Transcript Lineare Gleichungssysteme - Wilhelm-Raabe

Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
Diese Präsentation bietet einen Einstieg in den Themenbereich
„Lineare Systeme“. Damit ist das Lösen so genannter
GLEICHUNGSSYSTEME gemeint. Die Präsentation ist über die
Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule jederzeit frei zugänglich.
Die Weitergabe bzw. Vervielfältigung der Präsentation ist
ausdrücklich erlaubt.
Selbstverständlich
dürfen
sich
auch
ELTERN
bzw.
NACHHILFELEHRKRÄFTE gern mit dieser Präsentation
beschäftigen. Der Verfasser möchte alle Nutzer dazu ermutigen,
sich ggf. zur Präsentation zu äußern und bittet darum, zu diesem
Zweck die auf der Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule
angegebenen Kontaktmöglichkeiten zu nutzen.
Bei der Herstellung der Präsentation wurde ausschließlich frei –
kostenlos – zugängliche Software benutzt. WORD und EXCEL
sind über OPEN-OFFICE verfügbar. DynaGeo steht für
Angehörige der Wilhelm-Raabe-Schule ohnehin frei zur
Verfügung.
Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
Für diese Präsentation gilt – genau wir für alle
anderen Präsentationen im Fach Mathematik – der
Grundsatz:
Nur ankucken nutzt gar nichts.
Sinnvoll ist die Arbeit mit oder an dieser
Präsentation nur dann, wenn jede Zeichnung
selbst nachgezeichnet, jede Rechnung selbst
nachgerechnet wird.
Es gibt kein Zaubermittel, um schlau zu
werden. Das gelingt nur durch eigene
Arbeit
Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
Einige Anmerkungen, bevor wir mit dem Rechnen anfangen!
Die Gleichung „2x – 7 = 13“ hat genau eine Lösung:
x = 10
Die Gleichung „3x + y = 10“ hat viele Lösungen. Eine kleinen Teil dieser vielen
Lösungen können wir in der Form einer Wertetabelle darstellen:
(Dazu formen wir die Gleichung um in „y = -3x + 10“)
x
y
-5
25
-4
22
-3
19
-2
16
-1
13
0
10
1
7
2
4
3
1
4
-2
5
-5
Noch besser wäre es natürlich, diese vielen
Lösungen der Gleichung einfach zu zeichnen.
Das ergibt – wie man in der neunten Klasse ganz
sicher weiß – eine so genannte Gerade.
Siehe dazu die Abbildung links ()
Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
Noch einige ganz praktische Anmerkungen – fast ohne RECHNEN:
NR. 1
-
Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².
-
Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2).
-
Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.
-
Drei Portionen Pommes und vier Döner kosten
zusammen 14,40 €.
oder
NR. 2
oder
NR. 3
oder
NR. 4
oder – eine der Lieblingsaufgaben der Mathematiklehrer:
NR. 5
-
Auf der Wiese tummeln sich Hühnchen und Kaninchen.
Insgesamt sind es 88 Tierchen.
Wir prüfen diese Gleichungen auf den folgenden Seiten!
Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
NR. 1
-
Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².
Das Rechteck kann man zeichnen:
Die Fläche beträgt
14 * 12 = 168 cm²
OKAY - Aber:
Gibt es noch andere
- passende –
Rechtecke?
Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
Wie wäre es mit diesem Rechteck?
Fläche:
6 * 28 = 168 cm²
… oder mit diesem?
Fläche:
7 * 24 = 168 cm²
… oder aber – ohne Zeichnung – mit
1 * 168 = 168 cm²
… oder mit
… oder mit
… oder mit
2 * 84 = 168 cm²
3 * 56 = 168 cm²
4 * 42 = 168 cm²
… oder … oder … oder !

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NR. 2 -
Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2).
Die Aufgabe ist spielend leicht lösbar. Koordinatensystem zeichnen – Punkt eintragen – Gerade
zeichnen
…. und noch eine Gerade … und noch eine Gerade … und noch eine ………
Welches mag
nur die
richtige
Gerade sein?
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NR. 3 -
Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.
Diese Aufgabe ist am abenteuerlichsten – wie überlegen gemeinsam:
1.)
2.)
3.)
Der Vater ist 51 Jahre alt, dann …..
Der Vater ist 99 Jahre alt, dann …..
Der Vater ist 30 Jahre alt, dann …..
4.)
Der Vater ist 120 Jahre alt, dann …..
Bitte prüfe alle vier Varianten!
Natürlich gibt es auch vernünftige Lösungen:
oder
oder
Vater 65 Jahre – Sohn 35 Jahre
Vater 68 Jahre – Sohn 32 Jahre
Vater 62 Jahre – Sohn 38 Jahre
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NR. 4
-
Drei Portionen Pommes und vier Döner kosten
zusammen 14,40 €.
+
3 * 1,20
3 * 0,60
3 * 4,00
3 * 1,00
3 * gratis
+
+
+
+
+
4 * 2,70
4 * 3,15
4 * 0,60
4 * 2,85
4 * 3,60
=
=
=
=
=
14,40 €
14,40 €
14,40 €
14,40 €
14,40 €
Was gilt denn nun?
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Lineare Systeme
NR. 5
-
Auf der Wiese tummeln sich Hühnchen und Kaninchen.
Insgesamt sind es 88 Tierchen.
Wir machen etwas MATHEMATIK und übersetzen diese Aussage in MATHEMATISCH:
h + k = 88
Wenn nur ein Huhn da ist, müssen es 87 Kaninchen sein. Wenn nur zwei Hühner da
sind, müssen es 86 Kaninchen sein. Wenn nur zwei Hühner da sind, müssen es 86
Kaninchen sein. Wenn nur 3 Hühner da sind, müssen es 85 Kaninchen sein. Wenn nur 4
Hühner da sind, müssen es 84 Kaninchen sein. Wenn nur 5 Hühner da sind, müssen es
83 Kaninchen sein. Wenn nur 6 Hühner da sind, müssen es 82 Kaninchen sein. Wenn
nur 7 Hühner da sind, müssen es 81 Kaninchen sein. Wenn nur 8 Hühner da sind,
müssen es 80 Kaninchen sein. Wenn nur 9 Hühner da sind, müssen es 79 Kaninchen
sein. Wenn nur zehn Hühner da sind, müssen es 78 Kaninchen sein.
Und trotz des langes Textes sind wir nicht ein Stück
schlauer geworden.
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Merke:
Viele Aussagen sind nicht eindeutig lösbar, weil es
eine große Anzahl richtiger Lösungen gibt.
Um eine eindeutige Lösung zu erhalten,
braucht man eine
zweite Aussage.
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Lineare Systeme
Die Fläche eines Rechtecks beträgt 168 cm².
+
Der Umfang dieses Rechtecks ist 62 cm groß.
Lösung: Die Länge a sei 24 cm; die Breite b sei 7 cm.
A = 24 * 7 = 168 cm²
u = 2 * 24 + 2 * 7
= 48 + 14
= 62 cm
Wir beschäftigen uns in Kürze damit, wie diese Werte
ausgerechnet werden können.
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Eine Gerade verläuft durch den Punkt P(4/2)
+
und den Punkt Q (-2/5)
Lösung:
Von den vielen ( blauen ) Geraden
durch den Punkt P geht nur eine
einzige auch durch Q.
Es ist die rote Gerade.
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Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.
+
Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.
Lösung:
Vater ist 64 Jahre – Sohn ist 36.
Beweis:
64 + 36 = 100
(Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.)
36 = 64 - 28
(Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.)
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Problem:
Wie wird die Lösung
ausgerechnet?
Dazu prüfen wir zunächst Aufgaben aus der Geometrie, die wir auch zeichnen
können. Denn beim Zeichnen kann man sofort erkennen, ob eine Lösung richtig
ist oder nicht.
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Die Aufgabe:
Eine Gerade verläuft durch die Punkte
A(-3/5) und B(6/-1).
Wie lautet die Funktionsgleichung dieser
Geraden?
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Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1).
Die beiden Punkte kann man zeichnen:
y
6
A (-3 | 5)
5
4
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
B (6 | -1)
-2
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Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1).
Die beiden Punkte kann man zeichnen und durch eine Gerade verbinden:
y
6
A (-3 | 5)
5
4
3
2
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
6
7
8
B (6 | -1)
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Lösung aus der Zeichnung ablesen:
y = mx + b
y
b = 3 ; m = -2/3
A (-3 | 5)
also:
2
y   x3
3
6
5
-2
4
3
3
2
1
x
Mathematik 9. Jahrgang:
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Eine Gerade verläuft durch die Punkte A(-3/5) und B(6/-1).
Rechnung:
1.)
5 = -3 m + b

2.)
-1 = 6 m + b

b=5+3m
b = -1 – 6 m
b = b also:
sortieren:
zusammenfassen:
5 + 3 m = -1 – 6 m
ausrechnen:
m = -6/9 = -2/3
und:
b = 5 + 3*(-2/3) = 5 – 2 = 3
3 m + 6 m = -1 – 5
9m=-6
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Ein zweites Beispiel:
Die Geraden
und
y = - 0,5 x + 3
y =2x - 2
haben genau einen Schnittpunkt, der in der Zeichnung
sofort erkennbar ist.
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y
5
y = - 0,5 x + 3
4
3
S
(2 | 2)
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
y =2x - 2
-2
-3
4
5
6
7
8
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Es ist der Punkt S(2/2).
y = - 0,5 x + 3
und y = 2 x - 2
haben an diesem Punkt den gleichen x-Wert und den
gleichen y-Wert:
y = y
Also:
- 0,5 x + 3 = 2 x - 2
... und das kann man ausrechnen:
Mathematik 9. Jahrgang:
Lineare Systeme
- 0,5 x + 3 = 2 x - 2
Sortieren nach dem
„Aschenpuddel-Prinzip“:
Zusammenfassen:
- 0,5 x – 2 x = - 2 – 3
-2,5 x = - 5
Dividieren:
x
=
Einsetzen:
Ausrechnen:
y
y
= 2*2 - 2
= 2
Also:
2
S(2/2)
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Zeichnung und
Rechnung führen also
zum gleichen
Ergebnis!
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Es ist möglich, auch Gleichungen mit zwei Unbekannten auszurechen, wenn
dazu auch zwei Gleichungen vorhanden sind. Also:
(1)
(2)
Vater und Sohn sind zusammen 100 Jahre alt.
Der Sohn ist 28 Jahre jünger als sein Vater.
Beide Aussagen sind Gleichungen:
(1)
(2)
v + s = 100
s = v - 28
Für die Berechnung dieses Systems – mehr als eine Gleichung
nennt man ein System – gibt es mehrere Verfahren:
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Einsetzen:
In dem Gleichungssystem
(1)
v + s = 100
(2)
s = v – 28
ist die Gleichung (2) bereits nach „s“ aufgelöst. s hat den Wert „v - 28“.
Diesen Wert stellt man in Gleichung (1) genau an die Stelle des „s“.
Aus „ v + s = 100“ wird damit
ausrechnen zu
dividieren
(1)
(1)
(1)
v + v – 28 = 100
2v = 128
v = 64
Antwort: Papa ist 64 Jahre alt. Der Sohn ist 64-28
Jahre alt – also ist der Sohn 36 Jahre.
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Lineare Systeme
Es gibt drei unterschiedliche Verfahren, lineare Systeme
– also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten –
auszurechnen:
Gleichsetzen!
Einsetzen!
Addieren!
Und dies zeigen wir anhand der weltberühmten Piratenaufgabe .
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Räuber und Piraten nehmen an einem großen Gelage teil.
Jeder der anwesenden Räuber isst 4
und trinkt
Hähnchen
5 Bier.
Ein Pirat dagegen isst nur 3
trinkt dafür aber
Hähnchen,
7 Bier.
Zusammen werden bei dem großen Mahl 65
gegessen und 117
Bier getrunken.
Hühnchen
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Es ist unbekannt, wie viele Räuber und wie
viele Piraten an dem Fest beteiligt sind.
Deshalb:
RÄUBER – x
PIRATEN - y
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Die Biergleichung:
RÄUBER * 5 und PIRAT * 7
ergibt zusammen 117
5x + 7y = 117
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Die Hähnchengleichung:
RÄUBER * 4 und PIRAT * 3
ergibt zusammen 65
4x + 3y = 65
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Dieses Verfahren
ist am kürzesten –
dafür ist die
Gefahr, einen
Vorzeichenfehler
zu machen,
relativ groß.
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Zur Übung folgen in genau gleicher Form noch zwei
Varianten der weltberühmten Bauernhofgleichung:
1.
Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt
durcheinander Entchen und Kaninchen. Der Bauer zählt
120 Köpfchen und 340 Beinchen.
2.
Auf einem Bauernhof tummeln sich bunt
durcheinander Schweinchen und Täubchen. Die Bäuerin
zählt 89 Köpfchen und 240 Beinchen.