dx   2  ds  dx
Dt Dt  ds  ds  Dt  ds  Dt 
V poglavju 3 smo izpeljali
1D 
ds   n  Dn

ds  Dt 
Sledi
Dn
  D  W  n   n  Dn  n  Wn  Dn   n  Dn  n
Dt
Dn  n
velja
*
n  Dn  
Dn   n  Dn  n  0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Enačba * postane
Dn
 Wn
Dt
Snovni elementi, ki so v poglavitnih smereh D se vrtijo s kotno hitrostjo ω
in obenem spreminjajo dolžine.
V Kartezijevih koordinatah velja
1  v3 v2 
1  v1 v3 
1  v2 v1 
ω 



 e1  
 e2  
 e3
2  x2 x3 
2  x3 x1 
2  x1 x2 
Vektor vrtinčnosti definiramo kot
 v3 v2 
 v1 v3 
 v2 v1 
ς  2ω  



 e1  
 e2  
 e3
 x1 x2 
 x2 x3 
 x3 x1 
Tenzor vrtinčnosti definiramo kot 2W
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Kartezijeve komponente vektorja vrtinčnosti so
vk
 i   ijk
x j
Ali ekvivalentno
vi v j

  kij k
x j xi
V brezkoordinatnem zapisu velja
ς   v
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI TOK
Če je vektor vrtinčnosti enak nič na določenem delu tekočine in ob
določenem času pravimo, da je tok nevrtinčen na določenem kraju ob
določenem času.
Imejmo skalarno funkcijo
    x1, x2 , x3 
iz katere definiramo hitrostne komponente po naslednjih izrazih




v1  
, v2  
, v3  
, vi 
x1
x2
x2
xi
V tem primeru so komponente vrtinčnosti vse enake nič
v3 v2
 2
 2
1 



0
x2 v3
x3x2 x3x2
Enako velja
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
2  0
3  0
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za nestisljivo tekočino imamo enačbo
vi
0
xi
Če kombiniramo definicije hitrostnih komponent z zgornjo enačbo,
dobimo
 2
0
x j x j
V naslednjih dveh podpoglavjih diskutiramo kdaj so nevrtinčni tokovi
dinamično možni pri neviskoznih in viskoznih tekočinah.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI TOK NEVISKOZNE NESTISLJIVE TEKOČINE
HOMOGENE GOSTOTE
Neviskozna tekočina je definirana z naslednjo
konstitucijsko zvezo
Tij   pij
To enačbo dobimo, če postavimo viskoznost na nič pri Newtonskih
viskoznih tekočinah. Enačba gibanja takšne tekočine je
 vi
vi 
p

 vj
  Bi
  
 t
x j 
xi

To je Eulerjeva enačba gibanja.
Sedaj pokažimo, da so nevrtinčni tokovi vedno dinamično možni za
neviskozno, nestisljivo tekočino s homogeno gostoto, če so volumske
sile konservativne.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Volumske sile izpeljemo iz potenciala kot
Bi  

xi
V primeru gravitacije, kjer os
x3 gleda navzgor, velja
  gx3
Tako je
B1  0, B2  0, B3   g
Eulerjevo enačbo gibanja lahko napišemo kot
vi
vi

 p
 vj

  
t
x j
xi  

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V primeru nevrtinčnega toka velja
vi v j

x j xi
Tako sledi
v j 1 
vi
1 v2
vj
 vj

v jv j  

x j
xi 2 xi
2 xi
Kjer je hitrost
v2  v12  v22  v32
Tako lahko zapišemo
vi
vi

 p
 vj

  
t
x j
xi  

Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010

   v 2 p
     0

xi  t 2 

MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Nadalje velja
 v 2 p

     f (t )
t 2 
V primeru, da je tok tudi ustaljen, velja
v2 p
    C  const
2 
Zgornji dve enačbi imenujemo Bernoullijevi enačbi.
Za katerokoli funkcijo , samo da velja

vi  
xi
 2
0
x j x j
v  
2  0
lahko enačbe gibanja vedno integriramo in dobimo Bernoullijevo enačbo.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI TOKOVI KOT REŠITVE NAVIER-STOKESOVIH ENAČB
Za nestisljivo Newtonsko tekočino so enačbe gibanja Navier Stokesove enačbe
vi
vi
1 p   2vi
 vj


 Bi
t
x j
 xi  x j x j
Za nevrtinčni tok velja

vi  
xi
Tako, da velja
 2vi
2

x j x j
x j x j
  



xi
 xi 
  2

 x j x j

  0

V tem primeru viskozni členi v Navier-Stokesovi enačbi izginejo. In enačba
dobi enako obliko kot Eulerjeva enačba.
Nevrtinčni tokovi so dinamično možni tudi za viskozne tekočine.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
TRANSPORTNA ENAČBA ZA VRTINČNOST V PRIMERU NESTISLJIVE
VISKOZNE TEKOČINE S KONSTANTNO GOSTOTO
V primeru, ko lahko volumsko silo izpeljemo iz potenciala, velja
vi
vi

 2vi
 p
 vj

    v
t
x j
xi  
x j x j


Dinamična viskoznost je  

D m
v
Komponente vrtinčnosti so
  mni i
Dt
xn

Bi  
xi
Z vrtinčnostjo lahko Navier - Stokesove enačbe izrazimo kot
D m vm
 2 m

n v
Dt
xn
x j x j
Dς
  v  ς  v 2ς
V brezkoordinatnem zapisu
Dt
Dς
V primeru nestisljive tekočine
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
Dt
 v 2ς
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
KONCEPT ROBNEGA SLOJA
V tem poglavju kvalitativno opišemo koncept viskoznega robnega sloja.
Enačba za vrtinčnost v dveh dimenzijah za nestisljivo viskozno tekočino je
dominira prevod
D
 v 2
Dt
Enačba prevoda toplote je
D
  2 
Dt
Definirajmo
'    
D'
  2  '
Dt
dominira konvekcija
'  0; x2  y2  
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za vrtinčnost velja podobna enačba
D
 v 2
Dt
  0; x2  y 2  
Na ta način lahko tok razdelimo na viskozni robni sloj in na nevrtinčni tok.
Na ta način si zelo olajšamo računanje.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE
Predpostavimo, da ima spremeljivka p enako vrednost kot termodinamski
tlak.
Tlak določimo iz enačbe stanja
p  p   , 
Za idealni plin velja
p  R
Napetostni tenzor je v tem primeru
Tij   p  ,  ij  ij  2 Dij
 je sprememba dilatacije, podana z  
2
3
  
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
v j
1
Tii   p  
3
x j
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Konstitucijsko enačbo zapišemo v obliki
2
Tij   p ij   ij  2 Dij   ij
3
Predpostavimo konstanten  in
, pa dobimo enačbo gibanja
Dvi
 vi
p    v j 
  v j

   Bi 





Dt
xi 3 xi  xi 
x j x j
xi  x j



Imamo pa tudi enačbo kontinuitete
v j
D


0
Dt
x j
In energijsko enačbo
vi
Du
 2

 Tij
k
0
Dt
x j
x j x j
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Imamo pa še naslednje zveze
u  u   , 
V primeru idealnega plina velja
u  cV 
Tako imamo sistem sedmih enačb za sedem naznank
v1
v2
v3
p


u
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENERGIJSKA ENAČBA IZRAŽENA Z ENTALPIJO
p
Entalpija na enoto mase
hu
Stagnacijska entalpija je
definirana kot
v2
h0  h 
2
V tem primeru energijska enačba
postane
Dh0 p 


Tijvi  q j 

Dt
t x j

Pri tem smo označili
Tij   pij  Tij
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
AKUSTIČNI VALOVI
Razširjanje zvoka lahko opišemo s predpostavko infinitezimalne motnje
v stisljivi neviskozni tekočini. Za neviskozno tekočino so enačbe gibanja
vi
vi
1 p
 vj

t
x j
 xi
Predpostavimo, da je tekočina na začetku v mirovanju
vi  0,   0 , p  p0
Nato predpostavimo, da tekočino perturbiramo
vi  vi  x, t  ,   0    x, t  , p  p0  p  x, t 
Substitucija perturbanc v enačbo gibanja podaja
vi
vi
1
p
 vj

t
x j
o 1    0  xi
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Linearizirana enačba gibanja je oblike
vi
1 p

xi
o t
Na podoben način uporabimo enačbo ohranitve mase
vi
 '
 '
 vj
 0 1    0 
0
t
x j
xi
Linerizirana enačba ohranitve mase je
vi
1  '

xi
o t
Z diferenciranjem eliminiramo hitrost, pa dobimo
 2 p  2  '
 2
xi xi
t
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V nadaljevanju predpostavimo, da je gostota samo funkcija tlaka. Takšne
tekočine imenujemo barotropne.
p  p
Razvijmo tlak okoli referenčne vrednosti
 dp 
p  p0  
     0   ... 
 d   0
Če zanemarimo člene višjega reda dobimo
p  c02  '
 dp 
c 

d


 0
2
0
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Tako dobimo za barotropičen tok
 2 p  2 p
c
 2
xi xi
t
2
0
2
2


'

'
c02
 2
xi xi
t
Te enačbe so povsem enake enačbam za elastične valove.
Tlačne in gostotne perturbacije bodo potovale s hitrostjo
 dp 
c0  

 d   0
dp
c
d
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
hitrost zvoka pri stagnacijski gostoti
lokalna hitrost zvoka
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V primeru izentropne relacije med tlakom in gostoto velja
p   
V tem primeru dobimo lokalno hitrost zvoka v obliki
c 
kjer je
p

 konstanta,  pa razmerje specifičnih toplot.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
NEVRTINČNI BAROTROPIČNI TOK NEVISKOZNE STISLJIVE
TEKOČINE
Predpostavimo nevrtinčni tok, podan z
vi   xi
V smislu ohranitve mase moramo imeti
  

t  x j
 



x j
 x j
 
 
 x j

  0

Enačbe gibanja neviskozne tekočine so Eulerjeve enačbe
vi
vi
1 p
 vj

 Bi
t
x j
 xi
Predpostavimo barotropičen tok
p  p
  1   d  1   p 1 p

  dp      dp  
xi     dp     xi  xi
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Pod vplivom konservativnih volumskih sil lahko zapišemo enačbe gibanja
v obliki

Bi  
xi
vi
vi

  dp
 vj

   
t
x j
xi  

Z integracijo zgornje enačbe dobimo

p v 2

      f t 
t
 2
V ustaljenih razmerah je enaka

p
v2
    constant
 2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
V večini primerov dinamike plinov so volumske sile majhne v primerjavi z
ostalimi silami. Sledi

p
v2
  constant
 2
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
ENODIMENZIONALNI TOK STISLJIVE TEKOČINE
V tem podpoglavju obravnavamo nekatere probleme stisljivih tekočin.
Predpostavimo:
- tok je enodimenzionalen - v prečni smeri ni razlik.
- tok je ustaljen in adiabaten
Pri naštetih predpostavkah velja
 Av  constant
Totalni odvod zgornjega izraza podaja
Av  d     v  dA    A dv  0
Sledi
d
dA dv


0

A v
Iz zgornjega lahko izpeljemo
dA dv
  M 2  1 ; M  Machovo število
A
v
Enačbo imenujemo Hugoniotova enačba.
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Za podzvočni tok M  1 zvečanje površine povzroči zmanjšanje
hitrosti.
Za nadzvočni tok M  1 zvečanje površine povzroči zvečanje
hitrosti.
Kritično hitrost M=1 lahko dobimo samo v primeru dA  0 .
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGA
REZERVORJA S ŠOBO
Obravnavamo kasneje!
A. The Case of a Divergent Nozzle
2 p1  1 p2 
v 
1 

  1 1  2 p1 
v2
 p2
 p1

 0
2   1 2
  1 1
2
2
1
For adiabatic flow:
Eliminating
 p2 
 
 p1 

2
1
p2 from previous equation,
 1



2 p1   p2  
2
v2 
1  

  1 1   p1  


Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGA
REZERVORJA S ŠOBO
The rate of mass flow exiting the tank is:
1
 p2 
2
dm
 A2  2 v2  A2
1v2  A2  
dt
1
 p1 
 2

dm
 p2 

 A2
p1 1  
dt
p1 
 1




2
 p2 
 
 p1 
1v2
 1 
12








The maximum value of mass flow:
The critical value for a given value of
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
 p2   2   1
 

 p1     1 
p1
 p2 
v   
 2 
2
2
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGA
REZERVORJA S ŠOBO
When
pR  pcritical , p2  pR
12
 2

dm
 A2 
p

 1 1 
dt
 1

When
 p 
 R 
 1 
2
 pR 



 1
 1 
12



pR  pcritical , p2  pR
 2
  2 
dm
 A2 
 p11  

dt


1


1

 

12
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
2  1
 1  1 1 2
 2 




1




 constant
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
STACIONARNI TOK STISLJIVE TEKOČINE, KI IZTEGA IZ VELIKEGA
REZERVORJA S ŠOBO
B. The Case of a Convergent-Divergent Nozzle
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
USTALJENI LAMINARNI TOK NEWTONSKE TEKOČINE V TANKI
ELASTIČNI CEVI: APLIKACIJA NA RELACIJE MED TLAKOM IN TOKOM
V PLJUČNI KRVNI ŽILI
Obravnavamo kasneje!
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS
Prof.dr. Božidar Šarler
2009/2010
MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS
NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS