Transcript PARKIETAŻE
PARKIETAŻE
Karolina Figiel
Magdalena Pasionek
Karolina Kondek
Alicja Żurowska
Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja
to … ?
Jest to powtarzający się motyw złożony z wielokątów
foremnych wypełniających całą dostępną przestrzeń.
Wielokąty układają się koło siebie, mając wszystkie boki
wspólne z sąsiednimi figurami.
Formalnie jest to zbiór przystających wielokątów
foremnych złożonych w ten sposób, że każdy punkt
płaszczyzny należy do jakiejś figury, a każdy wierzchołek
parkietażu zawiera wyłącznie wierzchołki określonej
liczby figur.
Klasyfikacja
Cechą, za pomocą której klasyfikuje się parkietaże, są
właściwości wierzchołków, z których ten parkietaż się składa.
Jeśli w wierzchołku spotykają się dwa kwadraty, trójkąt
równoboczny i sześciokąt foremny, to taki parkietaż jest typu
(3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem
wskazówek zegara. Skrócenie zapisu osiąga się przez zapis
potęgowy: jeśli liczba k wystąpi n razy po kolei, to zapisuje się
to symbolem kn.
Periodyczność - przekształcenie przeprowadzające
wypełnienie płaszczyzny w siebie.
Parkietaż foremny - wypełnienie płaszczyzny tylko
przystającymi wielokątami foremnymi.
Parkietaż regularny - w każdym wierzchołku spotyka się
taka sama grupa figur.
Rodzaje
1. Periodyczne parkietaże foremne regularne (platońskie).
Istnieją tylko 3 takie parkietaże: 6^3, 4^4, 3^6.
2. Periodyczne parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne).
Istnieje tylko 8 takich parkietaży: (3^4, 6), (3^3, 4^2), (3^2, 6^2),
(4, 8^2), (4, 6, 12), (3, 4, 6, 4), (3^2, 4, 3, 4), (3, 12^2).
Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże.
3. Periodyczne parkietaże półforemne nieregularne.
Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: 3^6 oraz
(3^2, 4, 12).
4. Periodyczne parkietaże nieregularne.
Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta
(potocznie zwanego sfinksem). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym
pięciokątem, za pomocą którego można wypełnić całą płaszczyznę.
5. Parkietaże nieperiodyczne.
Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów.
Kąty deltoidu wypukłego wyrażone w stopniach: 72, 72, 72, 144.
Kąty deltoidu wklęsłego wyrażone w stopniach: 36, 36, 72, 216.
Patkietaże foremne
Parkietaż Platoński
Parkietaże uzyskane z jednego typu wielokątów foremnych nazywamy foremnymi lub
platońskimi.
Istnieją tylko trzy parkietaże platońskie, gdyż tylko w tych przypadkach suma miar
kątów wielokątów stykających się w wierzchołku parkietażu wynosi 360o. W jednym
wierzchołku parkietażu mogą stykać się najmniej trzy sześciokąty, a najwięcej,
bo aż sześć trójkątów.
Zbudowane z:
Trójkątów równobocznych
Kwadratów
Sześciokątów
PARKIETAŻE PERIODYCZNE
Parkietażem periodycznym nazywamy takie nieskończone
pokrycie płaszczyzny, które jest okresowe.
Parkietaż półforemny regularny
Parkietaż archimedesowski
Składa się z różnych wielokątów foremnych, a w każdym
wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur.
Parkietaż półforemny nieregularny
Parkietaż Johnsona
W jego wierzchołkach spotykają się różne grupy
wielokątów
PARKIETAŻE NIEPERIODYCZNE
Parkietażem nieperiodycznym nazywamy takie
nieskończone pokrycie płaszczyzny dla którego nie
istnieje okres.
Parkietaż nieperiodyczny
Parkietaż Penrose'a
Parkietaż Penrose'a to sposób pokrycia płaszczyzny za pomocą dwóch
rodzajów figur ("kafelków") tak aby wzór nie powtarzał się okresowo po
przesunięciu. Odkryty w 1973 r. przez angielskiego fizyka i matematyka
Rogera Penrose'a.
Parkietaż Penrose’a tworzony jest jedynie z dwóch rodzajów płytek
–Kite i Dart.
Parkietaż Penrose'a
Parkietaże w życiu codziennym
Kostki brukowe mają zazwyczaj kształt figur, którymi można
szczelnie wypełnić płaszczyznę (powstaje wtedy parkietaż).
Nawet jeżeli są to zwyczajne prostokąty, to mogą być układane
na kilka różnych sposobów. Niektóre parkietaże powstają
z kostek jednego kształtu, inne z dwóch, trzech lub więcej.
Jeśli do parkietażu wykorzystujemy tylko jeden rodzaj kostek
w kształcie wielokąta foremnego, parkietaż nazywamy
platońskim lub foremnym. Jeśli zaś używamy kostek w kształcie
różnych wielokątów foremnych, przy czym wszystkie węzły
parkietażu są identyczne, parkietaż nazywamy
archimedesowym lub półforemnym.
Parkietaże z prostokątów
Parkietaże ze zmodyfikowanych
prostokątów
Parkietaże z kwadratów
Parkietaże z rombów
Parkietaże z sześciokątów foremnych
Parkietaże ze zmodyfikowanych
sześciokątów foremnych
Parkietaże z sześciokątów
nieforemnych
Parkietaże z ośmiokątów i kwadratów
Parkietaże w sztuce
Parkietaże mają zastosowanie np. w zdobieniach
posadzkowych w kościołach (wzory małych bryłek, figur).
Ich ułożenie daje wrażenie trójwymiarowości czy też iluzji
ruchomego dzieła tzw. op-art.
Parkietaże pojawiają się także w twórczości Holendra
Mauritsa Cornelisa Eschera.
Parkietaż Eschera
Parkietaż w stylu Eschera to wypełnianie płaszczyzny
dowolnymi, jednakowymi wielokątami
Twórczość
Eschera
Twórczość
Eschera
Twórczość
Eschera
Twórczość
Eschera
Twórczość
Eschera
Twórczość
Eschera
Bibliografia
http://pl.wikipedia.org/wiki/Parkieta%C5%BC
http://www.csz.pw.edu.pl/files/dla_uczniow/2011_wpopula
rne_01_budzynski.pdf
http://aixa.ugr.es/escher/table.html
http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/mat
ematyka-pod-stopami-ii
https://www.ezi.edu.pl/showcasefiles2/pp2969.ppt
http://szkolamysleniamini2.nq.pl