Transcript M3_2012 - Laurent Dumas

Optimisation sans gradient et applications (M3)
Laurent Dumas
http://dumas.perso.math.cnrs.fr/M3.html
1. Quelques problèmes d’optimisation en ingénierie
2. Méthodes sans gradient déterministes
2.1 Méthodes directes (Nelder Mead, MDS/Torczon)
2.2 Interpolation (modèles quadratiques et régions de confiance)
2.3 Surfaces de réponse (RBF, krigeage)
3. Méthodes sans gradient stochastiques
3.1 Recuit simulés
3.2 Algorithmes génétiques, essaim de particules, stratégies d’évolution
3.3 Résultats de convergence
3.4 Extensions (adaptativité, gestion des contraintes , version multi-objectif)
4. Mise en œuvre sur des cas réels (projet en binôme)
(réseaux de Bragg, parc de panneaux solaires)
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1.1 Problème 1: problème du voyageur de commerce
QuickTime™ et un
décompresseur
sont requis pour visionner cette image.
• Objectif: déterminer la distance minimale à parcourir pour visiter toutes les villes une et
une seule fois.
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1.2 Problème 2: configuration d’une molécule d’énergie minimale
N=4 atomes
N=7 atomes
• Objectif: déterminer la position de N atomes minimisant le potentiel de Lennard Jones de
la molécule associée: V( r )=1/r12 – 2/r 6 pour 2 atomes à une distance r.
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1.3 Problème 3: décodage d’une image floue et bruitée
Code à 13 chiffres
• Objectif: à partir d’une image floue et bruitée d’un code barre, être capable d’identifier ce
code barre
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1.4 Problème 4: réduction de consommation d’un véhicule
Traînée aérodynamique
Résistance au roulement
Masse
A 120 km/h, facteurs de la consommation d’un véhicule:
Résistance au
roulement
26%
Traînée
aérodynamique
74%
…dont 65% à 70 % dépend de
la forme extérieure…
…dont
90 % de la forme arrière!
Lignes de courant et tourbillons longitudinaux à l’arrière d’un
véhicule expérimental type 206 (DRIA)
• Objectif: obtenir la forme arrière optimale d’une automobile par simulation numérique.
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1.4. Quelques exemples de Cx
Ford T:
0.8
(année de sortie: 1908)
Hummer H2: 0.57
(2003)
Citroën SM: 0.33
(1970)
Peugeot 407: 0.29
(2004)
et…
Tatra T77: 0.212
(1935)
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1.5 Principales caractéristiques de ces 4 problèmes
Problème 1:
économie
Paramètres
Problème 2:
chimie
permutations position des
de {1,…,n}
atomes
Problème 3:
image
Problème 4:
automobile
signal 1D
forme du
véhicule
issue d’une
convolution
issue d’une
EDP
Fonction coût
simple
simple
Calcul du
gradient
//
explicite
Minimas
locaux
//
oui
oui
oui
Contraintes
non
non
non linéaires
non linéaires
non explicite non explicite
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1.6 Autres exemples d’optimisation en ingénierie
•
Optimisation de formes de réseaux de Bragg (Alcatel)
•
Optimisation de champs de panneaux solaires (GDF)
•
Identification de paramètres de modèles physiques ou
biologiques (multiples exemples!)
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Problème 1: optimisation de forme d’un réseau de Bragg
QuickTime™ et un
décompresseur
sont requis pour visionner cette image.
-Objectif: étant donné la forme d’un filtre en longueur d’onde, déterminer les
caractéristiques d’une fibre optique (réseau de Bragg) permettant d’obtenir ce filtre.
Problème posé par: Alcatel.
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Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires
QuickTime™ et un
décompresseur
sont requis pour visionner cette image.
QuickTime™ et un
décompresseur
sont requis pour visionner cette image.
-Objectif: étant donné une zone d’implantation de panneaux solaires, déterminer
le meilleur positionnement des structures pour maximiser l’espérance de
production sur la durée de vie du projet.
Problème posé par: GDF/Suez.
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Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
Fibre monomode standard de télécommunication à saut d’indice:
Indice de
réfraction
Mode non guidé
4-5 10-3
Mode guidé
Rayon (m)
4.5
•L’indice
du cœur est augmenté grâce à un dopant: le germanium
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Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
>
Dans un réseau de Bragg (ou FBG), une modulation périodique et permanente de
l’indice de réfraction de la silice dopée au germanium est effectuée sous irradiation
UV
L = 0.5 m
(spectre de réflectivité)
>
Possibilité de travailler la forme de la modulation d’indice suivant la fonction de
filtrage recherchée (mono ou multi canal)
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Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
• L’indice de réfraction général d’une réseau de Bragg est donné à l’aide d’une
fonction quasi-sinusoïdale dans la direction longitudinale z:
n(z)=n0+dn(z) cos(2pz/L0)
z [0, L]
avec les notations suivantes:
n0 : indice de réfraction initial du cœur
L0: période du réseau (ou lB= 2 n0L0: longueur d’onde associée)
dn(z): amplitude de l’indice à variation lente (appelée apodisation)
• Le problème d’optimisation, de type inverse, consiste donc à trouver la bonne
fonction d’apodisation réalisant les caractéristiques de filtrage voulues.
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Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
• Certaines hypothèses sont faites pour calculer le spectre de réflectivité (fibre sans
perte et monomode dans la bande spectrale, faible différence d’indice cœur-gaine).
• Pour toute longueur d’onde l dans la bande de transmission, les enveloppes
bF(z,l) et bB(z, l) des deux ondes, incidente et réfléchie, sont alors solution d’un
système couplée d’EDO linéaires du premier ordre à coefficients complexes:
avec
,
et
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Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
•Le spectre de réflectivité du réseau de Bragg est alors donné par la
fonction l  R(l) =| r(l) |2 avec r(l) = bB(0,l) / bF(0,l)
•Pour le calcul du spectre de réflectivité d’un réseau de Bragg
quelconque, en notant r(z,l)= bB(z,l) / bF(z,l), on observe que r(., l)
satisfait une EDO de Ricatti pouvant être intégrée numériquement de
manière rétrograde.
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Problème 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
•Les figures ci dessous correspondent au spectre de différents FBG (L=10cm,
n0=1.45, lB=1550nm) pour plusieurs fonctions d’apodisation:
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Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires
QuickTime™ et un
décompresseur
sont requis pour visionner cette image.
• Afin d’optimiser la production d’énergie d’un parc de panneaux solaires,
il faut associer aux équations astronomiques permettant de connaître la
position instantanée du soleil et son irradiation, des lois de probabilités
représentatives de la nébulosité, des effets hygrométriques et aérosol,
des températures, des vents au sol.
• Les effets d’ombrages liés à l’horizon où à la position des structures sont
aussi à prendre en compte.
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Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires
QuickTime™ et un
décompresseur
sont requis pour visionner cette image.
• De plus, par contraintes légales, un parc solaire au sol:
(i) ne peut dépasser la puissance maximale cumulée de 12 MW
(ii) deux parcs ne peuvent être distant de moins de 500 mètres.
• Seules ces contraintes géométriques vont être considérées ici.
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Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires
•
En termes mathématiques, cela donne:
Soient deux réels ,S>0 et D>0, K un compact de X et n>0 un entier.
On considère une réunion disjointe P={P1 , P2,…, Pn } de sous
ensembles de K telle que
(i)
(ii)
Aire(Pi )<S pour tout i dans {1,…,n}
d(Pi , Pj )>D pour tout couple de points distincts (i,j) dans {1,…,n}
où Aire(Pi ) désigne l’aire de Pi et d(Pi , Pij) la distance entre Pi et Pj.
L’objectif est de trouver un couple (n,P) tel que la somme des Aire(Pi)
soit maximale.
•
En pratique, K est quelconque: non convexe, non connexe, etc…
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Problème 2: optimisation de parcs de panneaux solaires
•
Il peut être démontré que le problème est bien posé
mathématiquement, à savoir qu’il possède au moins une solution.
•
Pour simplifier la recherche, on fera ici des hypothèses
simplificatrices sur la forme de K (rectangulaire) et sur celle des sous
domaines Pi (disques triangles ou rectangles).
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Objectifs du projet 1: optimisation de formes de réseaux de Bragg
•
Calcul de la fonction coût (erreur entre spectre simulé et spectre idéal) pour
une classe de fonctions particulières (affines ou splines).
•
Optimisation avec deux types de méthodes:
une méthode de type déterministe (Nelder Mead ou MDS)
une méthode de type stochastique (AG, stratégie d’évolution ou PSO)
•
Gestion de contraintes.
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Objectifs du projet 2: optimisation de parcs de panneaux solaires
•
Calcul de la fonction coût (aire totale) pour une classe de sous-domaines
particuliers (disques, triangles, rectangles).
•
Optimisation pour un nombre fixé de sous-domaines avec deux types de
méthodes:
une méthode de type déterministe (Nelder Mead ou MDS)
une méthode de type stochastique (AG, stratégie d’évolution ou PSO)
•
Gestion des contraintes.
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Déroulement pratique
•
Deux séances de travail (obligatoires) sont organisées les mardi 4 et 11
décembre avec quelques compléments de cours (sur la gestion des
contraintes en particulier).
•
Date de la soutenance: mardi 18 décembre.
•
Chaque soutenance (en binôme) consistera en la rédaction et la présentation
de transparents pendant 15 minutes, accompagnés d’un code Matlab/Scilab
d’illustration.
•
Les résultats obtenus devront être clairement illustrés par des exemples
graphiques et des animations.
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