Transcript Лекция 3:

Лекция 3:
Численные методы линейной алгебры.
Методы решений нелинейных уравнений
и систем.
К численным методам линейной алгебры относятся численные
методы решения систем линейных алгебраических уравнений, обращение
матриц, вычисление определителей, нахождение собственных значений и
собственных векторов матриц. Численные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений разделяются на две группы:
 Точные или прямые методы, которые позволяют найти решение
системы линейных алгебраических уравнений за конечное число
арифметических действий. Сюда относятся метод Крамера (нахождение
решения систем с помощью определителей), метод Гаусса, метод
прогонки.
 Приближенные методы. В частности итерационные методы решения
систем алгебраических уравнений.
Правило Крамера в вычислительной математике с использованием ЭВМ не
применяется, т.к. оно требует использования большого числа операций и
объемов памяти. Метод Гаусса используется для решения СЛАУ размерности
3.
10
6
10
Итерационными методами решаются системы размерностью
.
Методом прогонки решаются системы линейных алгебраических уравнений
специального вида, содержащие трехдиагональные матрицы.
П.1 Метод простой итерации.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений n – го
порядка, записанную в виде:
(3.1)
x  Bx  b ,
где B - квадратичная числовая матрица n – порядка.
x - n – мерный вектор, неизвестная величина, которую требуется найти.
b - n – мерный вектор (известный, заданный столбец свободных членов).
Задав
x0  Rn
начальное приближение, итерационный процесс
нахождения приближенного решения (3.1) сформулируем следующим
образом:
(3.2)
xk  Bxk 1  b, k  1,2,...
Выясним, при каких условиях на матрицу B, решение найденное по методу
простой итерации будет сходиться к решению задачи (3.1).
Практическая схема решения СЛАУ методом простой итерации
Рассмотрим для простоты систему, состоящую из трёх уравнений с тремя
неизвестными:
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3
1). Преобразуем эту систему к системе вида:
(3.3)
где
 x1  a12
 x2  a13
 x3  b1  0
a11
 x1  a22
 x2  a23
 x3  b2  0
a21
 x1  a32
 x2  a33
 x3  b3  0
a31
  a12
  a13

a11
(3.4)
  a21
  a23

a22
  a31
  a32

a33
Этого можно добиться:
1)
переставляя столбцы исходной системы;
2)
меняя строки;
3)
делая линейную комбинацию из строк.
2)
из первого уравнения (3.3) выразим x1 ;
из второго уравнения (3.3) выразим x2 ;
из третьего уравнения (3.3) выразим x3 ;
Получим:
x1 
c12 x2  c13 x3  d1
x2  c21 x1
 c23 x3  d2
x3  c31 x1  c32 x2
 d3
Правая часть этой системы имеет нормальную матрицу
 0 c12

C   c21 0
c
 31 c32
c13 

c23 
0 
 d1 
 
d   d2 
d 
 3
C  max c12  c13 , c21  c23 , c31  c32

x*  x1* , x2* , x3*  – точное решение, а через
Учитывая (3.4) и обозначив через
x( n)  x( n) , x( n) , x( n) – n – тую итерацию, будем иметь

1
2
3

n 1
x*  x ( n )
C

d
1 C
Найдя C с помощью вышеуказанного равенства, а также d , выясним при
N 1
каком номере N будет выполняться неравенство:
Метод нахождения
xn
на n – й итерации имеет вид:
C
d 
1 C
x1( n )  c12 x2( n1)  c13 x3( n1)  d1
x2( n )  c21 x1( n1)  c23 x3( n1)  d 2
x3( n )  c31 x1( n1)  c32 x2( n1)  d3
В процессе выполнения этого итерационного процесса, на каждом шаге
находим разность x ( n )  x ( n1) . Когда
x
( n)
x
( n1)
1 C


C
выполнение итерационного процесса прекращаем, решение найдено с
заданной точностью.
3) На практике часто используется итерационный процесс Гаусса – Зейделя,
который имеет вид:
(3.5)
x1( n )  c12 x2( n1)  c13 x3( n1)  d1
x2( n )  c21 x1( n )  c23 x3( n1)  d 2
x3( n )  c31 x1( n )  c32 x2( n )  d3
Выясним при каких условиях сходится метод Гаусса – Зейделя.
Теорема 3.1: Для того, чтобы решение по методу Гаусса – Зейделя
существовало и было единственно, и для того, чтобы итерационный процесс
(3.5) сходился, достаточно выполнение условий (3.4).
Методы решений нелинейных уравнений и систем
п.1 Задача отделения корней
Пусть требуется решить уравнение с одной неизвестной:
 (x) - заданная функция.
Задача определения корней для уравнения
x   (x) , где
(3.6) f(x)=0
состоит в определении отрезков, которые содержат один и
только один корень этого уравнения.
 
Теорема 3.2: Пусть ф. f  C2 a, b , f(a)f(b)<0, т.е. функция принимает на
концах значения разного знака, кроме того f (x) не меняет знак на [a,b],
тогда уравнение (3.6) имеет единственное решение на [a,b].
Док-во: Т.к. ф. f(x) непрерывна на [a,b] и при х=а, x=b принимает значения
разного знака, то f(x) пересекает ось Ох хотя бы один раз, т.е. решение
уравнения (3.6) существует.
Единственность решения следует из того, что вторая производная f (x) не
меняет знак на [a,b]. Убедимся в этом из геометрических соображений.
x*
a
x*
b
a
x*
x*
a
b
b
a
b
П.2. Метод Ньютона (метод касательных)
 
y
y  f x 
Пусть f  C2 a, b , f(a)f(b)<0, f ”(x) не
меняет знак на [a,b].
Y  f ( x0 )  ( x  x0 ) f ( x0 ) – функция,
задающая касательную.
Y=0, найдём точку x1, точку пересечения
этой касательной с Оx.
f (x 0 )
x1  x 0 
f ' (x 0 )
a
х2
х1 b  x 0
x
В общем случае формула в методе Ньютона
записывается:
x k 1  x k 
f (x k )
f ' (x k )
Замечание: В качестве x0 в методе
Ньютона выбирается тот конец отрезка
[a,b], в котором знак функции совпадает со
знаком второй производной этой функции
в этой точке.
п.3. Метод хорд (метод секущих)
По методу хорд (k+1)е приближение решения находится с помощью
равенства: x k 1  x k 
f ( x k )(x k  x k 1 )
, k  1,2,...
f ( x k )  f ( x k 1 )
x  xk
y  f (x k )

x k 1  x k f ( x k 1 )  f ( x k )
M1 ( x1 , f ( x1 ))
M k ( x k , f ( x k ))
y  f (x)
a  x0
x2
M 0 (x 0 , f (x 0 ))
x3
b  x1
x k 1
M k ( x k 1 , f ( x k 1 ))
П.4 Комбинированный метод
При использовании методов Ньютона и секущих мы приближаемся к
точному решению с одной стороны.
Комбинированный способ состоит в попеременном применении метода
Ньютона и секущих, тогда приближение идет с двух сторон. При
комбинированном методе приближение начинают делать с метода
касательных.
Точность вычислений.
Пусть требуется решать уравнение (3.6) с точностью ε.
ε= 103 ,104
При использовании комбинированного метода точность приближения
определяется формулой
x 2N1  x 2N  
В качестве корня выбирается:
x
 x2 N 
~
x  2 N 1

2
2
п.5. Метод итераций
Пусть требуется решить уравнение
(3.7) x   (x), которое может не иметь решения, иметь одно решение или
иметь бесконечное множество решений.
Сформулируем теорему, которая дает достаточное условие, при котором
это уравнение имеет единственное решение и укажем итерационный
процесс для нахождения приближенного решения этого уравнения.
Определение 3.1: Будем говорить, что ф. f(x) на [a,b] удовлетворяет
условию Липшица с постоянной α, если
неравенство:
x1 , x2  a, bбудет справедливо
f ( x1 )  f ( x2 )   x1  x2
(3.8)
Теорема 3.3: ] ф. (x) на
x0 , x0  r , r  0 удовлетворяет условию Липшица
 ,0    1,0   ( x0 )  x0  (1   )r , тогда уравнение x   (x)
имеет единственное решение x* , причем x*  lim xk , где xk   ( xk 1 ) ,
с постоянной
при этом имеют место оценки:
k 
 ( x0 )  x0

xk  xk 1 , где  
 r , k  1,2,...
x*  xk   , x*  xk 
1
1
k
Литература
Е.А. Волков Численные методы, М. Наука, 1987 (либо последующие
издания):
& 4-12, 15, 19-22, 24,25, 29-33.