Transcript več - Fakulteta za arhitekturo

UNIVERZA V LJUBLJANI
FAKULTETA ZA ARHITEKTURO
PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA
IN
AFINOST KROŽNIC GEOMETRIJSKEGA TELESA
OPISNA GEOMETRIJA
Luca Jereb
doc.dr. Domen Kušar
Kolineacija v ravnini je bijektivno preslikavanje ravnine, ki preslika točko v točko, premico v premico, pri tem pa ohranja
incidenco točke in premice:
Če se točka T1, ki leži na premici p1 preslika v točko T2, mora tudi točka T2 ležati na preslikavi premice p1, torej na
premici p2.
Kolineacija ravnine je torej transformacija ravnine, ki ohranja kolinearnost točk.
PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA
Kolineacijo v ravnini, v kateri obstaja točno ena fiksna premica o, pri kateri se vse točke preslikajo same vase in točno
ena fiksna točka S, ki NE LEŽI na premici o in se preslikava sama vase, imenujemo perspektivna kolineacija.
Fiksna premica se imenuje os perspektivne kolineacije, fiksna točka pa središče perspektivne kolineacije.
PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA
S
o
C1
A1
B1
A2
B2
C2
PRESLIKAVA TRIKOTNIKA S PERSPEKTIVNO KOLINEACIJO
S
o
X2
X1
B2
C2
A2
D2
A1
B1
D1
C1
Perspektivno kolinearna slika pravokotnika NI
pravokotnik in paralelograma NI paralelogram, saj
preslikava ne ohranja vzporednosti!
PRESLIKAVA ŠTIRIKOTNIKA S PERSPEKTIVNO KOLINEACIJO
Afinost je perspektivna kolineacija, kjer je os o v končnosti, središče S pa v neskončnosti. Žarki afinosti so vzporedne
premice, g∞ je žarek vsake afinosti.
Afinost v ravnini je nedvoumno določena z osjo in parom povezanih točk:
X2
o
X1
Afinost ohranja vzporednost in razmerja.
PERSPEKTIVNA KOLINEACIJA . AFINOST
C2
B2
o
X2
B1
A2
C1
A1
X1
Pari afino povezanih stranic se sekajo na osi afinosti!
PRESLIKAVA TRIKOTNIKA S POMOČJO AFINOSTI
C
Konstruiranje elipse e1 kot afine slike krožnice k v
afiniteto (imamo os ter S in S1).
S
A
D
o
B
Premera elipse sta konjugirana (to pomeni, da sta tangenti
v skrajnih točkah enega od premerov vzporedna drugemu
premeru, v skrajnih točkah drugega premera pa sta
tangenti vzporedni prvemu premeru), če sta pri afini
preslikavi krožnice v elipso nastala kot afina slika med seboj
pravokotnih premerov krožnice!
Torej se par pravokotnih premerov krožnice preslika v par
konjugiranih premerov elipse.
D1
A1
B1
S1
C1
KROŽNICE
C
S
A
Simetrala dolžine SS1, pravokotno na SS1,na
sredini.
B
D
o
G
D1
A1
B1
S1
C1
Velika in mala os elipse se konstruirata s pomočjo Talesovega
izreka: Kot, ki ima vrh na krožnici, kraka pa potekata skozi
diametralni točki krožnice, je pravi kot.
KONSTRUKCIJA ELIPSE KOT AFINE SLIKE KROŽNICE. določanje velike in male osi
S
T1
o
T2
S1
PRESLIKAVA KROŽNICE Z ORTOGONALNO AFINITETO
p1=p2
b
S
T2
k2
T1
T
a
k1
p
Elipsa je podana z veliko in malo osjo a in b.
V afiniteti med dano elipso in krožnico k1 je os incidenčna z
a, žarki pa so vzporedni z b.
V afiniteti med dano elipso in krožnico k2 pa je os
incidenčna z b, žarki pa so vzporedni z a.
Skozi središče S potegnemo poljubno premico p. To
premico lahko afino preslikamo v premico p1, kjer ta
premica seka krožnici k1 in k2 dobimo točki T1 in T2.
Ti dve točki nato afino preslikamo nazaj na premico p,
dobimo točko T, ki leži na naši elipsi. Točka T je sečišče
dveh žarkov dveh afinitet.
KONSTRUKCIJA TOČK ELIPSE S POMOČJO AFINOSTI
AB je skupni premer elipse in krožnice, torej je AB
afinitetna os.
D1
R1
Premer CD se preslika v premer C1D1 krožnice.
D
Premica med D in D1 je afinitetni žarek.
R
A
S
C
B
T
T1
Skonstruiramo točko T (tako tudi kasneje točko R) na elipsi,
ko je njena afina slika T1 ϵ k1 (R1 ϵ k1), kar pomeni, da T1 in
R1 ležita na krožnici:
1)
s pomočjo para preslikanih točk D-D1
upoštevajoč dejstvo, da se vzporedne premice
preslikajo v vzporedne premice (R-R1)
2)
t
Tangenta t elipse v točki T je afina slika tangente t1 krožnice
z dotikališčem v T1.
C1
t1
Veliko in malo os skonstruiramo s pomočjo Rytzove
konstrukcije.
Pozor:
Kjer je krožnica opisana z malim premerom elipse moramo biti pozorni na pravokotnost med CD, ki je afinitetna os in A1B1, ki je v tem
primeru premer krožnice. Afinitetna žarka sta v tem primeru A-A1 in B-B1, ki sta vzporedna.
AFINOST MED ELIPSO PODANO S PAROM KONJUGIRANIH PREMEROV IN KROŽNICO OPISANO Z
VEČJIM PREMEROM
VIRI IN LITERATURA
Milan Mitrović: Projektivna Geometrija, Ljubljana 2009, DMFA založništvo, prevedel Robert Bakula
Oton Sajovic: Opisna Geometrija, skripta. Ljubljana 1951, Državna založba Slovenije
http://web.math.hr/nastava/ng/afinost.pdf
http://www.docin.com/p-19975306.html
www.grad.hr/nastava/geometrija/ng/1program/afinost.ppt