Transcript Wyklad_16 - skaczmarek.zut.edu.pl

Elementy szczególnej teorii względności
Mechanika klasyczna i relatywistyczna v<<c
Zjawiska atomowe i jądrowe, astrofizyka
Szczególna teoria względności Einsteina 1905 r.
Prawa mechaniki klasycznej – szczególne przypadki
Zasada względności – we wszystkich układach
inercjalnych prawa fizyki są jednakowe
Transformacja Galileusza – czas płynie jednakowo
w obydwu układach odniesienia – mechanika
klasyczna
Transformacja Lorentza – prędkość światła nie
zależy od układu odniesienia
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka i dynamika relatywistyczna
1
Prędkość światła
Nieskończona dla Galileusza,1638 r. Romer 1675 r. – zaćmienie
księżyca Jowisza - 2.3*108 m/s. Bradley 1725 r. – aberracja światła
gwiazd - c=3.01*108 m/s. Fizeau 1849 r. – pomiar częstości wirującego
koła zębatego, przerywającego strumień światła – c=3.15*108 m/s.
Arago 1838 r., Foucault 1850 r. – wirujące zwierciadło – c=2.98*108 m/s
współcześnie – modulacja strumienia
światła przy pomocy komórki Kerra –
c=299 792 458±100 m/s (1983 r.)
Prędkość
światła
jest stała i
nie zależy
Prędkość światła a układ
od układu
odniesienia – Interferometr
odniesienia
Michelsona-Morleya
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka relatywistyczna
2
Prędkość światła maksymalną dopuszczalną prędkością cząstek materialnych.
We wszystkich układach odniesienia czas płynie jednakowo – transformacja Galileusza. Dla układów poruszających się z v~c założenie to
przestaje być słuszne. Galileusz – Lorentz (1904 r.)
Szukamy związków:
x’=x’(x, t) : x’=Ax+Bt
y’=y’(x, t): y’=Dx+Ht
Czas płynie niejednakowo w obu
układach odniesienia
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka relatywistyczna
3
Transformacja Lorentza
Zależność pomiędzy współrzędnymi czasowoprzestrzennymi dwóch układów inercjalnych
O'  O
O  O'
x '   ( x  ut)
x   ( x'ut' )
v=v’+u
dx' dx' dt' dx'
dt'
u
v  ' 
/ ;
  (v  u );
  (1  2 v)
dt
dt dt dt
dt
c
O'  O
O  O'
y y
y  y'
z'  z
z  z'
u
t   (t  2 x)
c
u '
v u
v'  u
'
; v
t   (t  2 x ) v 
uv
uv'
c
1 2
1 2
'
'
  1/ 1
2
'
x
'
u
czynnik Lorentza
2
c
c
c
Relatywistyczne składanie prędkości (v=v’+u)
Jeżeli v’=c, to v=c
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka relatywistyczna
4
Składanie prędkości
O'  O
O  O'
v u
v  x
uv
1  2x
c
vx'  u
vx 
uvx'
1 2
c
v 'y
vy 
uvx'
 (1  2 )
c
vz'
vz 
uvx'
 (1  2 )
c
'
x
v 'y 
vy
uv
 (1  2x )
c
vz' 
vz
uv
 (1  2x )
c
Relatywistyczna postać II zasady
dynamiki Newtona.
dp
 F ; p  mv
dt
O'  O
O  O'
Fx'  Fx
Fx  Fx'
Jeżeli ruch ciała w układzie O w dowol'
F
nej chwili czasu t określony jest współy  Fy
rzędnymi x, y, z, a w układzie O’ w moFz '  Fz
mencie t’ współrzędnymi x’, y’, z’ to
przejście między układami dla prędkości można zapisać:
Fy   1Fy'
Fz   1Fz'
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka
5
Czasoprzestrzeń, interwał
Czterowymiarowa czasoprzestrzeń wypełniona jest
zdarzeniami: x, y, z, t.
Interwałem między zdarzeniami nazywa się wielkość zdefiniowaną wzorem:
s12  c 2 t 2  (x 2  y 2  z 2 ) ; t  t 2  t1 ; x  x2  x1 ; y  y2  y1 ; z  z 2  z1
s12'  (ct ' ) 2  [(x ' ) 2  (y ' ) 2  (z ' ) 2 ]; x'  x  ut ; y '  y; z '  z
(s12' ) 2  c 2 t 2  (x 2  y 2  z 2 ); s12'  s12
interwal jest niezm iennikiem wzgledem transform acji Lorentza
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka relatywistyczna
6
Skrócenie długości
Lo  x2  x1 ; L  x2'  x1'
Lo  x2  x1  x2'   c t '[ x1'   c t ' ]   ( x2'  x1' )  L;
L  Lo /  ;   u / c
Dylatacja czasu
Jeśli w układzie spoczywającym odstęp czasu jest , to w poruszającym
się t’> bo >1.
t '  

1
1 
2
 ;   1; v  c
Żaden fizyczny układ odniesienia nie może poruszać się z prędkością
równą prędkości światła.
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka relatywistyczna
7
Zależność masy od prędkości

Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania)
pozostają ważne w mechanice relatywistycznej, ale
m  mo 
mo
1
2
v
c2
; mo  m asa spoczynkowa
Równoważność masy i energii
p  m v; E  m c2 ; Eo  mo c 2 ; Ek  E  Eo  (m  mo )c 2  mo c 2 (  1)
n(n  1) 2
x  ...; n  1 / 2, x  v 2 / c 2 ;
1 2
2
1 v 3 v4
v2
2
Ek  mo c (1 

 ...  1); v  c Ek  m
2 c2 8 c4
2
(1  x) n  1  nx 
Rozpędzenie ciała do prędkości światła
wymaga nieskończenie wielkiej pracy.
Energia kinetyczna związana jest z przyrostem masy ciała.
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka i dynamika relatywistyczne
8
Energia relatywistyczna
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka i dynamika relatywistyczna
9
Relatywistyczna postać II zasady dynamiki
Energia kinetyczna i pęd – dwie różne miary tego samego ruchu
(ilość ruchu – energia, kierunek – pęd)
dp
F
dt
O'  O
O  O'
Fx'  Fx
Fx  Fx'
Fy'  Fy
Fy   1 Fy'
Fz'  Fz
Fz   1 Fz'
d(
mov
v2
1 2
c
)  Fdt; v(t ) 
Zależność prędkości ciała od
czasu działania na ciało stałej
siły
at
(at)2
1 2
c
; a
F
mo
F
t
mo
v(t ) 
F
t
mo 2
1 (
)
c
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka i dynamika relatywistyczna
10
Związek energii z pędem
v2
E  m c ; p  m v; E  p c  m c (1  2 ); E 2  p 2c 2  mo2c 4 (*)
c
2
2
2 2
2 4
Energia i pęd są różne w różnych inercjalnych układach odniesienia.
Wzór (*) ma tą samą wartość we wszystkich układach odniesienia,
jest więc niezmiennikiem względem przekształceń Lorentza.
E  mo2 c 4  p 2 c 2
Dla fotonów i neutrin (mo=0) E=pc; p=E/c. Absorpcja cząstek o masie
spoczynkowej równej 0 związana jest ze zmianą pędu, a więc
powstawaniem siły, czyli wywieraniem przez te cząstki ciśnienia.
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kinematyka i dynamika relatywistyczna
11
Kosmologia

Nauka o budowie i prawach rządzących Wszechświatem.
Ziemia cząstką Układu Drogi Mlecznej – Galaktyki.
2% masy Halo
98% plazma
Nazwa
Średnica
Średnica jądra
Masa
Masa Słońca
Prędkość Słońca w ruchu obrotowym Galaktyki
Promień orbity Słońca
Okres obrotu Słońca
Liczba gwiazd w Galaktyce
Wartość liczbowa
9.2*1020 m
15.5*1016 m
2.2*1041 kg=1.1*1011 Ms
2*1030 kg
250 km/s
3*1020 m
7*1015 s=2.2*108 lat
1011
___________________________________________________________________________________________________________________________
2. Kinematyka i dynamika relatywistyczna. Kosmologia
12
Budowa Wszechświata
Wszechświat wypełniony jest galaktykami i gromadami galaktyk, które
znajdują się w ciągłym ruchu obrotowym i postępowym.
Nazwa
Średnica
Objętość
Masa
Gęstość średnia
Liczba galaktyk
Średnia masa galaktyki
Średnia liczba gwiazd w galaktyce
Czas istnienia
Wartość liczbowa
3*1026 m
1.5*1079 m3
1.6*1052 kg
2*10-28 kg/m3
1012
1.6*1041 kg
1010
1.5*1010 lat
Wszechświat jest niestabilny – może się kurczyć i rozszerzać. Znajduje się
on obecnie w stanie ustawicznej ekspansji, z prędkościami proporcjonalnymi do wzajemnej odległości galaktyk i ich gromad. Świadczy to o tym,
że we wczesnych stadiach rozwoju Świata materia była skupiona w małej
objętości, a proces jej rozszerzania nastąpił w wyniku eksplozji – Wielkiego Wybuchu.
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kosmologia
13
Kosmologia
Jednostki odległości – rok świetlny: 9.46*1015 m, parsek – odległość do
punktu, z którego widać średnią odległość a między Ziemią i Słońcem
pod kątem paralaksy równej jednej sekundzie
d=a/tga=206265 a; a=1 AU=1.4959787*1011 m.
1 parsek (pc)=3.084*1016 m. W kosmologii kpc i Mpc.
Składowa radialna prędkości
mierzona przy pomocy efektu
Dopplera dla fal el.mgt.
d
v
c
  o (1  ); v 

vt 
dtg 
t

o
c
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kosmologia
14
Czasoprzestrzeń
Interwał czasoprzestrzenny:
r   x 2  y 2  z 2 , s   (ct ) 2  (x 2  y 2  z 2 ) ; s   c 2 t 2  r 2
W czasoprzestrzeni – geometria pseudoeuklidesowa, s2=(ct)2-r2, s2<0, s2>0, s2=0.
Jeżeli s2=0:
2
2
2
ct   x  y  z
Dwa czterowymiarowe stożki świetlne zdarzenia O. Na ich powierzchni układają się
zdarzenia, z którymi zdarzenie O wymienia się informacją stosując sygnały świetlne,
wewnątrz stożków układają się zdarzenia
z którymi układ O może wymieniać się informacją
stosując sygnały wolniejsze od prędkości światła,
na zewnątrz układają się zdarzenia, z którymi układ O
nie może nawiązać żadnego kontaktu.
Czasoprzestrzeń ma strukturę stożkową.
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kosmologia
15
Prawo Hubble’a
Składowa radialna prędkości z uwzględnieniem poprawek relatywistycznych:
v

o
c  zc; z 

o

1 v / c
 1;
1 v / c
(1  z ) 2  1
vc
(1  z ) 2  1
Hubble stwierdził, że linie w widmach odległych galaktyk przesunięte są w stronę
czerwieni (źródło oddala się od obserwatora), a stosunek prędkości radialnej
v=dr/dt do promienia r nie zależy od czasu t. Na tej podstawie: prędkości radialne
oddalających się galaktyk są proporcjonalne do ich odległości (prawo Hubble’a):
v=Hr
Wszechświat zachowuje się jak równomiernie nadmuchiwany balonik, którego
promień rośnie liniowo w czasie z prędkością v. Wiek wszechświata t=H-1.
H=60 km*s-1*Mpc-1~2*10-18 s-1.
-Wszechświat powstał w wyniku eksplozji
-Wielki Wybuch nastąpił około T=H-1~1010 lat temu
-Znając prędkość oddalania się galaktyki i stałą Hubble’a odległość jaką przebyła
ona od poczatku powstania r=v/H=z*c/H; z=4
26 m.
- Promień
Wszechświata
R
=Tc=1.5*10
o
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kosmologia
16
Promieniowanie cieplne. Model
Wszechświata
Promieniowanie reliktowe – tło promieniowania mikrofalowego. Pozostało po
wydarzeniu, w którym materia miała wysoką temperaturę. Jego rozkład widmowy
pokrywa się z rozkładem ciała doskonale
czarnego o T=2.7 K, maksimum natężenia
promieniowania max=1.1*10-3 m, gęstość
energii 4*10-14 J/m3. Charakteryzuje je
izotropowość względem dowolnego
kierunku i nieoddziaływanie z materią.
Promieniowanie reliktowe wykorzystano więc do pomiaru bezwzględnych prędkości Ziemi, Układu Słonecznego (400 km/s) i Galaktyki
(600 km/s). Wszechświat będzie rozszerzać się do osiągnięcia gęstości krytycznej, po czym nastąpi jego kurczenie się. rkr=3H2/8pG
___________________________________________________________________________________________________________________________
6. Kosmologia
17
Wielki Wybuch. Historia ewolucji
Wszechświata
Nazwa
Czas trwania Gęstość na
[s], a - lata
końcu
[kgm-3]
Plancka
Hadrono
wa
0-10-44 s
1096
Temperatura Procesy
Pozostało do
na końcu
fizyczne
dziś
[K]
zachodzące
w przedziale
?
?
1033
10-44-10-4 s
1017
1012
Plazma w r-dze
termod. ze
zbiorem
wszystkich
cząstek elem.
Nukleony i
elektrony
Leptonow
a
10-4-104 s
107
1010
Procesy anihilacji
cząstek i
antycząstek,
oddzielanie się
neutrin
Tło
neutrinowe
Promienis
ta
104 s-106 a
10-18
3000
Plazma,
promieniowanie,
synteza helu i
lekkich
pierwiastkow
Hel i wodór,
prom.
reliktowe
Galaktycz
na
106 a nadal
10-28
2.7
Galaktyki,
Galaktyki,
układy
związki
Sloneczne,
chem., życie
Ziemia,
formy życia,
człowiek
rkr=10
___________________________________________________________________________________________________________________________
-32
6. Kosmologia
kgm-3
18