Transcript Obecný rovinný pohyb

Obecný rovinný pohyb
Rozklad pohybu
Obecný rovinný pohyb
posuvný pohyb
obecný rovinný
pohyb
(určený pohybem
referenčního bodu)
druhotný (relativní)
rotační pohyb (kolem
referenčního bodu)
rovinný pohyb :
Všechny body tělesa opisují rovinné trajektorie, které leží ve
vzájemně rovnoběžných rovinách. Proto pro popis rovinného pohybu
stačí popisovat průmět tělesa do jedné z těchto rovin, kterou si
libovolně zvolíme za základní. Tak místo trojrozměrného tělesa
vyšetřujeme pohyb plošného útvaru v rovině.
Obecný rovinný pohyb je pohyb, který :
- je rovinný,
- není ani posuvný ani rotační.
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Těleso, které koná obecný rovinný pohyb, může mít 1, 2 nebo 3 stupně volnosti.
např.: těleso pohybující se v jednom posuvném směru
1 stupeň volnosti
těleso pohybující se v jednom posuvném směru
s možností otáčení
rotace
2 stupně volnosti
posuv
těleso pohybující ve dvou posuvných směrech
s možností otáčení
posuv
rotace
posuv
3 stupně volnosti
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Jedním z jednodušších obecných rovinných pohybů
je valení válcového tělesa po pevné vodorovné podložce.
f, w, e
r
rotace
1 stupeň volnosti
valení bez prokluzu
x, v, a
posuv
valení bez prokluzu
jeden nezávislý pohyb
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Kinematika se zabývá poměry rychlostí a zrychlení.
Metody řešení:
Analytické řešení.
Nebudeme se zabývat
Řešení rychlostí pólovou konstrukcí.
Řešení základním rozkladem.
Obecný rovinný pohyb
Technická mechanika
8.přednáška
pólová konstrukce
B
yB
 
vB , aB
nB

π
nA
A
xA
Pólová konstrukce je založena na existenci
zvláštního bodu – tzv. pólu pohybu (značíme jej π),
kterým lze jednoduše určit rychlosti bodů tělesa
při rovinném pohybu.
Pro pól pohybu platí, že rychlosti všech bodů při
obecném rovinném pohybu jsou stejné, jako kdyby
těleso rotovalo okolo tohoto pólu.
 
v A , aA
Pól pohybu leží na společném průsečíku
normál trajektorií všech bodů.
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Pólová konstrukce
B
yB

vB
nB


xA
Tyč AB délky  se pohybuje tak, že bod A se pohybuje
(smýká) po vodorovné podlaze rychlostí vA,
bod B se pohybuje (smýká) po svislé stěně rychlostí vB.
nA
A
je založena na existenci zvláštního bodu
- pólu pohybu (značíme jej p).
Pro pól pohybu platí že rychlosti všech bodů
při obecném rovinném pohybu jsou stejné,
jako kdyby těleso rotovalo okolo tohoto pólu.
Pól pohybu leží na společném průsečíku
normál trajektorií všech bodů.

vA
Bod A se pohybuje po vodorovné přímce,
normála této trajektorie nA je svislá.
Bod B se pohybuje po svislé přímce, normála
této trajektorie nB je vodorovná.
Na průsečíku těchto normál leží pól pohybu π.
Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak,
jako bychom řešili rotaci okolo pólu π.
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Pólová konstrukce
Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak,
jako bychom řešili rotaci okolo pólu p.
B
yB

vB
nB

π
B
π
nB

vB
nA
A
Bπ = poloměr otáčení bodu B
w

yB
nA

vA

vA
A
xA
xA
Při rotačním pohybu:
vA vA
w

Ap y B
x
v B  w  Bp  w  x A  v A  A
yB
v A  w. Ap
xA
vB  vA 
yB
Aπ = poloměr
otáčení bodu A
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Rychlosti všech bodů můžeme vyšetřit tak,
jako bychom řešili rotaci okolo pólu p.
Pólová konstrukce
To platí pro všechny body tělesa, ne jen pro body A a B.
B
Použití pólového bodu
platí pouze pro určení
rychlosti bodů tělesa!
p
nB
w
nC

vB
nA
yB
C
yC

A vA
xA
xC
vC  w  Cp

vC
Cp  ( xC  x A ) 2  ( y B  yC ) 2
vC  w  Cp  w. ( xC  x A ) 2  ( y B  yC ) 2
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Pólová konstrukce
Normálové zrychlení an mění směr rychlosti,
musí proto u přímočarého pohybu být nulové.
B
nB
π
B
bod B se pohybuje po přímce
aBn=0

vB

Použití pólového bodu
platí pouze pro určení
rychlosti bodů tělesa!
nB
p
a Bn

vB
nA
w

aAn=0
A
a An
A vA

vA
bod A se pohybuje po přímce
Neplatí pro zrychlení !
nA
Normálové zrychlení
podle pólové konstrukce,
tzn. pro rotační pohyb by
mělo hodnotu např. pro
bod A:
a An
2
vA

Ap
V tomto případě
to není pravda!!!
kinematická geometrie
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Při obecném rovinném pohybu je pólem pohybu v každém okamžiku jiný bod – poloha pólu
se mění s časem. Proto se určují křivky, které jsou množinami poloh těchto bodů při pohybu.
Křivka - množina bodů, které byly, jsou nebo budou pólem se nazývá polódie.
p(t-Dt)
B
p(t-Dt)
B
p(t)
p(t)
Pohyblivá polódie
spojuje polohy pólů určených
ve vztažné soustavě nehybně
spojené s tělesem.
Pevná polódie
p(t+Dt)
p(t+Dt)
spojuje polohy pólů určených ve
vztažné soustavě nehybně spojené s
rovinou,
ve které se pohyb uskutečňuje.
A
Množina bodů, které byly, jsou
nebo budou pólem, vynesených
do pevného (nehybného) prostoru,
se nazývá polódie pevná.
A
Množina bodů, které byly, jsou
nebo budou pólem, vynesených
do tělesového (pohybujícího se) prostoru,
se nazývá polódie pohyblivá.
kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb
Obě polódie se navzájem dotýkají v pólu pohybu.
p(t-Dt)
B
p(t)
p(t+Dt)
pevná polódie
pohyblivá polódie
A
Technická mechanika
8.přednáška
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
kinematická geometrie
p(t-Dt)
p(t-Dt)
B
C
D
p(t)
C
pevná polódie
p(t)
D
p(t+Dt)
p(t+Dt)
E
p(t+Dt)
pohyblivá polódie
A
E
pevná polódie
pohyblivá polódie
Při obecném rovinném pohybu se pohyblivá polódie odvaluje po polódii pevné.
Technická mechanika
8.přednáška
kinematická geometrie Obecný rovinný pohyb
Obecný rovinný pohyb lze chápat jako valení pohyblivé polódie po polódii pevné.
B
C
D
p(t)
pevná polódie
p(t+Dt)
E
pohyblivá polódie
bod B se pohybuje po přímce
p(t-Dt)
pevná polódie
B
valení
pohyblivá polódie
A
A
bod A se pohybuje po přímce
Obecný rovinný pohyb
kinematická geometrie
tečna polódií
p(t)
tp
Společná tečna pevné a pohyblivé polódie se nazývá tečna polódií tp.
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Technická mechanika
8.přednáška
valení bez prokluzu
Jednoduché je určení polódií u valení válce nebo koule:
Hybnou polódií je obvodová kružnice válce (popř.
hlavní kružnice koule).
Pevnou polódií je průsečnice plochy, po které se válec
(koule) valí, s rovinou pohybu.
pohyblivá polódie
f,w
v  w r
v
p
r
p pól pohybu
pevná polódie
základní rozklad
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Základní rozklad je umělá myšlenková konstrukce - představa obecného rovinného pohybu
jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů - posuvu
B
B
a rotace.
posuv
B
vposuv
rotace
vrotace
+
vB
A
vA
A
vA
superposice posuvného a rotačního pohybu
A
základní rozklad
Technická mechanika
8.přednáška
Obecný rovinný pohyb
Základní rozklad - představa obecného rovinného pohybu jako „složeniny“ ze dvou současných pohybů:
- posuvného (určený pohybem referenčního bodu)
- a rotačního (relativního) pohybu kolem tohoto (referenčního) bodu.
B
B
vB
posuv
vposuv =vA
vrotace=vBA
rotace
vB
A
vA
A
vA
A – referenční bod
superposice (skládání) posuvného a rotačního pohybu
Referenční bod určuje oba současné pohyby :
Posuv - posuv ve směru pohybu referenčního bodu.
Rotace - rotace okolo referenčního bodu.
Za referenční bod si zvolíme bod, pohybující se po
jednoduché trajektorii (přímka, kružnice, ...).



vB  vB _ posuv  vB _ rotace



v B  v A  v BA
Podobně i pro zrychlení



a B  a A  a BA
Technická mechanika
8. přednáška
Obecný rovinný pohyb
základní rozklad
rychlost pohybu
vA
posuv + rotace



v A  v BA  v B
B
vB
vektorový součet
f A
vBA  AB
Rychlost u rotačního pohybu je tečna k
trajektorii pohybu
vBA  AB
w
vB
f

Ze zákonitostí trojúhelníku:
vA
v BA
vA
vB 
tgf
vA

sin f
v BA
vA
w


  sin f
základní rozklad
zrychlení pohybu
B
Obecný rovinný pohyb
tečné zrychlení má směr rychlosti



a A  a BA  a B
 


a A  a BAn  a BAt  a B

a BAn
ω
f A
Jestliže
cosf
1

sin f tgf
Ve směru x:

aA
cosf 

aB 
 aBAn   sin f 
tgf
tgf 

f
aBAt  AB
a A  a BAn  cosf  a BAt  sin f  0
a BAn  sin f  a BAt  cosf  a B
Ve směru y:
aBAt 
f
aBA
2
v BA

 w2  

aA
aBAn  AB
aB
normálová a tečná složka
w, e
Technická mechanika
8.přednáška
a A  aBAn. cosf
a
a
 A  BAn
sin f
sin f tgf
aBAt
aBAn
aA


sin f tgf
a BAt
e

Obecný rovinný pohyb
základní rozklad
vA,aA
A – referenční bod
Technická mechanika
8.přednáška
vA  w  r
aA  e  r
 posuv
 + rotace

v B  v A  v BA

vA
B
A f
x
f
y
b

vBA  AB
r
w,e
C
y
bod C je okamžitým
bodem otáčení
v BA  w  b

v B  BC
valení bez prokluzu
vBx  vA  vBAx
vB  vBx  vBy
2
y  arctg
vBy
vBx
2
vBx  w  r  b  cosf 
vBy  vBAy
vBy  w  b  sin f
vA
w
r
 b

vBx  v A  1   cosf 
 r

b
vBy  v A   sin f
r
A – referenční bod
základní rozklad
vA,aA
Obecný rovinný pohyb
vA  w  r
aA  e  r
 posuv
 + rotace
aB  a A  a BA 
aB  aA  aBAt  aBAn

aA
x
B
A f
b
w,e
valení bez prokluzu
aB  aBx  aBy
2
g  arctg
aBy
aBx
2
f

aBAt
g
r
C
Technická mechanika
8.přednáška
y

aB
aBA
 AB
 f
aBAn
aBAt  e  b
aBAn  w 2  b
 AB
aBx  aA  aBAtx  aBAnx
aBy  aBAty  aBAny
aBx  e  r  b  cosf   w 2  b  sin f
aBy  e  b  sin f  w 2  b  cosf
e
aA
r
w
vA
r
A – referenční bod
základní rozklad
vA,aA
Obecný rovinný pohyb
vA  w  r
aA  e  r
B
A f
 posuv
 + rotace
a B  a A  a BA

 

aB  aA  aBAt  aBAn
b
r
w,e
C
g
y
valení bez prokluzu

aB
aB  aBx  aBy
2
g  arctg
Technická mechanika
8.přednáška
aBy
aBx
2
x
y
aBAt  e  b
  BC
aBt

aBn
aBAn  w 2  b
y
 BC
aBt je odkloněno od osy x o úhel ψ
jako rychlost vB (má stejný směr)
aBt  aB  cosg y 
aBn  aB  sing y 