Transcript Использование МП Maple для решения нелинейных уравнений

Курсовая работа на тему:
Использование МП Maple для решения
нелинейных уравнений и их систем
Выполнила: студентка ФМФ
группы ИМ-4 Гаврилова Екатерина.
Руководитель доцент Горский А.В.
Введение
Несмотря на направленность Maple на серьезные
математические расчеты, системы класса Maple необходимы
широкой категории пользователей – студентам,
преподавателям ВУЗов, инженерам, аспирантам, научным
работникам и учащимся математических классов
общеобразовательных и специальных школ. Применение
системы Maple в образовании способствует повышению
фундаментальности математического образования, сближает
нашу образовательную систему с западной.
 Актуальность темы. Сравнительный анализ уровня решаемости
алгебраических и трансцендентных уравнений в системе Maple
обусловлен практической потребностью в разрешении
вопросов, определяющих границы применяемости системы
Maple для использования в учебном процессе.
 Цель исследования – выявить три уровня решаемости
уравнений в системе Maple (полное решение, частичное
решение, нет решения).


Объект исследования – реализация возможностей
математического пакета Maple при решении алгебраических
и трансцендентных уравнений.
Предмет исследования – возможности математического
пакета при решении алгебраических и трансцендентных
уравнений (рациональных, иррациональных,
показательных, логарифмических, содержащих неизвестное
под знаком абсолютной величины), а так же систем
уравнений.
 Задачи исследования: Исследование решаемости
уравнений в математическом анализе. Исследование
возможностей математической системы Maple при решении
уравнений. Исследование решаемости уравнений в системе
Maple
 Методы исследования – эмпирические методы изучения
продуктов деятельности (решения уравнений),
статистическая обработка как качественный и
количественный анализ трех уровней решаемости
уравнений в системе Maple

Графический метод исследования
уравнений
•Задание области определения и области значений
функции.
• Монотонность. Четность. Периодичность.
Ограниченность.
• Возрастание и убывание функции переменной.
• Максимумы и минимумы функции.
• Наибольшие и наименьшие значения функции на
отрезке.
• Выпуклость и вогнутость графика функции.
• Точки перегиба.
• Асимптоты графика функции.
Математическая среда Maple






Система Maple для Windows была создана группой «The
Symbolic Group», организованной Кейтом Геддом (Keith
Geddes) и Гастоном Гоне (Gaston Gonnet) в 1980 году в
университете Waterloo, Канада.
Простота задания опций, легкость подготовки
графических процедур позволяет осуществлять
визуализацию решения математических задач.
В математической системе Maple есть несколько средств
для решения линейных и нелинейных уравнений и
неравенств. Разделим их на 3 группы:
Функции, используемые для решения уравнения
Функции, используемые для проверки решения
уравнения
Функции, используемые для построения графиков.
Функции, используемые для решения
уравнения
 Solve – для решения в аналитическом виде
 Fsolve – для решения численными методами
 Allvalues -для получения решений вида RootOf в
явном виде может использоваться функция
allvalues
Функции, используемые для проверки
решения уравнения



Подстановки в общем случае служат для
замены одной части выражения на
другую. Частным видом является
операция замены символьного значения
переменной её численным значением.
subs(x=a,e) в выражении e заменяет x на
a
simplify(expr) — возвращает упрощенное
выражение ехрr или повторяет его, если
упрощение в рамках правил Maple
невозможно
Функции, используемые для
построения графиков
Для построения графиков служит функция plot. Она
задается в виде:
plot(f(x) ,xmin,xmax) — построение графика функции f.
 Для задания двумерного графика неявного вида служит
функция implicitplot импликативной графики:
implicitplot (f(x) ,x=a..b,y=c..d,options)
где f(x) — визуализируемая функция (или функции), x=a..b,
y=c..d – минимальные и максимальные значения
переменных.
 Для построения графиков трехмерных поверхностей
Maple имеет встроенную в ядро функцию plot3d:
 plot3d(f(x, y) ,x=a..b. y=c..d,p)

Методика решения уравнений:
ввод данного уравнения;
 предварительный анализ уравнения (определение вида,
ожидаемого количество корней);
 построение графика функции с помощью Plot(проверка
предположений о количестве корней и периодичности
функции);
 для нахождения решения используем функцию solve.
Если найдены:

◦ все корни (по предварительному исследованию и графику);
◦ не все корни, тогда используем _EnvAllSolution := true (для
вывода периодических решений);
◦ уравнение не решается символьными методами fsolve
(численные методы решения уравнений);
проверка полученных корней уравнений, подстановка с
помощью subs и методом пристального взгляда (на
графике);
 заключение по результатам полученного решения

Методика решения систем уравнений:
ввод данной системы уравнений;
 предварительный анализ системы уравнений
(определение вида уравнений, ожидаемого количество
корней);
 построение графика функции с помощью Plot3D
(проверка предположений о количестве корней и
периодичности функций);
 для нахождения решения используем функцию Solve.
Если найдены:

◦ все корни (по предварительному исследованию и графику);
◦ не все корни, тогда используем _EnvAllSolution := true (для
вывода периодических решений)
◦ уравнение не решается символьными методами fsolve
(численные методы решения уравнений);
проверка полученных корней уравнений, подстановка с
помощью subs;
 заключение по результатам полученного решения.

Краткая методика решения уравнения( для
нахождения верного решения в кратчайшие сроки):






Ввод данного уравнения
Построение графика
Для нахождения решения используем оператор Solve
Получаем результат
Проверяем полученные корни уравнения с помощью subs
Пример:
Статистика решаемости различных
видов уравнений
Решаемость
Тип уравнения
полностью
частично
Нет
Рациональные
10
0
0
С модулем
10
0
0
Иррациональные
7
3
0
Показательные
10
0
0
Логарифмические
10
0
0
Тригонометрические
8
2
0
Комбинированные
8
2
0

Из 70 уравнений (100%), предложенных к
решению, полностью решены 63 (90%),
частично 7 (10%), не решенных уравнений нет.
Статистика решаемости различных
видов систем уравнений
Тип уравнения
Решаемость
полностью
частично
нет
Рациональные
9
1
0
Показательные и
логарифмические
8
2
0
Тригонометрические
7
3
0

Из 30 систем (100%), предложенных к решению,
полностью решены 25 (83%), частично 5 (17%), не
решенных систем нет.

Вывод: мат пакет Maple позволяет получить решение
(пусть не всегда полное) для любых видов
алгебраических и трансцендентных уравнений и их
систем.
Заключение





Сравнительный анализ уровня решаемости алгебраических и
трансцендентных уравнений в системе Maple показал 90%-ую
решаемость уравнений и 83%-ую решаемость систем
уравнений, что позволяет использовать в учебном процессе.
Цель исследования достигнута: выявлены три уровня
решаемости уравнений и систем в математическом пакте
Maple (полное решение, частичное решение, нет решения),
статистические данные сведены в таблицы 1 и 2.
Не реализованы возможности математического пакета Maple
при решении уравнений – 10%, и 17% при решении систем
уравнений.
Таким образом, рассмотрены три метода поиска решений
уравнений (символьное, численное и графическое), входящих
в состав математического пакета при решении алгебраических
и трансцендентных уравнений (рациональных,
иррациональных, показательных, логарифмических,
содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины), а
так же систем уравнений.
Выполнены задачи исследования математическими методами.