Transcript Lösen - Schulentwicklung NRW

Förderung prozessbezogener
Kompetenzen:
PROBLEMLÖSEN
Volker Kampmeier, Ursula Schmidt
Prozessbezogene Kompetenzen
Argumentieren/Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Werkzeuge verwenden
Problemlösen im MU
R. Bruder*:
„Ein Problem im Mathematikunterricht soll eine
Anforderungssituation bezeichnen, die
subjektiv als (kognitiv) schwierig erlebt
wird.“
- spontan nicht bewältigbar
- Vielleicht einfach nur ungewohnt
- erfordert eine für das Individuum „neue“ Lösung
R. Bruder/C. Collet: Problemlösen lernen im MU, Berlin 2011, p. 11
Problemlösen im MU



Gemeint ist nicht die Behandlung von
Knobelaufgaben.
Die SuS sollen befähigt werden, selbstständig unbekannte Aufgaben zu lösen
(also nicht nur Algorithmen abarbeiten;
Lernen durch Vormachen / Nachmachen).
Gestärkt werden soll die allgemeine
Problemlösefähigkeit.
Grunderfahrungen (nach Winter)
Schülerinnen und Schüler sollen im Mathematikunterricht



Erscheinungen aus Natur, Gesellschaft und Kultur mit
Hilfe der Mathematik wahrnehmen und verstehen
(Mathematik als Anwendung),
mathematische Gegenstände und Sachverhalte,
repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und
Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv
geordnete Welt eigener Art verstehen
(Mathematik als Struktur)
in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen, zu
erwerben und einzusetzen (heuristische Fähigkeiten)
(Mathematik als kreatives Handlungsfeld).
Problemlösen
- Handlungskreislauf
Erkunden
Lösen
Reflektieren
Problemlösen
im KLP RS, GE und GY
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 6
Schülerinnen und Schüler
Erkunden
•
•
geben inner- und außermathematische Problemstellungen in eigenen
Worten wieder und entnehmen ihnen die relevanten Größen
finden in einfachen Problemsituationen mögliche mathematische
Fragestellungen
Lösen
•
•
•
ermitteln Näherungswerte für erwartete Ergebnisse durch Schätzen und
Überschlagen
nutzen elementare mathematische Regeln und Verfahren (Messen,
Rechnen, Schließen) zum Lösen von anschaulichen Alltagsproblemen
wenden die Problemlösestrategien "Beispiele finden", "Überprüfen durch
Probieren" an
Reflektieren
•
deuten Ergebnisse in Bezug auf die ursprüngliche Problemstellung
Problemlösen
im KLP RS, GE und GY
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 8
Schülerinnen und Schüler
Erkunden
•
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen und Figuren und stellen
Vermutungen auf
Lösen
•
•
•
•
•
planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
nutzen Algorithmen zum Lösen mathematischer Standardaufgaben und
bewerten ihre Praktikabilität
überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen oder
Lösungswege
wenden die Problemlösestrategien "Zurückführen auf Bekanntes" (Konstruktion
von Hilfslinien, Zwischenrechnungen), "Spezialfälle finden" und
"Verallgemeinern" an
nutzen verschiedene Darstellungsformen (z. B. Tabellen, Skizzen, Gleichungen)
zur Problemlösung
Reflektieren
•
•
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen,
Überschlagsrechnungen oder Skizzen
überprüfen Lösungswege auf Richtigkeit und Schlüssigkeit
Problemlösen
im KLP RS, GE und GY
Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 9/(10)
Schülerinnen und Schüler
Erkunden
•
zerlegen Probleme in Teilprobleme
Lösen
•
wenden die Problemlösestrategien "Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten"
an
Reflektieren
•
vergleichen Lösungswege und Problemlösestrategien und bewerten sie
Problemlösestrategien –
Verankerung im KLP
Klasse 5/6
Systematisches Probieren
X
Beispiele finden
X
Vorwärtsarbeiten
X
Schätzen und Überschlagen
X
Klasse 7/8
Klasse 9/10
X
X
Zurückführen auf Bekanntes
X
Wechsel der Darstellung
X
Plausibilitätsüberlegungen
X
Spezialfälle finden
X
Verallgemeinern
X
Rückwärtsarbeiten
X
Zerlegen in Teilprobleme
X
Systematisches Ausschließen
(LSE)
Ergebnisse
des SINUS-Projekts
 Die Anwendung der Strategien muss geübt und
bewusst gemacht werden.
 ALLE Strategien werden schon in den Jgst. 5/6
angelegt!
Später nimmt nur die Komplexität der Probleme zu
(Anzahl der Schritte, Vernetzung der Strategien).
 Auch „einfache Strategien“ sollten in höheren Klassen
weitergeübt werden.
 Schülerinnen und Schüler sollten die Strategien
explizit kennen (Metawissen).
Problemlöseheuristiken
(Quelle: Regina Bruder, TU Darmstadt, SINUS Hessen)
http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/module/modul_9verantwortung_fuer_das_eigene_lernen_staerken/problemloesen/heuristik.html
Beispiel 1
 Rückwärts arbeiten in Kl. 5 (im KLP erst in 9)
Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt
zu kommen, muss er 3 Tore passieren. An jedem Tor steht ein
Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen
Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie
viele Äpfel hatte er am Anfang?
Lösung:

Operationen (Halbieren und -1) rückgängig machen, also +1 und
Verdoppeln
1 | +1  2 | *2  4 | +1 5 | *2 10 | +1  11 | * 2  22
Beispiel 2
 Rückwärts/Vorwärtsarbeiten in Kl. 9
In ein quadratisches Blech werden nach diesem
Muster Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85
Löcher.
Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe?
Lösung:
Man geht davon aus, dass die Anzahl der Löcher in der untersten
Reihe bekannt ist und versucht daraus auf die Gesamtzahl der
Löcher zu schließen.
Sind in der untersten Reihe n Löcher, so gibt es insgesamt
n * n= n² schwarze Löcher.
Helle Löcher sind es dann (n-1)², zu lösen ist demnach die
quadratische Gleichung n² + (n-1)² = 85.
Ergebnis: n = 7
Beispiel 3
 Systematisches
Probieren
in Klasse 8
Beispiel 4
WESTERN TRIBUNE 4TH JULY 1889
LAND-RACE AM COLUMBIA RIVER
Portland City. Die Western Pacific Railroad
Company verschenkt morgen ein großes
Grundstück am Columbia River. Das Gelände erhält
derjenige, der es schafft, mit 500 Meter
Maschendrahtzaun das größte rechteckige
Grundstück abzustecken. Das Grundstück soll direkt
am Ufer des Flusses liegen und von drei Seiten
eingezäunt werden. Die Interessenten sollen sich
beim Morgengrauen am Fluss einfinden.
Du willst das Gelände natürlich auch unbedingt haben.
Wie sieht Deine bestmögliche Absteckung aus?
Beispiel 5
Die älteste Dame eines kleinen Dorfes wird von einem
neugierigen Nachbarn nach ihrem genauen Alter gefragt, das
außer ihrer Familie bisher keiner wirklich kennt. Da stellt sie dem
Nachbarn folgendes Rätsel:
Mit meiner Tochter zusammen bin ich 138 Jahre alt, mit meiner
Enkelin zusammen dagegen nur 110 Jahre alt. Meine Tochter
und meine Enkelin sind zusammen 86 Jahre alt.
Der Nachbar fängt an zu grübeln. Findest Du heraus, wie alt die
Oma ist?
Beispiel 6
Annette und Michael backen Weihnachtsplätzchen.
der Plätzchen überziehen die beiden mit Schokoladenguss, 5
Plätzchen weniger mit buntem Zuckerguss. 28 Plätzchen bleiben
ohne Guss. Wie viele Plätzchen haben sie insgesamt gebacken?
Du sollst versuchen, die richtige Anzahl herauszufinden.
Beispiel 7
Stellt euch vor, ihr bildet eine
lange Kette, indem ihr euch alle
an den Händen fasst und die
Arme ganz lang macht.
Schätze, wie viele Kinder mit
ausgestreckten Armen benötigt
werden, um die Erde einmal zu
umspannen.
Beispiel 8
In der Erzählung „Wie viel Erde braucht der
Mensch?“ des russischen Schriftstellers Leo Tolstoi
erhält der Bauer Pachom für 1000 Rubel so viel
Land, wie er von Sonnenaufgang bis
Sonnenuntergang umlaufen kann.
Nehmen wir einmal an, der Bauer könnte am Tag
24 km gehen.
Beispiel 9
In einem Streichelzoo leben Kaninchen und Hühner.
In der Zoorallye steht: „ Die Kaninchen und Hühner haben
zusammen 36 Augen und 52 Beine.“
Kannst du herausfinden, wie viele Kaninchen und wie viele
Hühner es sind, ohne den Zoo zu besuchen?
Materialmatrix (Teil 1)
Arithmetik
Funktionen
Geometrie
Systematisches Probieren
6Schwimmer
6Bonbons
6Fliesen
6Album
6Kaninchen
6Gebäck
6Erde
6Meerschwein
Beispiele finden
6Rechengesetze
6Rinderherde
6Symmetrie
Vorwärtsarbeiten
6Zaun
6Alte_Dame
8Janosch
Schätzen und Überschlagen
6Pinguine
6Insel
6Flughafen
6Kinder
6Miete
Zurückführen auf Bekanntes
10Zaun
6Zaun
6Miete
8Kreis
8Rechtecke
Stochastik
Materialmatrix (Teil 2)
Arithmetik
Wechsel der Darstellung
Funktionen
Geometrie
Stochastik
8Schatzsuche
Plausibilitätsüberlegung
Spezialfälle finden
Verallgemeinern
Rückwärtsarbeiten
Zerlegen in Teilprobleme
Systematisches Ausschließen
6Drei_Tore
10Stanzblech
10Piraten
10Würfel
Aufgaben
Name der Aufgabe:
Verankerung im Kernlehrplan:
Erkunden
Lösen
…
…
Reflektieren
Fähigkeiten: (Konkrete Beschreibung der Kompetenzerwartungen in eigenen Worten)
Inhaltsbereich:
Lernumgebung/Aufgabe für den Unterricht:
Diagnoseaufgabe:
Quelle:
Strategie(en)*:
Jahrgangsstufe:
Alternativen:
Jahrgangsstufe:
Heuristische Hilfsmittel*:
Voraussetzungen:
Material
Ziel
Unterstützung der Fachkonferenz bei der
Einbindung der prozessbezogenen Kompetenzen
in das schulinterne Curriculum
Verankerung der Strategien durch typische
Aufgaben, die sich auch in Schulbüchern finden
Problemlösen lernen - Ideen
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


Es gibt eine Lernphase für die Strategien: Die Strategie wird
anhand eines typischen Beispiels erklärt und an ähnlichen
Beispielen eingeübt.
Konsolidierung im anschließenden Unterricht:
regelmäßige Reflexionen im Anschluss an eine Aufgabenlösung: Wie sind wir vorgegangen? Was hat uns geholfen, die
Aufgabe zu lösen?
Neu gelernte Strategien anschließend in anderen Kontexten
anwenden
Zu einer Aufgabe alternative Lösungsmöglichkeiten suchen
lassen
Aufgaben stellen, zu denen Fragen formuliert werden müssen
Aufgaben variieren lassen
Problemlösen lernen
Voraussetzung:
die Bereitschaft, sich auf Probleme einzulassen
-
-
Motivation
Eigenverantwortlichkeit beim Lernen
Selbstregulation (Checklisten)
Zulassen alternativer Lösungswege
Zeit lassen in der Erkundungsphase
Langsam an Heurismen gewöhnen
…