Transcript Workshop Problemlösen - ruesing

Problemlösen im Mathematikunterricht
Michael Rüsing
B. M. V. – Schule
Bardelebenstraße 9
45147 Essen
[email protected]
Voraussetzungen
• Problemlösen kann man nur durch Problemlösen lernen
• Problemlösen muss ein durchgehendes Prinzip im
Mathematikunterricht sein
• Problemlösestrategien können in allen Gebieten der Mathematik
erfahren und eingeübt werden
• Schulbuchaufgaben müssen Anlässe zum Problemlösen bieten
Klasse 6:
- wenden die heuristischen Strategien „Beispiele finden“, „Überprüfen
durch Probieren“, „Unterscheiden und Abarbeiten verschiedener Fälle“ an
- übersetzen Situationen aus Sachaufgaben in mathematische Modelle (Rechenoperationen, Terme,
Gleichungen, geometrische Darstellungen, Diagramme)
Klasse 8:
- überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen
- wenden die heuristischen Strategien „Spezialfälle finden“ und
„Verallgemeinern“ an und variieren damit die Problemstellung
- nutzen verschiedene Darstellungsformen (Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung
Klasse 10:
- zerlegen komplexe Probleme in Teilprobleme
- nutzen verschiedene heuristische Strategien („Zerlegen“, „Analogie
bilden“, „Zurückführen auf Bekanntes“, „Vorwärts- und
Rückwärtsarbeiten“) und bewerten ihre Praktikabilität
Problemlösen im Mathematikunterricht
(Problemlösen im weiteren Sinne)
1. Problem finden
Schülerinnen und Schüler entdecken Probleme und
Fragestellungen in inner- wie außermathematischen Kontexten.
Hierbei erfassen sie die Problemsituation genauer und bewerten,
ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint.
2. Problem lösen (Problemlösen im engeren Sinne)
Schülerinnen und Schüler setzen ihre erworbenen Kompetenzen
in neuer Weise oder in neuer Kombination ein, um ein selbst
gesetztes oder vorgegebenes Ziel zu erreichen. Hierbei werden
vorhandene Kompetenzen oder bekannte Begriffe zugleich
gefestigt und flexibilisiert.
Problemlösen im Mathematikunterricht
(Problemlösen im weiteren Sinne)
3. Problem weiterentwickeln
Die Suche nach einer Problemlösung führt auf neue oder
allgemeinere Ideen oder auf weiterführende Probleme. Hierbei
entstehen neue mathematische Begriffe und Verfahren.
aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003
Warum Problemlösen?
• Durch Problemlösen wird Mathematik selbstständig entwickelt
• Probleme schaffen Anknüpfungspunkte für das Behalten und
Erinnern
• Problemlösen ist Schlüsselkompetenz
• Problemlösen vermittelt Erfolgserlebnisse (Aha-Erlebnisse)
aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003
Kriterien für gute Probleme
1. Ein Problem führt auf allgemeinere mathematische Ideen
und macht übergreifende Zusammenhänge verständlich.
Dabei macht es gegebenenfalls neue Begriffsbildungen nötig
und zugleich einsichtig.
2. Ein Problem gibt Anlass zu divergentem Arbeiten und
individuellen Erkundungen. Dabei sollte es vor allem
unterschiedliche Ansätze –auch auf unterschiedlichem
Niveau- erlauben.
Kriterien für gute Probleme
3. Ein Problem bietet einen (inner- oder außermathematischen)
Kontext für ein mathematisches Konzept. Dabei sollte es vor
allem leicht zugänglich sein, die Problemsituation muss den
Lernenden unmittelbar verständlich sein.
4. Ein Problem besteht aus einer Situation, in der Schülerinnen
und Schüler erst die Strategie selbst entwickeln müssen.
Dabei können sie aus vorhandenen Kenntnissen schöpfen
und diese neu kombinieren.
aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003
Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht?
•
•
•
• Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend
auch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche
Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im
Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden.
Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien
bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern
keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit
Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf.
•
•
•
aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003
Wie gestaltet man einen problemlösenden Unterricht?
•
•
•
• Schließlich müssen Schülerinnen und Schüler fortschreitend
auch effektive Problemlösestrategien und hilfreiche
Arbeitstechniken entwickeln. Diese können sukzessive im
Unterricht angereichert und bewusst gemacht werden.
Insbesondere muss man sie ermutigen, solche Strategien
bewusst zu benutzen. Beispielsweise ist vielen Schülern
keineswegs klar, dass man in der Mathematik auch mit
Versuch und Irrtum und Spezialfällen arbeiten darf.
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•
•
aus Leuders, T., Mathematik Didaktik, 2003
Abgrenzung Problemlösen - Modellieren
(so wie es die Kernlehrpläne in NRW verstehen)
Modellieren: Arbeiten in außermathematischen Kontexten
Problemlösen: Arbeiten in innermathematischen
Situationen, nachdem das Modell aufgestellt worden ist
Heuristische Strategien sind
• niemals Selbstzweck
• immer ein Angebot
• keine Garantie auf Erfolg
• nicht eindeutig der Aufgabe zuzuordnen
• nur durch eigenes Handeln erlernbar
Aufgabenbeispiel
Ria, Sarah und Tom spielen ein Spiel. Zu Anfang wählen sie drei
ganze Zahlen a, b und c mit a > b > c > 0. Dann spielen sie mehrere
Runden des Spiels; in jeder Runde gilt: Einer der drei wird Erster
und bekommt a Punkte, ein anderer wird Zweiter und bekommt b
Punkte, der dritte wird Letzter und bekommt c Punkte. Außerdem
wird noch als bekannt vorausgesetzt:
In der zweiten Runde hatte Sarah a Punkte bekommen.
Der Endstand lautete: Ria 20 Punkte, Sarah 10 Punkte, Tom 9
Punkte.
a) Weise nach, dass genau drei Runden gespielt wurden.
b) Wer gewann die erste Runde?
c) Wie viele Punkte erzielte Tom in der letzten Runde?
Lösungshinweise
Gesamtzahl der erreichten Punkte: 20 + 10 + 9 = 39
Zerlegung in ein Produkt (4 Möglichkeiten):
39 = 1 · 39
mehrere Runden
39 = 3 · 13
3 Runden zu je 13 Punkten
39 = 13 · 3
39 = 39 · 1
mindestens 6 Punkte pro Runde
Lösungshinweise
Zerlegung von 13 in drei Summanden
Mit einschränkenden Bedingungen:
• alle Summanden unterschiedlich
a>b>c
• alle Summanden größer 1
a>b>c>0
• größter Summand 8
Sarah hat einmal
gewonnen und
insgesamt 10 Punkte
Lösungshinweise
Systematische Darstellung in einer Tabelle
a
8
b
4
c
1
Lösungshinweise
Systematische Darstellung in einer Tabelle
a
8
8
b
4
3
c
1
2
Lösungshinweise
Systematische Darstellung in einer Tabelle
a
8
8
7
7
6
6
b
4
3
5
4
5
4
c
1
2
1
2
2
3
Lösungshinweise
Systematische Darstellung in einer Tabelle
a
8
8
7
7
6
6
b
4
3
5
4
5
4
c
1
2
1
2
2
3
Probe!
20 Punkte Ria
Lösungshinweise
Probe
Die einzige mögliche Lösung ist a = 8; b = 4; c = 1
Ria:
20 Punkte
Sarah: 10 Punkte
Tom:
9 Punkte
20 = 8 + 8 + 4
10 = a + d = 8 + 1 + 1
9=4+4+1
8 Punkte von Sarah in der zweiten Runde;
somit hat Tom 4 Punkte in der dritten Runde
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Systematisches Probieren
Erfassen aller möglichen Fälle
und
Ausschließen der unmöglichen Fälle
Ohne Systematik verliert man leicht den Überblick.
Wurden wirklich alle Fälle betrachtet?
Anke, Bastian und Clemens haben an einem Wettbewerb
teilgenommen. Dabei hat Anke mehr Punkte erzielt als die
beiden anderen Kinder, und Clemens hat weniger Punkte erzielt
als die beiden andern. Wenn man die Punktzahlen der drei
Kinder miteinander multipliziert, ergibt sich das Produkt 120.
a) Wie viele Punkte können die Kinder erreicht haben? Gib
alle Möglichkeiten an.
b) Es hat sich herausgestellt, dass der Punktabstand zwischen
Anke und Bastian genau so groß ist wie der zwischen
Bastian und Clemens. Gib alle Möglichkeiten der
Punktverteilung an, für die dies zutrifft.
Mathematikolympiade Aufgabe 400521
C
B
A
Abstand A-B
Abstand B-C
1
2
60
58
1
1
3
40
37
2
1
4
30
26
3
1
5
24
19
4
1
6
20
14
5
1
8
15
7
7
1
10
12
9
2
2
3
20
1
12
2
4
15
2
11
2
5
12
3
7
2
6
10
4
4
3
4
10
1
6
3
5
8
2
3
4
5
6
1
1
Strategie: Suche das Nachbarfeld mit der größeren Zahl
Darstellung des Weges: • Polygonzug
• Codierung u-r-r-r-u-r-u
Problem der Eindeutigkeit der Lösung
Aufgabe 1
Peter erzählt seinen Freunden Paul, Kathrin und Maria von seinem
letzten Sommerurlaub in Afrika: „Auf einem Safariausflug sah ich
zuerst genau so viele Geier noch auf einem Baum sitzen wie
schon von einem toten Tier fraßen. Nach einigen Minuten flogen
5 Geier von dem Baum zum Aas. Jetzt waren drei Mal so viele
Vögel beim Aas wie oben noch auf dem Baum.“
a) Paul sagt: „Dann hast du 6 Geier am
Anfang auf dem Baum gesehen.“
„Nein“, sagt Maria. „Es waren 9 Geier“.
Wer hat Recht?
b) Kathrin schlägt vor, verschiedene
Möglichkeiten auszuprobieren.
Schreibe einige Möglichkeiten
übersichtlich auf!
Arbeitsanweisung für die Schülerinnen und Schüler
Arbeitsform: Gruppenarbeit
Gruppenmitglieder:
Zeit:
Zeitnehmer:
Lautstärkenwächter:
Sprecher: alle Gruppenmitglieder müssen die Lösung erklären!
I. Phase der Gruppenarbeit: Bearbeitet die Aufgabe 1
Dauer 10 – 12 Minuten
II. Phase der Gruppenarbeit
Die „alte“ Gruppe wird aufgelöst und eine neue Gruppe
gebildet.
In der neuen Gruppe sind alle Gruppenmitglieder neu!
Arbeitsform: Gruppenarbeit
Gruppenmitglieder:
Zeit:
Zeitnehmer:
Lautstärkenwächter:
Sprecher:
Schreiber:
Arbeitsauftrag für die neu gebildeten Gruppen:
1. Erklärt euch gegenseitig, wie ihr vorhin in der ersten
Gruppenzusammensetzung (Phase I) vorgegangen seid und
zu welcher Lösung ihr gekommen seid!
2. Diskutiert, welches Verfahren zum Finden der Lösung am
geeignetesten ist!
3. Beschreibt, wie man am besten aus eurer Sicht vorgehen
sollte, um die Wahrheit herauszufinden! Notiert euer
Verfahren auf Folie oder Plakat!
Dauer 20 Minuten einschließlich
Dokumentation auf Plakaten
III. Phase der Gruppenarbeit:
Vorstellen der Gruppenergebnisse aus Phase II
Aufgabe 2
Peter erzählt weiter: „ Es dauerte nicht lange, da
kamen zu dem Aas zusätzlich noch Hyänen.
Einige Geier flüchteten, doch es blieben auch
noch welche. Insgesamt sah ich beim Aas dann
20 Tiere. Zusammen hatten sie 56 Beine.“
Wie viele Tiere von jeder Art stritten sich nun um
das Aas?
Lösung zu Aufgabe 2
Geier
Hyänen
Beine
2
18
76
3
17
74
4
16
72
...
...
...
10
10
60
11
9
58
12
8
56
Aufgabe 3
Peters Bericht geht noch weiter. „Plötzlich bebte die Erde! Ich
drehte mich erschrocken um und sah einen riesigen Elefanten!
Der Wildhüter beruhigte mich und
dass dieser Elefant ein guter alter
erklärte mir,
Bekannter sei.
Das Alter des Elefanten verriet er
eines Rätsels:
mir in Form
Wenn du von dem Alter des Elefanten 20 subtrahierst und das
Ergebnis verdreifachst, so bekommst du eine Zahl zwischen 130
und 140, die durch 4 teilbar ist.“
Wie alt war der Elefant, den Peter gesehen hatte?
Lösung zu Aufgabe 3
Zahl
teilbar
durch 4
teilbar
durch 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
X
X
X
X
X
X
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L;
F>L
(3) F > N;
F an Position 1;
N an Position 2
F > N > K; die Reihenfolge von A, L und J ist unbestimmt
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
(2) K > L;
F>L
(3) F > N;
F an Position 1;
N an Position 2
Weitere Fragestellungen:
Welche Aussage war überflüssig?
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übertragung in eine andere Darstellung
(1) K > A; K > J
F<L
(2) K > L;
F>L
(3) F > N;
F an Position 1;
N an Position 2
Weitere Fragestellungen:
Ersetze (2) durch „Florian ist jünger als Leila.“
5. Stunde
Arbeit am Vormittag
Lehrling in einer Stunde
Maler in einer Stunde
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
n3 = 3² + 2 · 3
n3 = 3² + 2 · 3
n100 = 100² + 2 ·100
n3 = 4² - 1
n100 = 101² - 1
Ergänzung: Bestimme Umfang und Flächeninhalt der
Figur im 100. Schritt
Flächeninhalt:
1
2
+1
3
+1
4
+1
Rechteckmuster mit Anfangswert 1 und Additionszahl 1
Umfang:
4
6
+2
8
+2
10
+2
Rechteckmuster mit Anfangswert 4 und Additionszahl 2
Verschiedene Zählweisen für die 4. Figur
100. Figur
2·5
2 · 101
2·4+2
2 · 100 + 2
5·2
101 · 2
Einführung in die Algebra mit Würfelbauten
1 Würfelturm
Ein Würfel liegt vor dir auf dem Tisch.
Man kann ihn von allen Seiten betrachten.
5 Quadrate sind sichtbar,
1 Quadrat ist verdeckt.
Bei einem zweistöckigen Turm sind am Boden
und im Innern drei Quadrate verdeckt.
9 Quadrate sind sichtbar,
3 Quadrate sind verdeckt.
Wie viele Quadrate sind sichtbar, und wie viele sind verdeckt
•bei einem dreistöckigen Turm
•bei einem vierstöckigen Turm
•…
Erkennst du Gesetzmäßigkeiten ?
Paul erhält für die sichtbaren Quadrate den Term: 6 x – 2 x + 1. Wie hat er
gedacht ?
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Argumentationsschritt
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Zeitpunkt
Ort von Achill
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
0
0
0
10
10
1
1
10
15
5
2
1,5
15
17,5
2,5
3
1,75
17,5
18,75
1,25
4
1,875
18,75
19,375
0,625
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Argumentationsschritt
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Zeitpunkt
Ort von Achill
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
0
0
0
10
10
1
1
10
15
5
2
1,5
15
17,5
2,5
3
1,75
17,5
18,75
1,25
4
1,875
18,75
19,375
0,625
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Argumentationsschritt
Zeitpunkt
Ort von Achill
0
0
0
10
10
1
1
10 = 10 · 1
15
5
2
1,5
17,5
2,5
3
1,75 17,5 = 10 · 1,75
18,75
1,25
4
1,875 18,75 = 10 · 1,875
19,375
0,625
15 = 10 · 1,5
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
Paradoxon des Zenon (Klasse 11)
Vereinfachungen:
Geschwindigkeit Achill 10 m/s
Geschwindigkeit Schildkröte 5 m/s
Vorsprung 10 m
Argumentationsschritt
Zeitpunkt
Ort von Achill
0
0
0
1
1
10 = 10 · 1
2
1,5
3
1,75
1,75 17,5 = 10 · 7/4
18,75
1,25
4
10··1,875
15/8
1,875 18,75 ==10
19,375
0,625
1,5
15 = 10 · 3/2
Ort der
Schildkröte
Vorsprung
10
10
2 51
10  n2,5
17,5
1
2
15
n
Zusammenstellung einiger Problemlösestrategien
Systematisches Probieren
Vorwärtsarbeiten / Rückwärtsarbeiten
Transformation in eine andere Darstellungsart
-
Gleichung, Term, Graph, Skizze,Tabelle
Mustererkennung
Reduktion des Schwierigkeitsgrades
-
Komplexität, einfachere Werte, Umkehraufgabe
Zerlegung in Teilprobleme
Analogiebildung
Strategie „Rückwärtsarbeiten“
Was brauche ich, um die gesuchte Größe zu
bestimmen?
Welches Teilziel muss ich zunächst erreicht haben?
Anwendbar, wenn der Überblick über den
einzuschlagenden Weg fehlt
Strategie „Rückwärtsarbeiten“
„Working Backwards is one of the
oldest problem-solving strategies,
used since antiquity. The ancient
Greeks used the method in
construction problems. They
assumed that an object is already
constructed, and they worked
backwards to the data, which were
actually given.“
Arthur Engel, Problem-Solving Strategies
Raumdiagonale in einem Quader
Was brauche ich, um die Länge der
Raumdiagonalen zu bestimmen?
Wenn die Länge der Flächendiagonalen
bekannt wäre, könnte die gesuchte
Größe bestimmt werden.
Vorwärtsarbeiten kann in
Sackgassen führen
3x  y  5 z  1
4x  y  4z  2
2x  7 y  z  1
Rückwärtsarbeiten fragt:
Welches Zwischenziel soll
erreicht werden?
addiere
Zwischenziel:
3x  y  5 z  1
7x
z 3
2x  7 y  z  1
3x  y  5 z  1
7x
z 3
9x  7 y
4
2 Gleichungen mit 2 Variablen
addiere
Eliminiere y aus (1) und (3)
leider unbrauchbar
E 6.4 Eine Klassenfahrt wird geplant
Die Klasse 6c will eine Wanderfahrt machen. Es soll ins 165
km entfernte Waldbach gehen. Dort wollen die 32
Schülerinnen und Schüler mit zwei Begleitern 5 Tage lang in
der Jugendherberge bleiben. An einem Tag ist die
Besichtigung der nahe gelegenen Burg ‚Schreckenstein’ mit
einer Führung geplant.
Nun unterhalten sich die Schülerinnen und Schüler darüber,
wie viel jeder einzelne bezahlen muss.
Busse Reisen, 57823 Neustadt
Angebot
Auf Ihre Anfrage vom 13.5. machen wir folgendes
Angebot:
Bus mit 38 Plätzen Waldbach (165 km) hin und zurück
zum Gesamtpreis von 800 €.
Wir würden uns freuen, Ihre Klasse zu fahren.
Jugendherberge Waldbach
Wir danken für Ihre Anfrage und teilen Ihnen hiermit unsere
Preise mit:
Tagessatz einschließlich Verpflegung 26,00 € pro Person.
Bei Gruppen von mehr als 25 Personen gewähren wir zwei
Freiplätze.
Wir freuen uns auf Ihren Aufenthalt in unserer Herberge
Burg Schreckenstein – die Attraktion von Waldbach
Öffnungszeiten täglich von 10.00 Uhr bis 18.00 Uhr
Eintritt: Kinder bis 14 Jahre
Jugendliche / Erwachsene
Gruppen ab 10 Personen
1,50 €
2,50 €
1,20 € pro Person
Für Gruppen bieten wir qualifizierte Führungen zum historischen
Hintergrund an. Preis für die gesamte Gruppe 40,00 €
a) Ergänze die unvollständigen Sprechblasen und setze das
Gespräch fort.
b) Die 1. Sprechblase kann in die Sprache der Mathematik
übersetzt werden:
Einzelkosten = Gesamtkosten : Schülerzahl
c) Übersetze die weiteren Sprechblasen und auch deine
Fortsetzung des Gespräches in die Sprache der
Mathematik.
d) Vergleiche die Reihenfolge, in der du schließlich rechnen
kannst mit der Reihenfolge des Sprechblasen.
e) Die gesamte Abfolge kann in einem Lösungsplan
übersichtlich zusammengestellt werden. Der Anfang ist
hier schon vorgemacht.
Einzelkosten
Gesamtkosten
=
Gesamtkosten
=
=
: Schülerzahl
Fahrkosten +
+
=
f) Welche Informationen aus den Angeboten werden zum
Lösen der Aufgabe nicht benötigt?
E 6.14 Rückwärtsarbeiten
Aufgabe 1:
Einst wollte ein Kaufmann in einer fremden Stadt seine Waren verkaufen.
Dazu brauchte er die Genehmigung des Bürgermeisters.
Um dorthin zu gelangen, musste er durch 5 Vorzimmer gehen. In jedem
Vorzimmer erhielt er die Genehmigung, in das nächste Zimmer zu gehen.
Für jede Genehmigung musste er die Hälfte seiner Ware als Gebühr und
noch 2 Stück dazu als Bestechungsgeld abgeben.
Als er schließlich beim Bürgermeister angelangt war, verlangte dieser ein
Stück der Ware für die Verkaufserlaubnis. Als der Kaufmann auch dieses
Stück abgegeben hatte, musste er feststellen, dass er keine Ware mehr
hatte, und er musste wieder abreisen.
Wie viele Stücke seiner Ware hatte er eigentlich in die Stadt
mitgebracht?
Tipp:
Versuche zuerst ohne Hilfe die Aufgabe zu lösen.
Wenn du nach einiger Zeit noch keine Idee hast, dann kannst du
dir beim Lehrer Tippkarten holen!
Tippkarte 1.1
Veranschauliche zum Beispiel durch eine Skizze
den in der Aufgabe beschriebenen Weg des
Kaufmanns zum Bürgermeister!
Tippkarte 1.2
Spiele mit Hilfe der vorliegenden Warenkarten die
Situation nach!
Tippkarte 1.3
Am Ende beim Bürgermeister hatte der Kaufmann noch
ein Stück seiner Ware.
Überlege, wie viel er davon hatte, als er in das 5. Vorzimmer, in das 4. Vorzimmer, in das 3. Vorzimmer usw. ging!
6
·2
+2
Aufgabe 2:
Drei Freunde haben Erdbeeren gepflückt. Nun sind sie müde und wollen
die Beeren deshalb erst am nächsten Morgen gleichmäßig verteilen.
In der Nacht wacht einer der Freunde auf. Er hat einen riesigen Hunger
und isst seinen Anteil der Erdbeeren auf. Dann schläft er satt wieder ein.
Kurz danach wacht der zweite Freund auf. Auch er hat Hunger. Weil er
aber nicht weiß, dass bereits ein Anteil der Erdbeeren aufgegessen
worden ist, isst er von den Erdbeeren, die noch da sind, ein Drittel.
Das gleiche geschieht auch mit dem dritten Freund.
Als alle am Morgen aufwachen und die Erdbeeren
verteilen wollen, sind noch 24 Erdbeeren da.
Wie viele Erdbeeren hatten die Freunde eigentlich vorher gesammelt?
Tippkarte 2.1
Denke an das Rückwärtsarbeiten!
Tippkarte 2.2
Überlege:
Wie viele Erdbeeren waren noch vorhanden, als der 3.
Freund anfing zu naschen?
Aufgabe 3:
Das Spiel „Hundert gewinnt“ könnt ihr zu zweit spielen. Gespielt
wird abwechselnd. Jeder Spieler, der an der Reihe ist, wählt eine
Zahl zwischen 1 und 8 und nennt diese Zahl. Die Zahl wird dann
zur Summe der bisher genannten Zahlen addiert. Es gewinnt
derjenige, der die Summe 100 erreicht.
Beispiel: In diesem Spiel spielen Eva und Udo gegeneinander:
Udo beginnt und nennt die Zahl 4.
Eva nennt die Zahl 3. Die Summe ist 7.
Nun nennt Udo die Zahl 8. Die neue Summe ist 15.
Und so geht es weiter, bis einer auf die Summe 100
kommt.
a) Spiele das Spiel mit deinem Nachbarn oder deiner Nachbarin.
Achtet darauf, dass ihr die Zahlen, die genannt werden, und alle
Summen genau aufschreibt.
b) Manchmal kann man bereits vor dem Ende des Spiels erkennen,
dass einer der Spieler gewinnen wird. Überlege, welche Summe
man in seinem vorletztem Zug erreichen sollte, damit der
Gegenspieler nicht mehr gewinnen kann.
c) Wenn der Spieler, der die erste Zahl nennt, das richtig macht
und danach keinen Fehler mehr macht, kann der andere Spieler
nicht mehr gewinnen. Wie muss der erste Spieler vorgehen?
Vorwärtsarbeiten
Was kann man aus den gegebenen Größen alles berechnen?
• Gesamtbetrag in €
• Gesamtbetrag in $
• Wechselkurs
• sinnlose Rechnungen
Vorwärtsarbeiten
Was kann man aus den gegebenen Größen alles berechnen?
• Gesamtbetrag in €
• Gesamtbetrag in $
• Wechselkurs
• sinnlose Rechnungen
Fazit
In modernen Schulbüchern lassen sich Aufgaben zur
Problemlösekompetenz finden
In vielen dieser Aufgaben steckt weiteres Potential
Ergänzungen der vorgegebenen Aufgaben sind oft sinnvoll
Kooperative Unterrichtsentwicklung ist eine effektive Methode