Transcript ch02線性串列

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第二章 線性串列
課前指引
「線性串列」 (Linear List)是數學應用在電腦科學中一種相
當簡單與基本的資料結構，簡單的說，線性串列是n個元素的有
限序列(n≧0)，像是26個英文字母的字母串列：A,B,C,D,E…,Z，
就是一個線性串列，串列中的資料元素是屬於字母符號，或是1
0個阿拉伯數字的串列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。
章節大綱
2-1 線性串列的定義
2-2 陣列
2-3 矩陣
備註：可依進度點選小節
2-1 線性串列的定義
「線性串列」(Linear List)的定義：
有序串列可以是空集合，或者可寫成(a1,a2,a3．．
．,an-1,an)。
存在唯一的第一個元素a1與存在唯一的最後一個
元素an。
除了第一個元素a1外，每一個元素都有唯一的先
行者(precessor)，例如ai的先行者為ai-1。
除了最後一個元素an外，每一個元素都有唯一的
後續者(successor)，例如ai+1是ai的後續者。
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2-1 線性串列的定義
「線性串列」(Linear
List)的用途(1/2)
：
例如C/C++程式中的陣列或字串結構，就是一種典
型線性串列的應用。
特性是使用連續記憶空間(Contiguous
Allocation)來儲存，記憶體配置是在編譯時，就
必須配置給相關的變數，容易造成記憶體的浪費。
Array_Name代表佔有
一塊連續的記憶體空
間，並擁有5筆資料的
陣列
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2-1 線性串列的定義
「線性串列」(Linear
List)的用途(2/2）：
又或者如鏈結串列(Linked Lists)結構，也是在
C/C++中，多半是以指標變數型態來實作線性串列
的資料結構。
特點是串列節點的記憶體配置是在執行時才發生，
所以不需事先宣告，或稱為「動態記憶體配置」
指標變數是指內含值為指到記憶體儲存位置的一種資料型態變數
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2-2 陣列
在程式語言中，可看作是一群相同名稱
與資料型態的集合，並且在計憶體中佔
有一塊連續的記憶體空間。
要存取陣列中的資料時，則配合索引值
(index)尋找出資料在陣列的位置。
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2-2 陣列
陣列的五種屬性：
1.起始位址：表示陣列名稱(或陣列第一個元素)
所在記憶體中的起始位址。
2.維度(dimension)：代表此陣列為幾維陣列，如
一維陣列、二維陣列、三維陣列等等。
3.索引上下限：指元素在此陣列中，記憶體所儲
存位置的上標與下標。
4.陣列元素個數：是索引上限與索引下限的差+1
。
5.陣列型態：宣告此陣列的型態，它決定陣列元
素在記憶體所佔有的大小。
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2-2 陣列
多維陣列也必須在一維的實體記憶體中
表示，因為記憶體位置是依線性順序遞
增。通常依照不同的語言，又可區分為
1、以列為主(Row-major)：一列一列來依序儲存
，例如Java、C/C++、PASCAL語言的陣列存放方式
。
2、以行為主(Column-major)：一行一行來依序儲
存，例如Fortran語言的陣列存放方式。
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2-2 陣列
一維陣列：
例如假設A是一維陣列(One-dimension Array)名稱，如
果宣告為A(1:u1)，表示A含有n個元素，其中1為下標，
u1為上標。
A(1)、A(2)、A(3)、…… A(u1)
α α＋1*d α+2*d …… ……… α+( u1-1)*d
=>Loc(A(i))= α+(i-1)*d
(Loc(A(i))表示A(i)所在的住址)
不過如果一維陣列A是宣告為A(l1：u1)，且l1為小於或
等於u1的任何整數，α為起始位址，d為單位空間，那
麼公式如下：
Loc(A(i))=α+(i- l1)*d
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2-2 陣列
範例 2.2.1
假設A為一個具有1000個元素的陣列，每個元素為
4個位元組的實數 ，若A[500]的位置為100016，請
問A[1000]的位址為何？
解答：本題主要是位址以16進位法表式→
→loc(A[1000])=loc(A[500])+(1000-500)×4
=4096+2000=6096
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2-2 陣列
範例 2.2.2
有一PASCAL陣列 A:ARRAY[6..99] of REAL(假設
REAL元素大小有4)，如果已知陣列A的起始位址為
500，則元素A[30]的位址為何？
解答： Loc(A[30])=Loc(A[6]+(30-6)*4=500+96=596
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2-2 陣列
在C語言，一維陣列的語法宣告為：
資料型態
陣列名稱[陣列長度];
資料型態：
表示該陣列存放的資料型態，可以是基本的資料型態(
如int，float，char…等)，或延伸的資料型態，如結
構型態(struct)等。
陣列名稱：
命名規則與變數相同。
元素個數：
表示陣列可存放的資料個數，為一個正整數常數，且陣
列的索引值是從0開始。若是只有中括號，即沒有指定
常數值，則表示是定義不定長度的陣列(陣列的長度會
由設定初始值的個數決定)。
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2-2 陣列
在C語言中定義如下陣列，可如下圖表示：
int Score[5];
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
2-2 陣列
int main()
{
int Score[5]={ 87,66,90,65,70 };
請使用C的一維陣列來計錄5個學生的分數，並使
/* 定義整數陣列
Score[5],並設定5筆成績 */
int count,
Total_Score=0;
用for迴圈列印出每筆學生成績及計算分數總合
for (count=0; count < 5; count++) /* 執行 for 迴圈讀取學生成績 */
{
printf("第 %d 位學生的分數:%d\n", count+1,Score[count]);
Total_Score+=Score[count]; /* 由陣列中讀取分數計算總合 */
}
printf("-------------------------\n");
printf("5位學生的總分:%d\n", Total_Score);
/* 輸出成績總分 */
範例 2.2.3
system("pause");
return 0;
}
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2-2 陣列
二維陣列(Two-dimension Array) ：
可視為一維陣列的延伸，都是處理相同資料型態
資料，差別只在於維度的宣告。
例如一個含有m*n個元素的二維陣列A (1:m,1:n)
，m代表列數，n代表行數，各個元素在直觀平面
上的排列方式如下矩陣，A[4][4]陣列中各個元素
在直觀平面上的排列方式如下
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2-2 陣列
依照不同的語言，可區分為兩種方式：
以列為主(Row-major)
以行為主(Column-major)
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2-2 陣列
以列為主(Row-major)：
存放順序為a11,a12,...a1n,a21,a22,...,..amn，假設α
為陣列A在記憶體中起始位址，d為單位空間，那
麼陣列元素aij與記憶體位址有下列關係：
Loc(aij)= α+n* (i-1)*d+(j-1)*d
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2-2 陣列
以行為主(Column-major)：
存放順序為a11,a21,...am1,a12,a22,...,..amn，假設α
為陣列A在記憶體中起始位址，d為單位空間，那
麼陣列元素aij與記憶體位址有下列關係：
Loc(aij)= α+(i-1)*d+m*(j-1)*d
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2-2 陣列
宣告陣列A(1:2,1:4)，表示法如下：
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2-2 陣列
範例 2.2.4
現有一二維陣列A，有3*5個元素，陣列的起始位
址A(1,1)是100，以列為主(Row-major)排列，每
個元素佔2 bytes，請問A(2,3)的位址？
解答：代入公式，Loc(A92,30=100+(2-1)*5*2+(3-1)*2=114
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2-2 陣列
範例 2.2.5
二維陣列A[1:5,1:6]，如果以column-major存放，
則A(4,5)排在此陣列的第幾個位置？(α=0，d=1)？
解答：Loc(A(4,5))=0+(4-1)*5*1+(5-1)*1=19(下一個)，
所以A(4,5)在第20個位置
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2-2 陣列
範例 2.2.6
陣列(Array)是以PASCAL語言來宣告，每個陣列元
素佔用4個單位的記憶體。若起始位址是255，在
下列宣告中，所列元素存放位置為何？
VarA=array[-55…1,1…55]，求A[1,12]之位址。
VarA=array[5…20,-10…40]，求A[5,-5]之位址。
解答：
1：先求得陣列中的實際列數及行數。
1-(-55)+1=57…列數 ；55-1+1=55...行數
由於PASCAL語言是以列為主的語言，可代入以下計算公式中：
255+55*4*(1-(-55))+(12-1)*4=12619
2：同樣是先求得陣列中的實際列數及行數。
20-5+1=16…列數； 40-(-10)+1=51...行數
255+4*51*((5-5)+4*(-5-(-10))=275
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2-2 陣列
範例 2.2.7
A(-3:5,-4:2)的起始位址A(-3,-4)=1200，以rowmajor排列，每個元素佔1bytes，請問
Loc(A(1,1))=？
解答：
假設A陣列以row-major排列，且α=Loc(A(-3,-4))=100
m=5-(-3)+1=9(列)、n=2-(-4)=1=7(行)，
A(1,1)=1200+1*7*(1-(-3))+1*(1-(-4))=1233
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int i,j,sum,max=0,no=1;
int sale[3][6]={{112,76,95,120,98,68},
{90,120,88,112,108,120},
{108,99,126,90,76,98}};
for(i=0;i<3;i++)
{
sum=0;
for(j=0;j<6;j++)
sum+=sale[i][j];/* 加上每月的業績金額 */
printf("銷售員%d的前半年銷售總金額為 %d\n",i+1,sum);
printf("------------------------------------\n");
}
2-2 陣列
範例 2.2.8
以下是數位新知公司三個業務代表2008年前六個
月每人的業績，請使用二維陣列設計一C程式，計
算以下結果：
for(i=0;i<6;i++)
{
sum=0;
for(j=0;j<3;j++)
sum+=sale[j][i];/* 加上每月的業績金額 */
printf("所有銷售員%d月的銷售總金額為 %d\n",i+1,sum);
printf("=====================================\n");
(1)每個業務代表的前半年業績總額。
(2)1~6月每個月這三個業務代表的總業績。
}
system("pause");
return 0;
}
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解答：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int arr[2][2];
int sum;
printf("|a1 b1|\n");
printf("|a2 b2|\n");
printf("請輸入a1:");
scanf("%d",&arr[0][0]);
printf("請輸入b1:");
scanf("%d",&arr[0][1]);
printf("請輸入a2:");
scanf("%d",&arr[1][0]);
printf("請輸入b2:");
scanf("%d",&arr[1][1]);
sum = arr[0][0]*arr[1][1]-arr[0][1]*arr[1][0];/* 求二階行列式的值 */
printf("|%d %d|\n",arr[0][0],arr[0][1]);
printf("|%d %d|\n",arr[1][0],arr[1][1]);
printf("sum=%d\n",sum);
system("pause");
return 0;
}
2-2 陣列
範例 2.2.9
利用二維陣列的方式來撰寫一個求二階行列式的
範例。二階行列式的計算公式為：a1*b2-a2*b1。
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2-2 陣列
多維陣列（1/3）
在程式語言中，只要記憶體大小許可時，都可以
宣告成更多維陣列來存取資料，通常凡是二維以
上的陣列都可以稱作多維陣列。
三維陣列的表示法和二維陣列一樣，皆可視為是
一維陣列的延伸，如果陣列A宣告為
A(1:u1,1:u2,1:u3)，表示A為一個含有u1*u2*u3元
素的三維陣列，可以看作是一個立方體，如下圖
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2-2 陣列
多維陣列（2/3）
以列為主(Row-major)
在想像轉換公式時，是要計算A(i,j,k)看看它是在一直
線排列的第幾個各位。
可以得到aijk元素的以下位址計算公式：
Loc(A(i,j,k))=α+(i-1)u2u3d+(j-1)u3d+(k-1)d
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2-2 陣列
多維陣列（3/3）
以行為主(Row-major)
也可以直觀地將陣列A視為u3個u2*u1的二為陣列，再將
每個二維陣列視為有u2個一維陣列，每一陣列含有u1個
元素。每個元素有d單位空間，且α為起始位址。
可以得到aijk元素的以下位址計算公式：
Loc( A(aijk)=α+(k-1)u2u1d+(j-1)u1d+(i-l)d
30
2-2 陣列
範例 2.2.10
假設有以列為主排列的程式語言，宣告
A(1:3,1:4,1:5)陣列，且Loc(A(1,1,1))=100，請
求出Loc(A(1,2,3))=？
解答：直接代入公式
Loc(A(1,2,3))=100+(1-1)*4*5*1+(2-1)*5*1+(3-1)*1=107
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2-2 陣列
範例 2.2.11
A(6,4,2)是以行為主方式排列，若α=300，且d=1，
求A(4,4,1)的位址？
解答：這題是以列為主(Row-Major)，直接代入公式即可：
Loc(A(4,4,1))=300+(1-1)*6*4+(4-1)*2+(6-1)=300+6+5=311
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2-2 陣列
範例 2.2.12
假設有一三維陣列宣告為A(1:3,1:4,1:5)，
A(1,1,1)=300，且d=1，試問以行為主的排列方式
下，求出A(2,2,3)的所在位址。
解答： Loc(A(1,2,3))=300+(3-1)*3*4*1+(2-1)*3*1+(2-1)=328
33
2-2 陣列
範例 2.2.13
有一個三維陣列A(-3:2,-2:3,0:4)，以Row-major
方式排列，陣列之起始位址是1118，試求
Loc(A(1,3,3))=？(d=1)
解答：
假設A為u1*u2*u3陣列，且以row-major方式排列
m=2-(-3)+1=6
n=3-(-2)+1=6
o=4-0+1=5
公式如下：
=>Loc(A(1,3,3))=318+(1-(-3))*6*5+(3-(-2))*5+(30)=318+120+25+3=1266
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2-2 陣列
範例 2.2.14
假設有一三維陣列宣告為A(-3:2,-2:3,0:4)，
A(1,1,1)=300，且d=2，試問以行為主的排列方式
下，求出A(2,2,3)的所在位址。
解答：
m=2-(-3)+1=6 n=3-(-2)+1=6 o=4-0+1=5
Loc(A(1,2,3))=300+(3-0)*6*6*1+(2-(-2))*6*1+(2-(-3))*1=437
35
2-2 陣列
在C中，凡是二維以上的陣列都可以稱作
多維陣列
想要提高陣列的維度，只要在宣告陣列
時，增加中括號與索引值即可。
定義方式如下所示：
資料型態 陣列名稱[元素個數] [元素個數] [元素個數]……. [元素個數];
範例：
float No[2][2][2]；
36
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int i,j,k,sum=0;
2-2 陣列
範例 2.2.15
int arr[4][3][3]={{{1,-2,3},{4,5,-6},{8,9,2}},
{{7,-8,9},{10,11,12},{0.8,3,2}},
{{-13,14,15},{16,17,18},{3,6,7}},
{{19,20,21},{-22,23,24},(-6,9,12)}};/* 宣告並設定陣列元素值 */
for(i=0;i<4;i++)
{
A[4][3][3]={{{1,-2,3},{4,5,-6},{8,9,2}},
for(j=0;j<3;j++)
{{7,-8,9},{10,11,12},{0.8,3,2}},
{
{{-13,14,15},{16,17,18},{3,6,7}},
for(k=0;k<3;k++)
{{19,20,21},{-22,23,24},(6-,9,12)}};
{
sum+=arr[i][j][k];
if (arr[i][j][k]<0)
arr[i][j][k]=0;/* 元素值於為負數,則歸零 */
printf("%d\t",arr[i][j][k]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
printf("---------------------------\n");
printf("原陣列的所有元素值總和=%d\n",sum);
printf("---------------------------\n");
system("pause");
return 0;
假設一個三維陣列元素內容如下：
請設計一C程式來計算此陣列中的每個元素值總和，並將
值為負數的元素值都換為0，再輸出新陣列的所有內容。
}
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int num[2][3][3]={{{33,45,67},
{23,71,56},
{55,38,66}},
{{21,9,15 },
{38,69,18},
{90,101,89}}};//宣告三維陣列
int num[2][3][3]={{{33,45,67},
int i,j,k,min=num[0][0][0];//設定main為num陣列的第一個元素
{23,71,56},
for(i=0;i<2;i++)
{55,38,66}},
for(j=0;j<3;j++)
{{21,9,15 },
for(k=0;k<3;k++)
if(min>=num[i][j][k])
{38,69,18},
min=num[i][j][k]; //利用三層迴圈找出最小值
{90,101,89}}}
printf("最小值= %d\n",min);
system("pause");
請設計一支C程式，利用三層巢狀迴圈來找出此2x3x3三
return 0;
維陣列中所儲存數值中的最小值。
}
2-2 陣列
範例 2.2.16
假設一個三維陣列元素內容如下：
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2-2 陣列
結構陣列（1/6）
結構與陣列的作用同樣是用來建立資料集合
以C現有的資料型態作為基礎，允許使用者建立自
訂資料型態，又稱為衍生資料型態（derived
data type）。
簡單來說，就是將一組有相關性卻擁有不同資料
型態的資料組成一組新的資料型態。
結構的架構必須具有結構名稱與結構項目，而且
必須使用關鍵字struct來建立。
39
2-2 陣列
結構陣列（2/6）
結構的基本宣告方式如左下所示：
struct 結構名稱
{
資料型態 結構成員1；
資料型態 結構成員2；
......
範例
struct student
{
char name[10];
int score;
int ID;
};
};
在結構定義中可以使用基本的變數、陣列、指標，甚至
是其它結構成員等。
注意在定義之後的分號不可省略
右上圖為一個結構定義例子，定義學生的姓名與成績
40
2-2 陣列
結構陣列（3/6）
定義了結構之後，便可直接使用它來建立結構物件
結構定義本身就像是個建構物件的藍圖或模子
結構物件則是根據這個藍圖製造出來的成品或模型
每個所建立的結構物件都擁有相同的結構成員
一個宣告建立結構物件的例子如下所示：
struct student s1, s2;
也可以在定義結構的同時宣告建立結構變數，如下：
struct student
{
char name[10];
int score;
int ID;
} s1, s2;
41
2-2 陣列
結構陣列（4/6）
建立結構物件之後，我們可以使用英文句號.來存
取結構成員。
這個句號通常稱之為「點運算子」（dot operator）
只要在結構變數後加上成員運算子"."與結構成員
名稱，就可以直接存取該筆資料：
結構變數.項目成員名稱;
例如我們可以如下設定結構成員
strcpy(s1.name, "Justin");
s1.score = 90;
s1.ID=10001;
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2-2 陣列
結構陣列（5/6）
結構陣列則是將衍生型資料型態(Structure data
type)與陣列的共同應用。
結構則可以集合不同的資料型態，如果同時要記錄
多筆相同結構資料，還是得宣告一個結構陣列型態
。宣告方式如下：
struct 結構型態名稱 結構陣列名稱[元素個素];
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2-2 陣列
結構陣列（6/6）
下面程式碼片段將建立具有五個元素的結構陣列:
struct student
{
char name[10];
int math;
int english;
};
struct student class1[5];
至於要存取的成員，在陣列後方加上“[索引值]”
存取該元素即可，例如：
結構陣列名稱[索引值].陣列成員名稱
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2-2 陣列
字元陣列（1/3）
在C語言中，並沒有稱為字串(string)的基本資料
型態。
如果要在C程式中儲存字串，就必需使用字元陣列
來表示。
‘a’是一個字元常數，是以單引號( ‘ )包括起來。
“a”則是一個字串常數，是以雙引號( “ )包括起來。
兩者的差別在於字串的結束處會多安排1個位元組的空間
來存放’\0‘字元(Null字元，ASCII碼為0)，作為字串
結束時的符號。
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2-2 陣列
字元陣列（2/3）
C字串宣告方式有兩種：
方式1：char 字串變數[字串長度]="初始字串";
方式2：char 字串變數[字串長度]={'字元1', '字元2', ...... ,'字元n', '\0'};
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2-2 陣列
字元陣列（3/3）
以四種宣告方式說明：
char Str_1[6]="Hello";
char Str_2[6]={ 'H', 'e', 'l', 'l', 'o' , '\0'};
char Str_3[ ]="Hello";
char Str_4[ ]={ 'H', 'e', 'l', 'l', 'o', '!' };
Str_4並不是字串常數，因為最後字元並不是'\0'字元，
輸出時會出現奇怪的符號。
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
2-2 陣列
int main()
{
int length;/*用作計算字串的長度*/
在字串的處理中，是字元陣列的應用。通常會需
char str[30];
範例 2.2.17
要知道字串的長度，請設計一C程式，並利用
printf("請輸入字串:");
while迴圈逐一讀取字元，並計算此輸入字串的長
/*輸入字串*/
度。如輸入"changeable"，會輸出長度10。
gets(str);
printf("輸入的字串為:%s\n",str);
length=0;
while (str[length]!='\0')
length++;
printf("此字串有%d個字元\n",length);
system("pause");
return 0;
}
48
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
2-2 陣列
int main()
{
int i=0;
char str[50];
範例 2.2.18
請設計一C程式，將所輸入字串中的大寫字母轉為
printf("請輸入一個字串:");
小寫，小寫字母轉為大寫。如輸入"aPPle"，會輸
gets(str);
出"AppLE"。
while(str[i]!='\0')
{
if(str[i]>=65 && str[i]<=90)
str[i]+=32;/* 大寫換小寫 */
else if (str[i]>=97 && str[i]<=122)
str[i]-=32;/* 小寫換大寫 */
i++;
}
printf("大小寫轉換後的新字串=%s\n",str);
system("pause");
return 0;
}
49
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
2-2 陣列
int main()
{
char arr2[50];
int i,sum;
請設計一C程式，將使用者輸入的原始字串資料反
printf("請輸入一個字串:");
向排列輸出的程式。如"changeable"，會輸出
gets(arr2);
範例 2.2.19
"elbaegnahc"。
for (i=0;i<50;i++)
{
if (arr2[i]=='\0')
break; //如果是使用者輸入字串的結尾就中斷迴圈
sum=i;//紀錄空字元前一個字元的索引
}
for (i=sum;i>=0;i--)
//將使用者輸入字串反向輸出
printf("%c",arr2[i]);
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
50
2-2 陣列
字串陣列（1/2）
字串是以一維的字元陣列來儲存，如果有許多關係
相近的字串集合時，就稱為字串陣列。
屬於二維字元陣列的應用。
字串陣列使用時也必須事先宣告。
51
2-2 陣列
字串陣列（2/2）
C中的字串陣列宣告方式如下：
char 字串陣列名稱[字串數][字元數]；
字串數是表示字串的個數
而字元數是表示每個字串的最大自可存放字元數。
可以在宣告時就設定初值，不過要記得每個字串元素都必須包含於
雙引號之內，例如。
char 字串陣列名稱[字串數][字元數]={ "字串常數1", "字串常數2", "字串常數3"…}；
char Name[5][10]={"John",
"Mary",
"Wilson",
範例
"Candy",
"Allen"
};
52
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
2-2 陣列
int main()
{
char Name[5][10]={"John",
範例 2.2.20
"Mary",
假設一個字串陣列元素內容如下：
"Wilson",
"Candy",
"Mary",
"Allen"};/* 字串陣列的宣告 */
char Name[5][10]={"John",
int i;
"Wilson",
"Candy",
for(i=0;i<5;i++)
"Allen"};// 字串陣列的宣告
printf("Name[%d]=%s\n",i,Name[i]);
/* 印出字串陣列內容 */
請設計一C程式來說明Name字串陣列的宣告與輸出
方式
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
53
2-2 陣列
指標陣列（1/2）
結合了靜態資料結構與動態資料結構的應用，十分
有趣。
每個指標陣列中的元素都是一個指標變數，而元素
值則為指向其它變數的位址值。
54
2-2 陣列
字串陣列（2/2）
一維指標陣列的宣告格式：
：資料型態 *陣列名稱[元素名稱];
以下是宣告一個名稱為p的整數指標陣列：
每個元素(p[i])皆可指向一整數值。
另外一個則是宣告一個名稱為ptr的浮點數指標陣列：
int *p[3];
float *ptr[4];
55
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
char *name[4] = { "Justinian", "Momo", "Becky", "Bush" };/* 一維指標陣列 */
char name1[4][10] = { "Justinian", "Momo", "Becky", "Bush" };/* 二維字串陣列
int i;
printf("---------- 一維指標陣列儲存方式 -------------- \n");
for ( i = 0; i < 4; i++ )
{
char name[4][10] = { "Justinian", "Momo", "Becky", "Bush" };
printf( "name[%d] = \"%s\"\t",i,name[i] );
printf(
"所佔位址：%p
\n", name[i]);
列印name[i]出所佔位址
*/
char *name[4]
= { "Justinian",
"Momo",/*
"Becky",
"Bush" };
}
printf("------------ 二維字串陣列儲存方式-------------- \n");
for ( i = 0; i < 4; i++ )
{
printf( "name1[%d] = \"%s\"\t",i,name1[i] );
printf( "所佔位址：%p \n",&name1[i][0]);/* 列印name1[i]出所佔位址 */
}
system("pause");
return 0;
}
2-2 陣列
範例 2.2.21
*/
假設兩陣列的內容如下：
請設計一C程式來說明一維指標陣列與二維字串陣
列來儲存字串的不同之處。
56
2-3 矩陣
從數學的角度來看，對於m×n矩陣(Matrix)
的形式，可以描述一個電腦中A(m,n)二維
陣列
許多矩陣的運算與應用，都可以使用電腦中的二維
陣列解決，例如討論到兩個矩陣的相加、相乘，或
是某些稀疏矩陣(Sparse Matrix)、轉置矩陣(At)
等等
57
2-3 矩陣
矩陣的運算
從數學的角度來看，矩陣的運算方式可以涵蓋
加法
乘積
轉置
58
2-3 矩陣
矩陣的運算
轉置矩陣
「轉置矩陣」(At)就是把原矩陣的行座標元素與列座標
元素相互調換，假設At為A的轉置矩陣，則有
At[j,i]=A[i,j]如下所示：
m*n矩陣的轉置矩陣的C演算法：
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<n;j++)
arrB[i][j]=arrA[j][i];
59
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int arrB[4][4],i,j;
int arrA[4][4]={ {1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12},{13,14,15,16} };
printf("[請輸入矩陣內容]\n");
for(i=0;i<4;i++)
{
for(j=0;j<4;j++)
{
printf("%d\t",arrA[i][j]);
}
printf("\n");
}
/*進行矩陣轉置的動作*/
for(i=0;i<4;i++)
for(j=0;j<4;j++)
arrB[i][j]=arrA[j][i];
printf("[轉置矩陣內容為]\n");
for(i=0;i<4;i++)
{
for(j=0;j<4;j++)
{
printf("%d\t",arrB[i][j]);
}
printf("\n");/* 列印轉置矩陣內容 */
}
system("pause");
2-3 矩陣
範例 2.3.1
請設計一C程式來實作一4*4二維陣列的轉置矩陣
60
2-3 矩陣
矩陣的運算
矩陣的加法
前題是相加的兩矩陣列數與行數都必須相等，而相加後
矩陣的列數與行數也是相同。例如Amxn+Bmxn=Cmxn。
底下為矩陣相加的例子：
2個m*n矩陣的矩陣相加C演算法：
for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];/* 矩陣C=矩陣A+矩陣B */
61
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
2-3 矩陣
int main()
{
int i,j;
int A[3][3] = {{1,3,5},{7,9,11},{13,15,17}};/* 二維陣列的宣告 */
請設計一C/C++程式來宣告3個二維陣列來實作2個
int
B[3][3] = {{9,8,7},{6,5,4},{3,2,1}};/* 二維陣列的宣告 */
int C[3][3] = {0};
範例 2.3.2
矩陣相加的過程，並顯示兩矩陣相加後的結果。
for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];/* 矩陣C=矩陣A+矩陣B */
printf("[矩陣A和矩陣B相加的結果]\n");
/*印出A+B的內容*/
for(i=0;i<3;i++)
{
for(j=0;j<3;j++)
printf("%d\t",C[i][j]);
printf("\n");
}
system("pause");
return 0;
}
62
2-3 矩陣
矩陣的運算
矩陣相乘
兩個矩陣A與B的相乘，首先必須符合A為一個m*n的矩陣，
B為一個n*p的矩陣，對A*B之後的結果為一個m*p的矩陣C。
m*n矩陣與n*p矩陣的矩陣相乘C演算法：
for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
{
C[i][j]=0;
for(k=0;k<2;k++)
C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];/* 矩陣C=矩陣A+矩陣B */
}
63
/*
[示範]:運算兩個矩陣相乘的結果
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <conio.h>
void MatrixMultiply(int*,int*,int*,int,int,int);
int main()
{
int *A,*B,*C;
int M,N,P;
int i,j;
printf("請輸入矩陣A的維數(M,N): \n");
printf("M= ");
scanf("%d",&M);
printf("N= ");
scanf("%d",&N);
A = (int*)malloc(M*N*sizeof(int));
printf("[請輸入矩陣A的各個元素]\n");
for(i=0;i<M;i++)
for(j=0;j<N;j++)
{
printf("a%d%d=",i,j);
scanf("%d",&A[i*N+j]);
}
printf("請輸入矩陣B的維數(N,P): ");
printf("\nN= ");
scanf("%d",&N);
printf("P= ");
scanf("%d",&P);
B = (int*)malloc(N*P*sizeof(int));
2-3 矩陣
範例 2.3.3
請設計一C程式來實作下列兩個可自行輸入矩陣維
數的相乘過程，並顯示相乘後的結果。
續下頁
64
printf("[請輸入矩陣B的各個元素]\n");
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<P;j++)
{
printf("b%d%d=",i,j);
scanf("%d",&B[i*P+j]);
2-3 矩陣
}
C = (int*)malloc(M*P*sizeof(int));
MatrixMultiply(A,B,C,M,N,P);
printf("[AxB的結果是]\n");
for(i=0;i<M;i++)
{
for(j=0;j<P;j++)
printf("%d\t",C[i*P+j]);
printf("\n");
}
system("pause");
}
void MatrixMultiply(int* arrA,int* arrB,int* arrC,int M,int N,int P)
{
int i,j,k,Temp;
if(M<=0||N<=0||P<=0)
{
printf("[錯誤:維數M,N,P必須大於0]\n");
return;
}
for(i=0;i<M;i++)
for(j=0;j<P;j++)
{
Temp = 0;
for(k=0;k<N;k++)
Temp = Temp + arrA[i*N+k]*arrB[k*P+j];
arrC[i*P+j] = Temp;
}
}
65
2-3 矩陣
稀疏矩陣
對於抽象資料型態而言，我們希望闡述的是在電腦
應用中具備某種意義的特別概念(Concept)。
什麼是稀疏矩陣呢？
「如果一個矩陣中的大部分元素為零的話，就可以稱為
稀疏矩陣」。
典型的稀疏矩陣：
66
2-3 矩陣
稀疏矩陣
對稀疏矩陣而言，實際儲存的資料項目很少，如果
在電腦中利用傳統的二維陣列方式存放，就會十分
浪費儲存的空間。
改進記憶體空間浪費的方法：
利用三項式(3-tuple)的資料結構。我們把每一個非零項
目以(i,j,item-value)來表示。就是假如一個稀疏矩陣
有n個非零項目，那麼可以利用一個A(0:n,1:3)的二維陣
列來表示，我們稱為壓縮矩陣。
67
2-3 矩陣
稀疏矩陣
A(0,1)代表此稀疏矩陣的列數
A(0,2)代表此稀疏矩陣的行數
A(0,3)則是此稀疏矩陣非零項目的總數。
稀疏矩陣
壓縮矩陣
68
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main ()
{
int i,j,NONZERO=0;
int temp=1;
int Sparse[6][6]={ 15,0,0,22,0,-15,0,11,3,0,0,0,
0,0,0,-6,0,0,0,0,0,0,0,0,91,0
,0,0,0,0,0,0,28,0,0,0};/*宣告稀疏矩陣,稀疏矩陣的所有元素設為0*/
int Compress[9][3];
/*宣告壓縮矩陣*/
printf("[稀疏矩陣的各個元素]\n"); /*印出稀疏矩陣的各個元素*/
for (i=0;i<6;i++)
{
for (j=0;j<6;j++)
{
printf("[%d]\t ",Sparse[i][j]);
if (Sparse[i][j] !=0) NONZERO++;
}
printf("\n");
}
/*開始壓縮稀疏矩陣*/
Compress[0][0] = 6;
Compress[0][1] = 6;
Compress[0][2] = NONZERO;
續下頁
for (i=0;i<6;i++)
for (j=0;j<6;j++)
if (Sparse[i][j] != 0)
2-3 矩陣
範例 2.3.4
請設計一C程式來利用3項式(3-tuple)資料結構，
並壓縮6*6稀疏矩陣，以達到減少記憶體不必要的
浪費。
69
{
2-3 矩陣
Compress[temp][0]=i;
Compress[temp][1]=j;
Compress[temp][2]=Sparse[i][j];
temp++;
}
printf("[稀疏矩陣壓縮後的內容]\n"); /*印出壓縮矩陣的各個元素*/
for (i=0;i<NONZERO+1;i++)
{
for (j=0;j<3;j++)
printf("[%d] ",Compress[i][j]);
printf("\n");
}
system("pause");
}
70
2-3 矩陣
上三角形矩陣(Upper
Triangular Matrix)
一種對角線以下元素皆為0的n*n矩陣，可分為
右上三角形矩陣(Right Upper Triangular Matrix)
左上三角形矩陣(Left Upper Triangular Matrix)。
由於上三角形矩陣仍有許多元素為0，為了避免浪
費空間，可以把三角形矩陣的二維模式，儲存在一
維陣列中。
71
2-3 矩陣
右上三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i>j，那麼A(i,j)=0，如下
圖所示：
由於此二維矩陣的非零項目可依序對映成一維矩陣，且
需要一個一維陣列B(1: )來儲存。對映方式也可區分為
以列為主(Row-major)
以行為主(Column-major)兩種陣列記憶體配置方式。
72
2-3 矩陣
右上三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=n*(i-1)-
i * (i  1)
2
+j
以列為主(Row-major)
k=
j * ( j  1)
2
+i
73
2-3 矩陣
範例 2.3.5
假如有一個5x5的右上三角形矩陣A，以行為主對
映到一維陣列B，請問a23所對映B(k)的k值為何？
解答：直接代入右上三角形矩陣公式：
k=
j * ( j  1)
2
+I =
3 * (3  1)
2
+2=5=>對映到B(5)
74
/*
[示範]:上三角矩陣
*/
#include <stdio.h>
#define ARRAY_SIZE 5 /* 矩陣的維數大小 */
int getValue(int ,int);
int A[ARRAY_SIZE][ARRAY_SIZE]={ /*上三角矩陣的內容 */
{7, 8, 12, 21, 9},
{0, 5, 14, 17, 6},
{0, 0, 7, 23, 24},
{0, 0, 0, 32, 19},
{0, 0, 0, 0, 8}};
/* 一維陣列的陣列宣告 */
int B[ARRAY_SIZE*(1+ARRAY_SIZE)/2];
int main()
{
int i=0,j=0;
int index;
printf("==========================================\n");
printf("上三角形矩陣：\n");
for ( i = 0 ; i < ARRAY_SIZE ; i++ )
{
for ( j = 0 ; j < ARRAY_SIZE ; j++ )
printf("\t%d",A[i][j]);
printf("\n");
}
/* 將右上三角矩陣壓縮為一維陣列 */
index=0;
2-3 矩陣
範例 2.3.6
請設計一C程式，將右上三角形矩陣壓縮為一維陣
列
續下頁
75
for ( i = 0 ; i < ARRAY_SIZE ; i++ )
{
for ( j = 0 ; j < ARRAY_SIZE ; j++ )
{
if(A[i][j]!=0) B[index++]=A[i][j];
2-3 矩陣
}
}
printf("==========================================\n");
printf("以一維的方式表示：\n");
printf("\t[");
for ( i = 0 ; i < ARRAY_SIZE ; i++ )
{
for ( j = i ; j < ARRAY_SIZE ; j++ )
printf(" %d",getValue(i,j));
}
printf(" ]");
printf("\n");
system("pause");
}
int getValue(int i, int j) {
int index = ARRAY_SIZE*i - i*(i+1)/2 + j;
return B[index];
}
76
2-3 矩陣
左上三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i>n-j+1時，A(i,j)=0，如
下圖所示：
與右上三角形矩陣相同，對應方式也分為以列為主
及以行為主兩種陣列記憶配體置方式。
77
2-3 矩陣
左上三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=n*(i-1)=n*(i-1)-
以列為主(Row-major)
(i  2) * (( i  2)  1)
+j
2
(i  2) * (i  1)
+j
2
k= n*(j-1)-
( j  2) * ( j  1)
+i
2
78
2-3 矩陣
範例 2.3.7
假如有一個5*5的左上三角形矩陣，以行為主對映
到一維陣列B，請問a23所對映b(k)的k值為何？
( j  2) * ( j  1)
解答：由公式可得k=n*(j-1)+i2
=5*(3-1)+2=10+2-1=11
(3  2) * (3  1)
2
79
2-3 矩陣
左下三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i<j，那麼A(i,j)=0如下圖
所示：
同樣的，對映到一維陣列B(1: n * (2n  1) )的方式，也
可區分為以列為主及以行為主兩種陣列記憶體配置
方式。
80
2-3 矩陣
左下三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=
以列為主(Row-major)
i * (i  1)
+j
2
( j  1) * [1  ( j  1)]
2
k=n*(j-1)+i=n*(j-1)+i- j * (2j  1)
81
2-3 矩陣
範例 2.3.8
有一6x6的左下三角形矩陣，以行為主的方式對映
到一維陣列B，求元素a32所對映B(k)的大值為何？
解答：代入公式可得
j * ( j  1)
代入公式k=n*(j-1)+i- 2
=6*(2-1)+3=6+3-1=8
2 * ( 2  1)
2
82
/*
[示範]:下三角矩陣
*/
#include <stdio.h>
#define ARRAY_SIZE 5 /* 矩陣的維數大小 */
int getValue(int ,int);
int A[ARRAY_SIZE][ARRAY_SIZE]={ /*下三角矩陣的內容 */
{76, 0, 0, 0, 0},
{54, 51, 0, 0, 0},
{23, 8, 26, 0, 0},
{43, 35, 28, 18, 0},
{12, 9, 14, 35, 46}};
/* 一維陣列的陣列宣告 */
int B[ARRAY_SIZE*(1+ARRAY_SIZE)/2];
int main()
{
int i=0,j=0;
int index;
printf("==========================================\n");
printf("下三角形矩陣：\n");
for ( i = 0 ; i < ARRAY_SIZE ; i++ )
{
for ( j = 0 ; j < ARRAY_SIZE ; j++ )
printf("\t%d",A[i][j]);
printf("\n");
}
/* 將左下三角矩陣壓縮為一維陣列 */
index=0;
2-3 矩陣
範例 2.3.9
請設計一C程式，將左下三角形矩陣壓縮為一維陣
列
83
for ( i = 0 ; i < ARRAY_SIZE ; i++ )
{
for ( j = 0 ; j < ARRAY_SIZE ; j++ )
{
if(A[i][j]!=0) B[index++]=A[i][j];
2-3 矩陣
}
}
printf("==========================================\n");
printf("以一維的方式表示：\n");
printf("\t[");
for ( i = 0 ; i < ARRAY_SIZE ; i++ )
{
for ( j = i ; j < ARRAY_SIZE ; j++ )
printf(" %d",getValue(i,j));
}
printf(" ]");
printf("\n");
system("pause");
}
int getValue(int i, int j) {
int index = ARRAY_SIZE*i-i*(i+1)/2+j;
return B[index];
}
84
2-3 矩陣
右下三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i<n-j+1，那麼A(i,j)=0，
如下圖所示
同樣的，對映到一維陣列B(1: n * (n2  1) )的方式，也可
區分為以列為主與以行為主兩種陣列記憶體配置方
式
85
2-3 矩陣
右下三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=
(i  1)
*[1+(i-1)]+j-(n-i)
2
i]
= [i * (i  1)  2 * +j-n
2
=
以列為主(Row-major)
i * (i  1)
+j-n
2
k=
[( j  1) * [1  ( j +i-(n-j)
1)]
2
=
j * ( j  1)
+i-n
2
86
2-3 矩陣
範例 2.3.10
假設有一個4x4的右下三角形矩陣，以行為主對映
到一維陣列B，求元素a32所對映B(k)的k值為何？
解答：
代入公式k= j * ( j  1) +i-n
2
= 2 * (22  1) +3-4
=2
87
解答：
2-3
矩陣
由題意得知B為左下三角形矩陣，因此不為0的個數為
n * (n  1)
2
範例 2.3.11
可將B陣列非零項目的值以列為主(Row-major)對映到一維陣列A中，且如下圖
所示：
一個低部三角陣列(Lower Triangular Array)，B
是一個nxn的陣列，其中B[i,j]=0，i<j。
求B陣列中不為0的最大個數。
 如何將B陣列以最經濟的方式儲存在記憶體中。
寫出在的儲存方式中，如何求得B[i,j]，i>=j。
以列為主的對映方式，bij=A(k)
k=
i * (i  1)
+j
2
88
2-3 矩陣
帶狀矩陣
一種在應用上較為特殊且稀少的矩陣。
定義就是在上三角形矩陣中，右上方的元素皆為零
，在下三角形矩陣中，左下方的元素也為零，也就
是除了第一列與第n列有兩個元素外，其餘每列都
具有三個元素，使得中間主軸附近的值形成類似帶
狀的矩陣。如下圖所示：
89
本章結束
Q&A討論時間
90