Transcript ΛΥΣΗ
Κεφάλαιο 9 Γραμμική Ορμή A little knowledge is a dangerous thing, so is a lot. Albert Einstein Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Περιεχόμενα Κεφαλαίου 9 • Σχέση Ορμής και Δύναμης • Διατήρηση της ορμής • Κρούση και Ώθηση • Διατήρηση ενέργειας και ορμής στις κρούσεις • Ελαστικές κρούσεις σε μία διάσταση • Ανελαστικές Κρούσεις • Κρούσεις σε πολλές διαστάσεις • Το κέντρο μάζας • Μεταφορική Κίνηση και το Κέντρο Μάζας Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-1 Σχέση Ορμής και Δύναμης Η ορμή είναι διάνυσμα που ορίζεται από τη σχέση Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής μας δίνει τη δύναμη: Η απόδειξη της σχέσης βασίζεται στο 2ο Νόμο του Νεύτωνα. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Ένας καλός παίχτης του τένις μπορεί να σερβίρει τη μπάλα με ταχύτητα 55 m/s (200km/h). Εάν η μπάλα ζυγίζει 0.060 kg και παραμένει σε επαφή με την ρακέτα για 4 ms (4 x 10-3 s), βρείτε τη μέση δύναμη που ασκείται στη μπάλα. Είναι αρκετή η δύναμη αυτή να σηκώσει ένα άτομο 60-kg ; ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Η παροχή νερού είναι 1.5 kg/s και η ταχύτητα ροής 20 m/s. Πόση δύναμη ασκεί το νερό πάνω στο αυτοκίνητο; (αγνοούμε το «πιτσίλισμα») ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-2 Διατήρηση της Ορμής Οι μετρήσεις (πειράματα) δείχνουν ότι κατά τη διάρκεια μιας κρούσης η ορμή δεν μεταβάλλεται. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-2 Διατήρηση της Ορμής Εάν εφαρμόσουμε το νόμο του Νεύτωνα περί δράσης και αντίδρασης, βλέπουμε ότι εφόσον ο «χρόνος» της κρούσης είναι πολύ μικρός ώστε να MHN έχουμε τη δράση εξωτερικής δύναμης, για κάθε δύναμη υπάρχει η «αντίδρασή της» και επομένως η ορμή διατηρείται Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-2 Διατήρηση της Ορμής Για πολλά αντικείμενα (>2), Όπου Fi είναι η συνολική εξωτερική δύναμη στο αντικείμενο i Όπου Fext είναι η συνολική εξωτερική δύναμη στο σύστημα Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-2 Διατήρηση της Ορμής Αρχή διατήρησης της ορμής: Όταν η συνολική εξωτερική δύναμη που ασκείται σε ένα σύστημα είναι μηδέν, η συνολική ορμή παραμένει σταθερή. ή, Η συνολική ορμή ενός απομονωμένου συστήματος παραμένει σταθερή. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Ένα βαγόνι τραίνου 10,000-kg, A, κινείται με ταχύτητα 24.0 m/s και συγκρούεται με ένα πανομοιότυπο βαγόνι, B, που είναι ακίνητο. Εφόσον τα βαγόνια «κλειδώσουν» ποια είναι η ταχύτητά τους μετά την κρούση; ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Υπολογίστε την ανάκρουση ενός όπλου που ζυγίζει 5.0kg και εκτοξεύει τη σφαίρα μάζας 0.020kg με ταχύτητα 620 m/s. ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. (α) Η Μαρία φοράει πέδιλα πάγου και αρχικά είναι ακίνητη πάνω στον πάγο. Πιάνεται από ένα έλκηθρο που κινείται πάνω σε πάγο με μηδενική τριβή, και αρχίζει να κινείται μαζί του. Η ταχύτητα του έλκηθρου αυξάνεται, μειώνεται ή παραμένει σταθερή; Η ταχύτητα μειώνεται διότι η μάζα του έλκηθρου είναι τώρα μεγαλύτερη και προκειμένου να διατηρηθεί η ορμή πρέπει να μειωθεί η ταχύτητα mE mM 0 mE vE mM mE v v vE v vE mE mM 1 (β) Εάν η Μαρία μετά από λίγο αφήσει το έλκηθρο τι θα συμβεί; Η Μαρία πρέπει να διατηρήσει την ορμή της, όπως επίσης και το έλκηθρο, επομένως έχουμε: mM mE v mM vM mE vE v vM Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. vE 9-3 Κρούσεις και Ώθηση Κατά τις κρούσεις τα αντικείμενα παραμορφώνονται λόγω των μεγάλων δυνάμεων που αναπτύσσονται Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-3 Κρούσεις και Ώθηση Ορίζουμε την Ώθηση, J: Στην ουσία βλέπουμε ότι η ώθηση είναι η μεταβολή της ορμής: Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-3 Κρούσεις και Ώθηση Ο χρόνος της κρούσης είναι γενικά μικρός, και επομένως μπορούμε κατά προσέγγιση να χρησιμοποιήσιμε τη μέση δύναμη δηλ. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-4 Διατήρηση ενέργειας και Ορμής κατά τις κρούσεις ***Η ορμή διατηρείται για όλες τις μορφές κρούσεων*** Κρούσεις κατά τις οποίες διατηρείται η Κινητική Ενέργεια (Κ.Ε.) ονομάζονται Ελαστικές. Όταν η Κ.Ε. αλλάζει έχουμε ανελαστικές κρούσεις. Στην περίπτωση που έχουμε νέες μάζες (άλλα αντικείμενα μετά την κρούση) τότε έχουμε κρούσεις που οδηγούν σε χημικές αντιδράσεις. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Για ελαστική κρούση δύο γνωστών μαζών m1 και m2, με γνωστές ταχύτητες vΑ και vB, μπορούμε να υπολογίσουμε τις τελικές ταχύτητες vΑ’ και vB’, από τις δύο σχέσεις της διατήρησης της ενέργειας και της ορμής Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Η μπάλα A με μάζα m κινείται με ταχύτητα vA και συγκρούεται «κατακέφαλα» με τη B ίσης μάζας. Εάν υποθέσουμε ότι έχουμε ελαστική κρούση βρείτε τις τελικές ταχύτητες όταν (α) και οι δύο μπάλες αρχικά κινούνται με ταχύτητες (vA και vB), (β) όταν vB = 0 ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Ένα πρωτόνιο (p) μάζας 1.01 u (unified atomic mass units) κινείται με ταχύτητα 3.60 x 104 m/s και συγκρούεται (κατακέφαλα) με ένα πυρήνα Ηλίου (He) (mHe = 4.00 u) αρχικά ακίνητο. Ποιες είναι οι τελικές ταχύτητες των σωματιδίων; Υποθέτουμε ότι οι κρούσεις γίνονται στο κενό. ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-6 Ανελαστικές Κρούσεις Με ανελαστικές κρούσεις τμήμα της αρχικής ενέργειας των «αντιδρώντων» χάνεται σε άλλες μορφές ενέργειας όπως δυναμική ή κινητική ενέργεια. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν τα συγκρουόμενα σωματίδια δεν είναι ασυμπίεστες σφαίρες (π.χ. μόρια αντί για άτομα) αλλά έχουν εσωτερικούς βαθμούς ελευθερίας. Μια εντελώς ανελαστική κρούση έχουμε όταν τα δύο συγκρουόμενα σωματίδια μετά τη σύγκρουση κολλήσουν και γίνουν ένα. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Το βαλλιστικό εκκρεμές είναι ένα όργανο με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε την ταχύτητα μιας σφαίρας. Η σφαίρα μάζας m, καρφώνεται σε ένα όγκο μάζας M, που αποτελεί ένα εκκρεμές. Σαν αποτέλεσμα το σύστημα όγκος και σφαίρα, μετατοπίζονται σε ύψος, h, από το οποίο προσδιορίζουμε την ταχύτητα της σφαίρας ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-7 Κρούσεις σε 2 και 3 διαστάσεις Η διατήρηση της ενέργειας και της ορμής μπορεί να αξιοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων κρούσεων σε 2 ή 3 διαστάσεις. Τις περισσότερες φορές όμως η πολυπλοκότητα του προβλήματος το καθιστά πολύ δύσκολο για να επιλυθεί επακριβώς. Στην εικόνα π.χ. γνώση των μαζών και των μέτρων των ταχυτήτων δεν επαρκή. Πρέπει να γνωρίζουμε τις γωνίες… Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Η μπάλα A που κινείται με ταχύτητα vA = 3.0 m/s στη διεύθυνση +x χτυπά την πανομοιότυπη μπάλα B (ακίνητη αρχικώς). Μετά την κρούση οι μπάλες ακολουθούν τις πορείες του σχήματος. Βρείτε την τελική ταχύτητα της κάθε μπάλας μετά την κρούση. ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Πως λύνουμε προβλήματα κρούσης: 1. Διαλέγουμε το σύστημα. Εάν είναι πολύπλοκο θεωρούμε υποσύνολα του συστήματος και εφαρμόζουμε σε αυτά τους νόμους διατήρηση ενέργειας και ορμής. 2. Υπάρχει εξωτερική δύναμη; Εάν ο χρόνος αλληλεπίδρασης είναι μικρός τότε μπορούμε να την αγνοήσουμε. 3. Σχεδιάζουμε διαγράμματα αρχικών και τελικών ταχυτήτων. 4. Διαλέγουμε σύστημα συντεταγμένων. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 5. Εφαρμόζουμε το νόμο διατήρηση της ορμής σε κάθε διάσταση. 6. Για ελαστικές κρούσεις έχουμε ΚΑΙ διατήρηση της κινητικής ενέργειας. 7. Λύνουμε. 8. Μονάδες και τάξη μεγέθους. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-8 Κέντρο Μάζας (Κ.Μ.) Στη εικόνα (α), κίνηση του δύτη είναι αποκλειστικά μεταφορική. Στην εικόνα (β) έχουμε μεταφορική αλλά και περιστροφική κίνηση. Υπάρχει όμως ένα σημείο που και στις δύο περιπτώσεις ακολουθεί την ίδια τροχιά. Το σημείο αυτό ονομάζεται ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ (ΚΜ). Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-8 Center of Mass (CM) Η γενική κίνηση ενός αντικειμένου μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα της μεταφορικής κίνησης του ΚΜ συν περιστροφική και δονητική πέριξ του ΚΜ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Για δύο σωματίδια το ΚΜ είναι πλησιέστερα στο αντικείμενο με τη μεγαλύτερη μάζα: όπου M είναι η συνολική μάζα. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Τρία άτομα με περίπου την ίδια μάζα m κάθονται πάνω σε φουσκωτό σκάφος αναψυχής στις θέσεις xA = 1.0 m, xB = 5.0 m, και xC = 6.0 m, κατά μήκος του άξονα x. Βρείτε την θέση του ΚΜ ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Βρείτε το ΚΜ του συστήματος ΛΥΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Για ογκώδη συμπαγή αντικείμενα, μπορούμε να φανταστούμε ότι αποτελούνται από μικρά αντικείμενα (άτομα!) και το άθροισμα του γινομένου (θέση x μάζα) κάθε αντικειμένου δια τη συνολική μάζα θα μας έδινε το ΚΜ. Η στο όριο όπου τα αντικείμενα γίνονται απειροελάχιστα έχουμε : Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Το Κέντρο Βάρους (center of gravity) είναι το σημείο εκείνο στο οποίο μπορούμε να υποθέσουμε ότι δρα η βαρυτική δύναμη. Ταυτίζεται με το ΚΜ εφόσον η βαρυτική δύναμη δεν μεταβάλλεται στις διαστάσεις του αντικειμένου Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-8 Center of Mass (CM) Το κέντρο βάρους μπορεί να προσδιοριστεί πειραματικά μέσω αιώρησης του αντικειμένου από διάφορα σημεία. Το ΚΜ δεν βρίσκεται κατ’ ανάγκη μέσα στο αντικείμενο, π.χ. ένας λουκουμάς τύπου doughnut’s έχει το ΚΜ στο κέντρο της κεντρικής του τρύπας. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 9-9 ΚΜ και μεταφορική Κίνηση Η συνολική ορμή ενός συστήματος σωματιδίων (π.χ. ενός μορίου) ισούται με το γινόμενο της συνολικής μάζας με την ταχύτητα του ΚΜ. Το άθροισμα όλων των δυνάμεων που δρουν πάνω στο σύστημα ισούται με το γινόμενο της συνολικής μάζας επί την επιτάχυνση του ΚΜ.: Βλέπουμε δηλ. ότι το ΚΜ ενός συστήματος σωματιδίων συμπεριφέρεται σαν αντικείμενο με μάζα M πάνω στο οποίο δρα η συνολική δύναμη. Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Ένας πύραυλος εκτοξεύεται στο αέρα. Στο μέγιστο ύψος και σε οριζόντια απόσταση d από το σημείο εκτόξευσης μια έκρηξη μοιράζει τον πύραυλο σε δύο και ίσα μέρη, έτσι ώστε το κομμάτι Ι, πέφτει κατακόρυφα στην γη. Που θα πέσει το κομμάτι ΙΙ; Υποθέστε ότι g = σταθερό. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Διάσπαση Μορίων (Χημική Δυναμική) Διατομικά Μόρια Όταν σπάει ένα διατομικό μόριο, η διαθέσιμη ενέργεια Εα μοιράζεται μεταξύ των ατομικών θραυσμάτων με βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας και της ορμής: AB A B m A v A mB v B 0 2 1 1 E a m A v A mB v B 2 2 Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 2 vA vB 2 1 1 mA E a m A v A mB vA 2 2 mB 2 vA M 2 mA 1 m A mB m A v A 1 KE A 2 mB mB KE A mB KE A Ea M mA KE B Ea M Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. vB Δύο ακραίες περιπτώσεις m A mB mA KE A Ea M Ea KE A KE B 2 mA mB mA mA KE A Ea Ea Ea mA mB mA KEB 0 Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. vA vB Η ενέργεια του δεσμού του Ι2 είναι D0=1,54eV (1eV=1,6x10-19J). Πόση είναι η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα των ατόμων του ιωδίου εάν το μόριο του ιωδίου διεγερθεί με ακτινοβολία ενέργειας E=4,00 eV. (mI=127 amu ή u). http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_mass_unit Ea E D0 m A mB KE I 2 2 4,00 1,54 KE I eV 1,23eV 2 KE I 1,23eV 1,97 1019 J 27 mI 127 127 1,66 10 vI 2 KE I mI Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. kg 2,11 10 2 1,97 1019 J 2,11 10 25 kg 1,37 103 m / s 25 kg Η ενέργεια του δεσμού του HI είναι D0=3,05eV (1eV=1,6x10-19J). Πόση είναι η κινητική ενέργεια και η ταχύτητα των ατόμων του υδρογόνου και του ιωδίου εάν το μόριο του υδροϊωδίου διεγερθεί με ακτινοβολία ενέργειας E=6,00 eV. (mI=127 amu, mH=1 amu ) (http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_mass_unit ) mI 127 E Do 6,00 3,051,6 1019 J KE H mH mI 128 4,68 1019 J mH 1 E Do 6,00 3,051,6 1019 J KE I mH mI 128 3,69 10 21 J 0,04 1019 J Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 2 KE I 2 3,691021 J vI mI 2,1110 25 kg 1,8 102 m / s 2 KEI 2 4,681019 J vH mI 1,661027 kg 2,37 10 m / s 4 Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. Διάσπαση Μορίων (Χημική Δυναμική) Εσωτερική ενέργεια θραυσμάτων-Πολυατομικά Σε ορισμένες περιπτώσεις ακόμα και για άτομα, τα «θραύσματα» μπορεί να έχουν πέραν της μεταφορικής (κινητική) ενέργειας και εσωτερική ενέργεια (ηλεκτρονική, δονητική και περιστροφική). Στην περίπτωση που έχουμε δύο θραύσματα (δύο προϊόντα) οι σχέσεις που δείξαμε επίσης ισχύουν, με τη μόνη διαφορά ότι στον υπολογισμό της διαθέσιμης ενέργειας (Εα) αφαιρούμε την εσωτερική ενεργεία (ΕΕ). Ea KEA KEB EEA EEB Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. vA vB Η ενέργεια του δεσμού του H3C-Br είναι D0=2,97eV (1eV=1,6x10-19J). Διεγείρεται με ακτινοβολία ενέργειας Ε=5,45 eV και σπάει σε μεθύλιο και βρώμιο. Εάν η εσωτερική ενέργεια τις ρίζας του μεθυλίου που παράγεται είναι 0,75 eV, βρείτε τις ταχύτητες των θραυσμάτων. (mBr=80 amu, mH=1 amu, mC=12 amu ) (1 amu = 1u) CH3 Br CH3 Br KE Br mCH 3 E Do 0,75eV mCH 3 mBr 15 5,45 2,97 0,751,6 1019 J 15 80 0,441019 J KECH 3 mBr E Do 0,75eV mCH 3 mBr 80 5,45 2,97 0,751,6 1019 J 95 2,331019 J Copyright © 2009 Pearson Education, Inc. 2 KE Br 2 0,441019 J vBr mBr 801,6610 27 kg 8,14102 m / s vCH 3 2 KECH 3 2 2,331019 J mCH 3 151,6610 27 kg 4,33103 m / s