Transcript + 2 - stouonline

หน่วยที่ 15
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์
ฟั งก์ชนั คู่ ฟั งก์ชนั คี่ และ
การขยายความเป็ นคาบ
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์
1
2
a 0 +  a n cos(nωt) +  b n sin(nωt)
n=1
n=1
เมื่อ
ω
=
2
p
ฟั งก์ชนั เป็ นคาบ
f(t)
1
t
0
-1
-3
-
3
ฟั งก์ชนั เป็ นคาบ
f(t)
1
t
-3
-1
0 1
3
5
7
ค่าของ f(t) ไม่ซ้ ากันจึงไม่เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคาบ
f(t)
1
t
-4
-3
-2
-
2
3
4
บทนิยาม
กาหนดให้ฟังก์ชนั f(t) จะกล่าวว่า ฟั งก์ชนั f(t)
เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคาบ ที่คาบเท่ากับ p(p>0)
ก็ตอ่ เมื่อ สาหรับแต่ละ t ที่อยูใ่ นโดเมน จะได้ว่า
f(t) = f(t + mp)
เมื่อ m เป็ นจานวนเต็มใดๆ
f(t)
1
-
3
...
f(t) = sin(t) = sin(t + 2 ) = f (t+2 )
A
-3
0
-1
t
t
... f(t) = sin(t) เป็ นฟั งก์ชน
ั เป็ นคาบที่คาบเท่ากับ 2
f(t)
1
t
-3
-1
0 1
3
5
7
f(t) = 1- t (-1 t  1); f (t + 2) = f(t)
เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคาบ ที่คาบเท่ากับ 2
f ( 32 ) = f (- 12 + 2) = f (- 12 ) = 1- - 1 = 1
2
2
f ( 52 ) = f ( 12 + 2) = f ( 12 ) = 1- 1 = 1
2
f (- 32 ) = f (- 32 + 2) = f (- 12 ) = 1
2
f (-2) = f (-2 + 2) = f (0) = 1- 0 = 1
2
เนื่องจาก
cos(
2
(t + 4)) = cos (
ดังนั้น cos(
เท่ากับ 4
2
t)
2
t + 2 ) = cos (
2
เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคาบที่คาบ
t)
ถ้าฟั งก์ชนั เป็ นคาบ f (t) ที่คาบเท่ากับ p =
มีการกระจายอนุกรมฟูเรียร์
f(t) = 1
2
2
ω
a 0 +  an cos(nωt) +  bn sin(nωt)
n=1
n=1
แล้วสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์คานวณได้จาก
an
bn
d+p
=
p ∫d
=
p ∫d
2
2
f(t)cos( nωt )dt ; n = 0, 1, 2,...
d+p
f(t)sin( nωt )dt ; n = 1, 2, 3,...
สูตรสาหรับคานวณสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์เรียกว่า
สูตรออยเลอร์ (Euler’s formulae)
p
d=2
โดยทั ่วไปจะเลือก d = 0 หรือ
ถ้าเลือก d = 0 เป็ นลิมิตล่างของอินทิกรัล
แล้วลิมิตบนของอินทิกรัลเท่ากับ p
p
ถ้าเลือก d = - 2 เป็ นลิมิตล่างของอินทิกรัล
p
แล้วลิมิตบนของอินทิกรัลเท่ากับ 2
กรณีฟังก์ชนั มีความต่อเนื่องเป็ นช่วงบนแต่ละคาบ
f(t)
ดูตวั อย่างในภาพ
t
-
-3
f1(t) ( -
3
+d 1 <t<-
+d 2
+ d1 )
f (t ) = f2(t) ( - + d1< t < - +d 2 ) ; f (t+2 )=f (t)
f3(t) ( - + d 2 < t < )
ให้คานวณ
an =
1
- +d 1
[∫
- +d 2
f 1 (t)cos(nt)dt +
∫
f 2 (t)cos(nt)dt
- +d 1
-
+
∫
f3 (t)cos(nt)dt ]
; n = 0,1,2,....
- +d 2
bn =
1
- +d 1
[∫
- +d 2
f1 (t)sin(nt)dt +∫
f2 (t)sin(nt)dt
- +d 1
-
+
∫
f3 (t)sin(nt)dt ]
- +d 2
; n = 1,2,3,....
ตัวอย่าง
จงหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟั งก์ชนั
0 ( -2 < t < -1 )
f(t) =
k ( -1 < t < 1 ) ; f ( t + 4 ) = f(t)
0 (1<t<2)
วิธีทา
f(t)
k
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t
10
ในที่น้ ี
p=4
d = -2
ให้
-1
α 0= 2
4
[
1
2
-1
1
∫ 0 dt + ∫ k dt + ∫ 0 dt ]
-2
1
= k [t ] = k
2
แล้วได้ว่า
-1
2
[ 1- (-1) ] = k
และสาหรับ n = 1, 2, 3, ... ได้ว่า
-1
α n= 2
4
1
∫ 0 cos( n 2 t ) + ∫ k cos ( n 2 t )dt
[
-2
-1
2
+∫ 0 cos ( n t )dt ]
2
1
2
k
=
2 n
(
=
[sin ( n
(n - 1)
-1) 2
n
0
2
2k
t)
1
]
-1
เมื่อ n เป็ นเลขคี่
เมื่อ n เป็ นเลขคู่
-1
bn = 2
4
[∫
-2
1
0 sin( n t )dt + ∫ k sin( n t )dt
2
-1
2
+ ∫ 0 sin( n t )dt ]
1
2
1
= k ( -1 ) cos( n t )
n
-1
2
= 0
2
จึงได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ว่า
f (t) = k + 2k
2
∞

n=1
n-1
(-1)
(2n - 1)
cos(
2
2n - 1
t)
ซึ่งแจกแจงการกระจายอนุกรมฟูเรียร์จะได้
พจน์ตน้ ๆ ว่า
3
f (t) = k + 2k [cos (
t ) - 1 cos(
t)
2
3
2
2
7
+ 1 cos ( 5 t ) - 1 cos(
t ) + .... ]
2
2
5
7
ฟั งก์ชนั คู่และฟั งก์ชนั คี่
ฟั งก์ชนั คู่มีกราฟที่สมมาตรกับแกน y ( =f(t) )
f(t) = cos( t )
f(t)
1
-3
-
0
-1
3
t
0 (-2 < t < -1)
f(t) =
k (-1 < t < 1) ; f (t+4) = f(t)
0 (1 < t < 2)
f(t)
k
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
t
ฟั งก์ชนั คี่มีกราฟที่สมมาตรกับจุดกาเนิด
f(t) = sin( t )
f(t)
1
-3
-
0
-1
3
t
1 (0 < t < 1)
f(t) =
-1 (1 < t < 2)
; f (t+2) = f(t)
f(t)
1
-3
-1
0 1
-1
3
5
t
บทนิยาม
กาหนดให้ฟังก์ชนั f(t) จะกล่าวว่า
ฟั งก์ชนั f(t) เป็ นฟั งก์ชนั คู่ ก็ตอ่ เมื่อ f(t) = f(-t)
สาหรับทุกค่า t
และจะกล่าวว่า f(t) เป็ นฟั งก์ชนั คี่ ก็ตอ่ เมื่อ
f(t) = -f(-t) สาหรับทุกค่า t
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟั งก์ชนั เป็ นคาบ
ที่คาบเท่ากับ p และเป็ นฟั งก์ชนั คู่ จะได้
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์โคซายน์
∞

2
1
f (t) =
α +
α ncos( nωt ) ; ω =
0
p
2
n=1
โดยที่
α n= 4 ∫
p 0
P
2
f (t) cos( nωt )dt ; n = 0, 1, 2
0 (-2 < t < -1)
f(t) =
k (-1 < t < 1) ; f (t+4) = f(t)
0 (1 < t < 2)
โดยสูตร จะได้
0
α 0 = 4 ∫ f (t) dt
4 -2
-1
=
∫
0
0 dt +
∫
k dt
-1
-2
0
= k [t]
-1
= k [ 0 - (-1) ] = k
0
α n= 4 ∫ f (t) dt
4 -2
-1
=
n = 1, 2, 3, ...
0
∫
0 cos( n t )dt + ∫ k cos( n t )dtt
-2
-1
2
2
n -1
=
(-1)
2
n
0
2k
เมื่อ n เป็ นเลขคี่
เมื่อ n เป็ นเลขคู่
ได้ผลลัพธ์เหมือนตัวอย่าง Frame 19
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ของฟั งก์ชนั เป็ นคาบ
ที่คาบเท่ากับ p และเป็ นฟั งก์ชนั คี่ จะได้
การกระจายอนุกรมฟูเรียร์โคซายน์
∞
f (t) =
 b n sin( nωt ) เมื่อ ω
n=1
=
2
p
โดยที่
P
2
bn = 4 ∫ f (t) sin( nωt )dt เมื่อ n = 1, 2, 3,..
p 0
1 (0 < t < 1)
f(t) =
-1 (1 < t < 2)
มีคาบ p = 2
; f (t+2) = f(t)
สาหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้
bn = 4
2
∫
1
2
f (t) sin(
nt )dt = 2 sin(n t)dt
2
0
0
4
=
∫
1
n
เมื่อ n เป็ นจานวนคี่
0 เมื่อ n เป็ นจานวนคู่
และ การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ซายน์ ว่า
f(t) =
4
=
4
∞

1
n = 1 2n
[
-1
sin((2n - 1)
t)
1
1
sin( t ) + 3 sin(3 t ) + 5 sin(5 t )
1
+ 7 sin(7 t ) + ........]
การขยายความเป็ นคาบ
ฟั งก์ชนั f (t) ที่นิยมบนช่วงจากัด
เช่น f(t) = t 2 ( 0 < t < )
f(t)
2
-2
-
0
2
เมื่อจะหาการกระจายอนุกรมฟูเรียร์ฟังก์ชนั
จะต้องขยายให้เป็ นฟั งก์ชนั เป็ นคาบ
t
1
กาหนดให้
2
g(t) = t ( 0 < t <
) ; g ( t + ) = g(t)
g(t)
-2
-
0
2
t
ในที่น้ ี p = ให้ d = 0 แล้ว
α 0=
=
2
∫0
g (t) dt
2
∫0
t 2dt
2
=
3
2
และสาหรับ n = 1, 2, 3, ...
α n=
=
2
∫ 0 g(t) cos(n ( 2
2
∫ 0 t 2cos( 2nt )dt
1
=
n
[
t )dt , n = 1, 2, 3, ...
1
0+
-0}=
n
n2
bn =
=
=
2
∫ 0 g(t) sin(n ( 2
2
∫ 0 t 2sin( 2nt )dt
n
t )dt , n = 1, 2, 3, ...
จึงได้การกระจายอนุกรมฟูเรียร์ว่า
2
g(t) =
+  1 2 cos( 2nt ) 3 n=1 n
∞
+  1 2 cos( 2nt ) 3 n=1 n
2
f(t) =
∞
(0<t<
)
∞

n=1
∞

n=1
1 sin( 2nt )
n
1 sin( 2nt );
n
เมื่อแจกแจงการกระจายอนุกรมฟูเรียร์
จะได้พจน์ตน้ ๆ ว่า
2
f(t) =
3
-
+cos(2t)+ 1 cos(4t)+ 1 cos(6t)+....
4
{ sin(2t)+ 12
9
sin(4t)+ 1 sin(6t)+....}
3
2
กาหนดให้
f (t) (0 < t <
)
g(t) = f (-t) (- < t < 0) ; g(t+2 ) = g(t)
นั ่นคือ
g(t) =
t2 ( - < t < 0 )
;
g(t+2
)
=
g(t)
2
t (0<t< )
g(t)
2
-5
-3
-
0
3
5
t
ในที่น้ ี p = 2
จะได้
α 0= 4
2
=
∫0g (t)dt = 2 ∫0t 2dt
2
2
3
และสาหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้
α n= 4
2
= 2
=
4
n
∫0g (t) cos ( nt ) dt
∫0 t 2 cos ( nt ) dt
n
(
1)
2
จึงได้
∞
2
g(t) =
+4
3

n=1
n
(-1) cos( nt )
n2
และ
2
∞

n
(-1)
f(t) =
+4
cos( nt )
2
n
3
n=1
(0< t < )
3
กาหนดให้
g(t) =
เนื่องจาก
f (t) ( 0 < t < )
;
g(t+2
)
=
g(t)
-f (-t) ( - < t < 0 )
2
-f (-t) = - ( - t ) = -t
2
ดังนั้น
g(t) =
t2 ( 0 < t < )
; g(t+2 ) = g(t)
-t 2 ( - < t < 0 )
g(t)
2
-5
-3
-
0
-
3
2
5
t
ในที่น้ ี p = 2
สาหรับ n = 1, 2, 3,... จะได้
4
bn =
2
=
2
2
=
n
∫ 0 g(t) sin( nt )dt
∫ 0 t 2 sin( nt )dt
n+1
[ (-1)
{
2
2
2
- 2} - 2 ]
n
n
จึงได้
g(t) =
2 ∞

n=1
1
n
[ (-1)
n+1
(
2 2
- 2
n
(
2 2
- 2)
n
) - 22 ]sin( nt )
n
และ
f(t) =
2 ∞

n=1
1
n
(0<t<
[ (-1)
)
n+1
- 22 ]sin( nt )
n
-1
∫ t sin(nt)dt = n ∫ t d cos(nt)
-1
=
n
[ t cos(nt) - ∫
cos(nt) dt ]
-1
1
=
[
t cos(nt) sin(nt) ] + c
n
n
เมื่อ c เป็ นค่าคงตัว
1
2
t
cos(nkt)dt
=
t
d sin(nkt)
∫
∫
nk
1 2
=
[
t sin(nkt) -∫ sin(nkt)dt 2 ]
nk
1 2
=
[
t sin(nkt) -2 ∫ tsin(nkt)dt ]
nk
1 2
2
=
[
t sin(nkt)+
{
tcos(knt) –∫ cos(nkt)}]
nk
nk
2
1 2
2
1
= [t sin(nkt)+ {tcos(knt)– sin(nkt)}]+c
nk
nk
nk
เมื่อ k,c เป็ นค่าคงตัว
cos(0) = 1, cos( ) = -1, cos(2 ) = 1,
cos(3 ) = -1, cos(4 ) = 1, ..., cos(n ) = (-1)
sin( ) = sin(2 ) = sin(3 ) = sin(4 ) = ...
= sin(n ) = 0
n