Transcript ch05樹狀結構

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第五章 樹狀結構
課前指引
樹(tree)是另外一種典型的資料結構，可用來描述有分支的結構，
屬於一種階層性的非線性結構。樹的應用範圍很廣，包括籃球
賽程、族譜、公司組織圖等，再者計算機上的MS-DOS、Unix
作業系統和檔案系統，均是一種樹狀結構的應用。
備註：可依進度點選小節
章節大綱
5-1 樹的基本觀念
5-6 樹的二元樹表示法
5-2 二元樹
5-7 最佳化二元搜尋樹
5-3 二元樹的儲存方式
5-8 平衡樹
5-4 二元樹走訪
5-9 進階樹狀結構研究
5-5 引線二元樹
5-1 樹的基本觀念
「樹」(Tree)是由一個或一個以上的節點
(Node)組成，存在一個特殊的節點，稱為
樹根(Root)，每個節點可代表一些資料和
指標組合而成的記錄。
其餘節點則可分為n≧0個互斥的集合，即
是T1,T2,T3…Tn，則每一個子集合本身也
是一種樹狀結構及此根節點的子樹。
5
5-1 樹的基本觀念
專有名詞介紹
分支度(Degree)：每個節點所有的子樹個數。
例如像上圖中節點Ｂ的分支度為2，D的分支度
為3，F、K、I、J等為0。
階層或階度(level)：樹的層級，假設樹根A為第
一階層，BCD節點即為階層2，E、F、G、H、I
、J為階層3。
高度(Height)：樹的最大階度。例如上圖的樹高
度為4。
樹葉或稱終端節點(Terminal Nodes)：分支度
為零的節點，如上圖中的K、L、F、G、M、I、
J，下圖則有4個樹葉節點，如ECHJ：
6
5-1 樹的基本觀念
父節點(Parent)：每一個節點有連結的上一層節
點為父節點，例如F的父節點為B，M的父節點
為H，通常在繪製樹狀圖時，我們會將父節點畫
在子節點的上方。
子節點(children)：每一個節點有連結的下一
層節點為子節點，例如A的子節點為B、C、D，B
的子節點為Ｅ、F。
7
5-1 樹的基本觀念
祖先(ancestor)和子孫(decendent)：是指從樹根
到該節點路徑上所包含的節點，而子孫則是在該節
點往下追溯子樹中的任一節點。例如K的祖先為A
、B、E節點，Ｈ的祖先為A、D節點，節點B的子
孫為E、F、K、L。
兄弟節點(siblings)：有共同父節點的節點為兄弟
節點，例如B、C、D為兄弟，H、I、J也為兄弟。
非終端節點(Nonterminal Nodes)：樹葉以外的節
點，如A、B、C、D、E、H等。
高度(Height)：樹的最大階度，例如此樹形圖的高
度為4。
同代(Generation)：具有相同階層數的節點，例如
E、F、G、H、I、J，或是B、C、D。
8
5-2 二元樹
二元樹的特性
二元樹是一種有序樹(Order Tree)，並由節點所
組成的有限集合，這個集合若不是空集合，就
是由一個樹根與左子樹(Left Subtree)和右子樹
(Right Subtree)所組成。如下圖所示：
9
5-2 二元樹
二元樹與樹不同的特性：
1.在二元樹中，階度(Level)為i的節點數最多
是2i-1(i0)：
例如有一種特殊的二元樹結構，稱為完滿二元樹
(Fully Binary Tree)，也就是如果二元樹的高度為k
，在第k階層樹的節點數就為2k-1，如下圖所示：
10
5-2 二元樹
從這完滿二元樹中，就可實證這個特性，從圖中得知
當深度為4 ，共有24-1=8個節點。我們也可利用數學
歸納法證明：
當i=1時，只有樹根一個節點，所以2i-1=20=1成立。
假設對於j，且1ji，階度為j的最多點數2j-1個成立，則在j=i
階度上的節點最多為2i-1個。則當j=i+1時，因為二元樹中每一
個節點的分支度都不大於2，因此在階度j=i+1時的最多節點數
2*2i-1=2i，由此得證。
2.階度為k的二元樹總節點數是2k-1：
由上圖的完滿二元樹，其節點總數為level 1到level k
中各層level中最大節點的總和：
11
5-2 二元樹
3.對於任何非空二元樹T，如果n0為樹葉節點數
，且分支度為2的節點數是n2，則有n0= n2+1：
假設n是節點總數，n1是分支度等於1的節點數，可得
n= n0+n1+n2，
令B=n-1，B是節點的分支總數，且B= n0+2n1，因為
二元樹中每個節點的分支數，不是1就是2，我們可
得下式：
n-1= n0+2n1，且n= n0+n1+n2
=> n0= n2+1
12
5-2 二元樹
4.高度為k的二元樹，總節點數最少為k：
由於每一階度至少要有一個節點，所以總節點數至少
為k。
歪斜樹(Skewed Binary Tree)就是這種典型的範例，
例如當一個二元樹完全沒有右節點或左節點時，就把
它稱為左歪斜樹或右歪斜樹。
13
5-2 二元樹
特殊二元樹簡介
完整二元樹(Complete Binary Tree)
如果二元樹的深度為h，所含的節點數小於2h-1，但
其節點的編號方式如同深度為h的完滿二元樹一般，
從左到右，由上到下的順序一一對應結合。
對於完整二元樹而言，假設有N個節點，那麼此二元
樹的階層 (Level)h為
。如下圖所示：
14
5-2 二元樹
嚴格二元樹(Strictly Binary Tree)
二元樹中的每一個非終端節點均有非空的左右子樹，
如下圖：
15
5-2 二元樹
範例 5.3.1
假如有一個非空樹，其分支度為5，已知分支度
為i的節點數有i個，其中1≤i≤5，請問終端節點數
總數是多少？
解答：41個
16
5-3 二元樹的儲存方式
一維陣列表示法
使用循序的一維陣列來表示二元樹，首先可將
此二元樹假想成一個完滿二元樹(Full Binary
Tree)，而且第k個階度具有2k-1個節點，並且依
序存放在此一維陣列中。
使用一維陣列建立二元樹的表示方法及索引值
的配置：
17
5-3 二元樹的儲存方式
一維陣列中的索引值有以下關係：
1.左子樹索引值是父節點索引值*2。
2.右子樹索引值是父節點索引值*2+1。
二元搜尋樹具有以下特點：
1.可以是空集合，但若不是空集合則節點上一定要有一個
鍵值。
2.每一個樹根的值需大於左子樹的值。
3.每一個樹根的值需小於右子樹的值。
4.左右子樹也是二元搜尋樹。
5.樹的每個節點值都不相同。
18
5-3 二元樹的儲存方式
示範將一組資料32、25、16、35、27，
建立一棵二元搜尋樹：
C的二元樹建立演算法如下：
Btree_create(int *btree,int *data,int length)
{
for (i=1;i<length;i++)
printf("[%2d] ",data[i]);
19
5-3 二元樹的儲存方式
for(i=1;i<9;i++) /*把原始陣列中的值逐一比對*/
{
for(level=1;btree[level]!=0;)/*比較樹根及陣列內的值*/
{
if(data[i]>btree[level]) /*如果陣列內的值大於樹根，則往右子樹比較*/
level=level*2+1;
else /*如果陣列內的值小於或等於樹根，則往左子樹比較*/
level=level*2;
} /*如果子樹節點的值不為0，則再與陣列內的值比較一次*/
btree[level]=data[i]; /*把陣列值放入二元樹*/
}
20
5-3 二元樹的儲存方式
範例 5.3.2
請設計一C程式，依序輸入一棵二元樹節點的資
料，分別是0、6、3、5、4、7、8、9、2，並
建立一棵二元搜尋樹，最後輸出此儲存此二元
樹的一維陣列。
21
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void Btree_create(int *btree,int *data,int length)
{
int i,level;
for(i=1;i<length;i++) /*把原始陣列中的值逐一比對*/
{
解答
for(level=1;btree[level]!=0;)/*比較樹根及陣列內的值*/
請參考程式CH05_01.c，而此陣列值在二元樹中的存放
{
if(data[i]>btree[level]) /*如果陣列內的值大於樹根，則往右子樹比較*/
情形：
level=level*2+1;
else /*如果陣列內的值小於或等於樹根，則往左子樹比較*/
level=level*2;
}
/*如果子樹節點的值不為0，則再與陣列內的值比較一次*/
btree[level]=data[i]; /*把陣列值放入二元樹*/
}
}
int main()
{
int i,length=9;
int data[]={0,6,3,5,4,7,8,9,2};/*原始陣列*/
int btree[16]={0}; /*存放二元樹陣列*/
printf("原始陣列內容：\n");
for(i=0;i<length;i++)
22
5-3 二元樹的儲存方式
printf("[%2d] ",data[i]);
printf("\n");
Btree_create(btree,data,9);
printf("二元樹內容：\n");
for (i=1;i<16;i++)
printf("[%2d] ",btree[i]);
printf("\n");
system("pause");
return 0;
5-3 二元樹的儲存方式
}
23
5-3 二元樹的儲存方式
串列表示法
使用串列來表示二元樹的好處是對於節點的增加與
刪除相當容易，缺點是很難找到父節點，除非在每
一節點多增加一個父欄位。
以上述宣告而言，此節點所存放的資料型態為整數
。如果使用C的結構指令，可寫成如下的宣告：
struct tree
{
int data;
struct tree *left;
struct tree *right;
}
typedef struct tree node;
typedef node *btree;
24
5-3 二元樹的儲存方式
以串列方式建立二元樹的C演算法如下：
btree creat_tree(btree root,int val)
{
btree newnode,current,backup;
newnode=(btree)malloc(sizeof(node));
newnode->data=val;
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
if(root==NULL)
{
root=newnode;
return root;
}
else
{
for(current=root;current!=NULL;)
{
25
5-3 二元樹的儲存方式
backup=current;
if(current->data > val)
current=current->left;
else
current=current->right;
}
if(backup->data >val)
backup->left=newnode;
else
backup->right=newnode;
}
return root;
}
26
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct tree
{ int data;
struct tree *left,*right;
};
typedef struct tree node;
typedef node *btree;
btree creat_tree(btree,int);
int main()
{
int i,data[]={5,6,24,8,12,3,17,1,9};
btree ptr=NULL;
btree root=NULL;
for(i=0;i<9;i++)
ptr=creat_tree(ptr,data[i]);
/*建立二元樹*/
printf("左子樹:\n");
root=ptr->left;
while(root!=NULL)
{
printf("%d\n",root->data);
root=root->left;
}
printf("--------------------------------\n");
5-3 二元樹的儲存方式
範例 5.3.2
請設計一C程式，依序輸入一棵二元樹節點的資
料，分別是5,6,24,8,12,3,17,1,9，利用鏈結串列
來建立二元樹，最後並輸出其左子樹與右子樹
。
27
printf("右子樹:\n");
root=ptr->right;
while(root!=NULL)
{
printf("%d\n",root->data);
root=root->right;
}
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
btree creat_tree(btree root,int val) /*建立二元樹函數*/
{
btree newnode,current,backup;
newnode=(btree)malloc(sizeof(node));
newnode->data=val;
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
if(root==NULL)
{
root=newnode;
return root;
}
else
5-3 二元樹的儲存方式
28
{
5-3 二元樹的儲存方式
for(current=root;current!=NULL;)
{
backup=current;
if(current->data > val)
current=current->left;
else
current=current->right;
}
if(backup->data >val)
backup->left=newnode;
else
backup->right=newnode;
}
return root;
}
29
5-4 二元樹走訪
中序走訪
中序走訪(Inorder Traversal)是LDR的組合，也
就是從樹的左側逐步向下方移動，直到無法移動
，再追蹤此節點，並向右移動一節點。
如果無法再向右移動時，可以返回上層的父節點
，並重覆左、中、右的步驟進行。如下所示：
1.走訪左子樹。
2.拜訪樹根。
3.走訪右子樹。
30
5-4 二元樹走訪
右圖的中序走訪為：FDHGIBEAC
中序走訪的C遞迴演算法如下：
void in(btree ptr)/*中序走訪*/
{
if (ptr != NULL)
{
in(ptr->left);
printf("[%2d] ",ptr->data);
in(ptr->right);
}
}
31
5-4 二元樹走訪
後序走訪
後序走訪(Postorder Traversal)是LRD的組合，
走訪的順序是先追蹤左子樹，再追蹤右子樹，最
後處理根節點，反覆執行此步驟。如下所示：
1.走訪左子樹。
2.走訪右子樹。
3.拜訪樹根。
右圖的後序走訪為：FHIGDEBCA
32
5-4 二元樹走訪
後序走訪的C遞迴演算法如下：
void post(btree ptr)/*後序走訪*/
{
if (ptr != NULL)
{
post(ptr->left);
post(ptr->right);
printf("[%2d] ",ptr->data);
}
}
33
5-4 二元樹走訪
前序走訪
前序走訪(Preorder Traversal)是DLR的組合，
也就是從根節點走訪，再往左方移動，當無法
繼續時，繼續向右方移動，接著再重覆執行此
步驟。如下所示：
1.拜訪樹根。
2.走訪左子樹。
3.走訪右子樹。
右圖的前序走訪為：ABDFGHIEC
34
5-4 二元樹走訪
後序走訪的C遞迴演算法如下：
void post(btree ptr)/*後序走訪*/
{
if (ptr != NULL)
{
post(ptr->left);
post(ptr->right);
printf("[%2d] ",ptr->data);
}
}
35
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.1
請問以下二元樹的中序、前序及後序表示法為
何？
解答:
中序走訪為：DBEACF
前序走訪為：ABDECF
後序走訪為：DEBFCA
36
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.2
請問下列二元樹的中序、前序及後序走訪的結
果為何？
解答:
前序：ABDHIECFJKGLM
中序：HDIBEAJFKCLGM
後序：HIDEBJKFLMGCA
37
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct tree
{ int data;
struct tree *left,*right;
};
typedef struct tree node;
typedef node *btree;
btree creat_tree(btree,int);
void inorder(btree ptr)
/*中序走訪副程式*/
{
if(ptr!=NULL)
{
inorder(ptr->left);
printf("[%2d] ",ptr->data);
inorder(ptr->right);
}
}
int main()
{
int i,data[]={5,6,24,8,12,3,17,1,9};
btree ptr=NULL;
btree root=NULL;
for(i=0;i<9;i++)
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.3
請設計一C程式，依序輸入一棵二元樹節點的資
料，分別是5,6,24,8,12,3,17,1,9，利用鏈結串列
來建立二元樹，最後並進行中序走訪，各位會
發現可以輕鬆完成由小到大的排序。
38
ptr=creat_tree(ptr,data[i]);
/*建立二元樹*/
5-4 二元樹走訪
printf("====================\n");
printf("排序完成結果：\n");
inorder(ptr); /*中序走訪*/
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
btree creat_tree(btree root,int val) /*建立二元樹函數*/
{
btree newnode,current,backup;
newnode=(btree)malloc(sizeof(node));
newnode->data=val;
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
if(root==NULL)
{
root=newnode;
return root;
}
else
{
for(current=root;current!=NULL;)
39
{
5-4 二元樹走訪
backup=current;
if(current->data > val)
current=current->left;
else
current=current->right;
}
if(backup->data >val)
backup->left=newnode;
else
backup->right=newnode;
}
return root;
}
40
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.4
請依序輸入一棵二元樹節點的資料，分別是
7,4,1,5,16,8,11,12,15,9,2，首先手繪出此二元
樹，並設計一C/C++程式，輸出此二元樹的中序
、前序與後序的走訪結果。
41
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct tree
{ int data;
struct tree *left,*right;
};
typedef struct tree node;
typedef node
*btree;
解答:
btree creat_tree(btree,int);
void inorder(btree ptr)
/*中序走訪副程式*/
{
if(ptr!=NULL)
{
inorder(ptr->left);
printf("[%2d] ",ptr->data);
inorder(ptr->right);
}
}
void postorder(btree ptr)/*後序走訪*/
{
if (ptr != NULL)
{
postorder(ptr->left);
postorder(ptr->right);
5-4 二元樹走訪
42
printf("[%2d] ",ptr->data);
}
}
void preorder(btree ptr)/*前序走訪*/
{
if (ptr != NULL)
{
printf("[%2d] ",ptr->data);
preorder(ptr->left);
preorder(ptr->right);
}
}
int main()
{
int i,data[]={7,4,1,5,16,8,11,12,15,9,2};
btree ptr=NULL;
btree root=NULL;
for(i=0;i<11;i++)
ptr=creat_tree(ptr,data[i]);
/*建立二元樹*/
printf("=======================================================\n");
printf("中序式走訪結果：\n");
inorder(ptr); /*中序走訪*/
printf("\n");
printf("=======================================================\n");
5-4 二元樹走訪
43
printf("後序式走訪結果：\n");
postorder(ptr); /*中序走訪*/
printf("\n");
printf("=======================================================\n");
printf("前序式走訪結果：\n");
preorder(ptr); /*中序走訪*/
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
btree creat_tree(btree root,int val) /*建立二元樹函數*/
{
btree newnode,current,backup;
newnode=(btree)malloc(sizeof(node));
newnode->data=val;
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
if(root==NULL)
{
root=newnode;
return root;
}
else
{
5-4 二元樹走訪
44
for(current=root;current!=NULL;)
{
backup=current;
if(current->data > val)
current=current->left;
else
current=current->right;
}
if(backup->data >val)
backup->left=newnode;
else
backup->right=newnode;
}
return root;
}
5-4 二元樹走訪
45
5-4 二元樹走訪
二元樹節點的插入與刪除
二元樹搜尋的C演算法：
btree search(btree ptr,int val) /*搜尋二元樹某鍵值的函數*/
{
while(1)
{
if(ptr==NULL)
/*沒找到就傳回NULL*/
return NULL;
if(ptr->data==val)
/*節點值等於搜尋值*/
return ptr;
else if(ptr->data > val) /*節點值大於搜尋值*/
ptr=ptr->left;
else
ptr=ptr->right;
}
}
46
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct tree
{ int data;
struct tree *left,*right;
};
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.5
請實作一個二元樹的搜尋程式，首先建立一個
二元搜尋樹，並輸入要尋找的值。如果節點中
有相等的值，會顯示出搜尋的次數。如果找不
到這個值，也會顯示訊息，二元樹的節點資料
依序為7,1,4,2,8,13,12,11,15,9,5。
typedef struct tree node;
typedef node *btree;
btree creat_tree(btree root,int val)
{
btree newnode,current,backup;
newnode=(btree)malloc(sizeof(node));
newnode->data=val;
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
if(root==NULL)
{
root=newnode;
return root;
}
else
{
for(current=root;current!=NULL;)
{
47
backup=current;
if(current->data > val)
current=current->left;
else
current=current->right;
5-4 二元樹走訪
}
if(backup->data >val)
backup->left=newnode;
else
backup->right=newnode;
}
return root;
}
btree search(btree ptr,int val) /*搜尋二元樹副程式*/
{
int i=1;
/*判斷執行次數的變數*/
while(1)
{
if(ptr==NULL)
/*沒找到就傳回NULL*/
return NULL;
if(ptr->data==val)
/*節點值等於搜尋值*/
{
printf("共搜尋 %3d 次\n",i);
return ptr;
}
else if(ptr->data > val) /*節點值大於搜尋值*/
48
ptr=ptr->left;
5-4 二元樹走訪
else
ptr=ptr->right;
i++;
}
}
int main()
{
int i,data,arr[]={7,1,4,2,8,13,12,11,15,9,5};
btree ptr=NULL;
printf("[原始陣列內容]\n");
for (i=0;i<11;i++)
{
ptr=creat_tree(ptr,arr[i]); /*建立二元樹*/
printf("[%2d] ",arr[i]);
}
printf("\n");
printf("請輸入搜尋值：\n");
scanf("%d",&data);
if((search(ptr,data)) !=NULL)
/*搜尋二元樹*/
printf("你要找的值 [%3d] 有找到!!\n",data);
else
printf("您要找的值沒找到!!\n");
system("pause");
return 0;
}
49
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct tree
{ int data;
struct tree *left,*right;
};
typedef struct tree node;
typedef node *btree;
btree creat_tree(btree root,int val)
{
btree newnode,current,backup;
newnode=(btree)malloc(sizeof(node));
newnode->data=val;
newnode->left=NULL;
newnode->right=NULL;
if(root==NULL)
{
root=newnode;
return root;
}
else
{
for(current=root;current!=NULL;)
{
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.6
請實作一個二元樹的搜尋C程式，首先建立一個
二元搜尋樹，二元樹的節點資料依序為
7,1,4,2,8,13,12,11,15,9,5，請輸入一鍵值，如
不在此二元樹中，則將其加入此二元樹。
50
backup=current;
5-4 二元樹走訪
if(current->data > val)
current=current->left;
else
current=current->right;
}
if(backup->data >val)
backup->left=newnode;
else
backup->right=newnode;
}
return root;
}
btree search(btree ptr,int val) /*搜尋二元樹副程式*/
{
while(1)
{
if(ptr==NULL)
/*沒找到就傳回NULL*/
return NULL;
if(ptr->data==val)
/*節點值等於搜尋值*/
return ptr;
else if(ptr->data > val) /*節點值大於搜尋值*/
ptr=ptr->left;
else
51
ptr=ptr->right;
}
}
void inorder(btree ptr)
/*中序走訪副程式*/
{
if(ptr!=NULL)
{
inorder(ptr->left);
printf("[%2d] ",ptr->data);
inorder(ptr->right);
}
}
int main()
{
int i,data,arr[]={7,1,4,2,8,13,12,11,15,9,5};
btree ptr=NULL;
printf("[原始陣列內容]\n");
for (i=0;i<11;i++)
{
ptr=creat_tree(ptr,arr[i]); /*建立二元樹*/
printf("[%2d] ",arr[i]);
}
printf("\n");
printf("請輸入搜尋鍵值：\n");
5-4 二元樹走訪
52
scanf("%d",&data);
if((search(ptr,data))!=NULL)
/*搜尋二元樹*/
printf("二元樹中有此節點了!\n",data);
else
{
ptr=creat_tree(ptr,data);
inorder(ptr);
}
system("pause");
return 0;
}
5-4 二元樹走訪
53
5-4 二元樹走訪
二元樹節點的刪除則稍為複雜，可分為以
下三種狀況：
刪除的節點為樹葉：只要將其相連的父節點指
向NULL即可。
刪除的節點只有一棵子樹，如下圖刪除節點1，
就將其右指標欄放到其父節點的左指標欄：
54
5-4 二元樹走訪
刪除的節點有兩棵子樹，如下圖刪除節點4，方
式有兩種，雖然結果不同，但都可符合二元樹
特性：
1.找出中序立即前行者(inorder immediate
successor)，即是將欲刪除節點的左子樹最大者向上
提，在此即為節點2，簡單來說，就是在該節點的左
子樹，往右尋找，直到右指標為NULL，這個節點就
是中序立即前行者。
55
5-4 二元樹走訪
2.找出中序立即後繼者(inorder immediate
successor)，即是將欲刪除節點的右子樹最小者向上
提，在此即為節點5，簡單來說，就是在該節點的右
子樹，往左尋找，直到左指標為NULL，這個節點就
是中序立即後繼者。
範例 5.4.7
請將32、24、57、28、10、43、72、62，依中
序方式存入可放10個節點(node)之陣列內，試
繪圖與說明節點在陣列中相關位置？如果插入
資料為30，試繪圖及寫出其相關動作與位置變
化？接著如再刪除的資料為32，試繪圖及寫出
其相關動作與位置變化。
56
5-4 二元樹走訪
解答：
57
5-4 二元樹走訪
插入資料為30：
58
5-4 二元樹走訪
刪除的資料為32：
59
5-4 二元樹走訪
二元運算樹
建立的方法可根據以下二種規則：
考慮算術式中運算子的結合性與優先權，再適當地加上括號，其
中樹葉一定是運算元，內部節點一定是運算子。
再由最內層的括號逐步向外，利用運算子當樹根，左邊運算元當
左子樹，右邊運算元當右子樹，其中優先權最低的運算子做為此二
元運算樹的樹根。
現在我們嘗試來練習將A-B*(-C+-3.5)運算式，
轉為二元運算樹，並求出此算術式的前序
(prefix)與後序(postfix)表示法。
 A-B*(-C+-3.5)
 (A-(B*((-C)+(-3.5))))

60
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.8
請畫出出下列算術式的二元運算樹：
(a+b)*d+e/(f+a*d)+c
解答：
61
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.9
請問以下二元運算樹的中序、後序與前序的表
示法為何？
解答：
中序：A+B*C-D+E/F
前序：+-+A*BCD/EF
後序：ABC*+D-E/F+
62
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct Node/*二元樹的節點宣告*/
{
int value;/*節點資料*/
struct Node *left_Node;/*指向左子樹的指標*/
struct Node *right_Node;/*指向左右子樹的指標*/
};
typedef struct Node TreeNode;/*定義新的二元樹節點資料型態*/
typedef TreeNode *BinaryTree;/*定義新的二元樹鏈結資料型態*/
BinaryTree rootNode;//*二元樹的根節點的指標 */
6*3+9%5
BinaryTree1.
rootNode2;
/*將指定的值加入到二元樹中適當的節點*/
2. 1*2+3%2+6/3+2*2
void Add_Node_To_Tree(int value)
{
BinaryTree currentNode;
BinaryTree newnode;
int flag=0;/*用來紀錄是否插入新的節點*/
newnode=(BinaryTree) malloc(sizeof(TreeNode));
/*建立節點內容*/
newnode->value=value;
newnode->left_Node=NULL;
newnode->right_Node=NULL;
/*如果為空的二元樹,便將新的節點設定為根節點*/
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.10
請設計一C程式，來計算以下兩中序式的值，並
求得其前序式與後序式。
63
if(rootNode==NULL)
rootNode=newnode;
else
{
currentNode=rootNode;/*指定一個指標指向根節點*/
while(!flag)
if (value<currentNode->value)
{ /*在左子樹*/
if(currentNode->left_Node==NULL)
{
currentNode->left_Node=newnode;
flag=1;
}
else
currentNode=currentNode->left_Node;
}
else
{ /*在右子樹*/
if(currentNode->right_Node==NULL)
{
currentNode->right_Node=newnode;
flag=1;
}
else
5-4 二元樹走訪
64
currentNode=currentNode->right_Node;
}
}
}
5-4 二元樹走訪
BinaryTree create(char sequence[100],int index,int ArraySize)
{
BinaryTree tempNode;
if ( sequence[index]==0 ||index >= ArraySize )/*作為出口條件*/
return NULL;
else {
tempNode=(BinaryTree)malloc(sizeof(TreeNode));
tempNode->value=(int)sequence[index];
tempNode->left_Node=NULL;
tempNode->right_Node=NULL;
/*建立左子樹*/
tempNode->left_Node = create(sequence, 2*index,ArraySize);
/*建立右子樹*/
tempNode->right_Node = create(sequence, 2*index+1,ArraySize);
return tempNode;
}
}
/*preOrder(前序走訪)方法的程式內容*/
void preOrder(BinaryTree node)
65
{
5-4 二元樹走訪
if ( node != NULL ) {
printf("%c",(char)node->value);
preOrder(node->left_Node);
preOrder(node->right_Node);
}
}
/*inOrder(中序走訪)方法的程式內容*/
void inOrder(BinaryTree node)
{
if ( node != NULL ) {
inOrder(node->left_Node);
printf("%c",(char)node->value);
inOrder(node->right_Node);
}
}
/*postOrder(後序走訪)方法的程式內容*/
void postOrder(BinaryTree node)
{
if ( node != NULL ) {
postOrder(node->left_Node);
postOrder(node->right_Node);
printf("%c",(char)node->value);
}
66
}
/*判斷運算式如何運算的方法宣告內容*/
int condition(char oprator, int num1, int num2)
{
switch ( oprator ) {
case '*': return ( num1 * num2 ); /*乘法請回傳num1 * num2*/
case '/': return ( num1 / num2 ); /*除法請回傳num1 / num2*/
case '+': return ( num1 + num2 ); /*加法請回傳num1 + num2*/
case '-': return ( num1 - num2 ); /*減法請回傳num1 - num2*/
case '%': return ( num1 % num2 ); /*取餘數法請回傳num1 % num2*/
}
return -1;
}
/*傳入根節點,用來計算此二元運算樹的值*/
int answer(BinaryTree node)
{
int firstnumber = 0;
int secondnumber = 0;
/*遞迴呼叫的出口條件*/
if ( node->left_Node == NULL && node->right_Node == NULL )
/*將節點的值轉換成數值後傳回*/
return node->value-48;
else {
firstnumber = answer(node->left_Node);/*計算左子樹運算式的值*/
5-4 二元樹走訪
67
secondnumber = answer(node->right_Node); /*計算右子樹運算式的值*/
return condition((char)node->value, firstnumber, secondnumber);
}
}
int main(void)
{
/* 第一筆運算式 */
char information1[] = {' ','+','*','%','6','3','9','5' };
/* 第二筆運算式 */
char information2[] = {' ','+','+','+','*','%','/','*',
'1','2','3','2','6','3','2','2' };
rootNode=(BinaryTree) malloc(sizeof(TreeNode));
rootNode2=(BinaryTree) malloc(sizeof(TreeNode));
// create方法可以將二元樹的陣列表示法轉換成鏈結表示法
rootNode = create(information1,1,8);
printf("====二元運算樹數值運算範例 1: ====\n");
printf("=================================\n");
printf("===轉換成中序運算式===: ");
inOrder(rootNode);
printf("\n===轉換成前序運算式===: ");
preOrder(rootNode);
printf("\n===轉換成後序運算式===: ");
postOrder(rootNode);
// 計算二元樹運算式的運算結果
5-4 二元樹走訪
68
printf("\n此二元運算樹,經過計算後所得到的結果值: ");
printf("%d",answer(rootNode));
//建立第二棵二元搜尋樹物件
rootNode2 = create(information2,1,16);
printf("\n\n");
printf("====二元運算樹數值運算範例 2: ====\n");
printf("=================================\n");
printf("===轉換成中序運算式===: ");
inOrder(rootNode2);
printf("\n===轉換成前序運算式===: ");
preOrder(rootNode2);
printf("\n===轉換成後序運算式===: ");
postOrder(rootNode2);
// 計算二元樹運算式的運算結果
printf("\n此二元運算樹,經過計算後所得到的結果值: ");
printf("%d",answer(rootNode2));
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
5-4 二元樹走訪
69
5-4 二元樹走訪
範例 5.4.11
請將A/B**C+D*E-A*C化為二元運算樹。
解答：
加括號成為(((A/B**C))+(D*E))-(A*C))，如下圖：
70
5-5 引線二元樹
二元樹轉為引線二元樹
先將二元樹經由中序走訪方式依序排出，並將所有空鏈結改成
引線。
如果引線鏈結是指向該節點的左鏈結，則將該引線指到中序走
訪順序下前一個節點。
如果引線鏈結是指向該節點的右鏈結，則將該引線指到中序走
訪順序下的後一個節點。
指向一個空節點，並將此空節點的右鏈結指向自己，而空節點
的左子樹是此引線二元樹。
引線二元樹的基本結構如下：
LBIT：左控制位元
LCHILD：左子樹鏈結
DATA：節點資料
RCHILD：右子樹鏈結
RBIT：右控制位元
71
5-5 引線二元樹
和鏈結串列所建立的二元樹不同是在於，為了
區別正常指標或引線而加入的兩個欄位：LBIT
及RBIT。
如果LCHILD為正常指標，則LBIT=1
如果LCHILD為引線，則LBIT=0
如果RCHILD為正常指標，則RBIT=1
如果RCHILD為引線，則RBIT=0
節點的宣告方式如下：
struct t_tree
{
int DATA,LBIT,RBIT;
struct t_tree* LCHILD,RCHILD;
};
typedef struct t_tree node;
type node *tbtree;
72
5-5 引線二元樹
練習如何將下圖二元樹轉為引線二元樹：
步驟：
1.以中序追蹤二元樹：HDIBEAFCG
2.找出相對應的引線二元樹，並按照HDIBEAFCG順
序求得下圖：
73
5-5 引線二元樹
74
5-5 引線二元樹
使用引線二元樹的優缺點：
優點：
1.在二元樹做中序走訪時，不需要使用堆疊處理，但一般二元
樹卻需要。
2.由於充份使用空鏈結，所以避免了鏈結閒置浪費的情形。另
外中序走訪時的速度也較快，節省不少時間。
3.任一個節點都容易找出它的中序後繼者與中序前行者，在中
序走訪時可以不需使用堆疊或遞迴。
缺點：
1.在加入或刪除節點時的速度較一般二元樹慢。
2.引線子樹間不能共享。
75
5-5 引線二元樹
範例 5.5.1
試述如何對一二元樹作中序走訪不用到堆疊或
遞迴？
解答：
使用引線二元樹(thread binary tree) 即可不必使用堆
疊或遞迴來進行中序走訪。因為右引線可以指向中序
走訪的下一個節點，而左引線可指向中序走訪的前一
個節點。
76
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
struct Node {
int value;
int left_Thread;
int right_Thread;
struct Node *left_Node;
struct Node *right_Node;
};
typedef struct Node ThreadNode;
typedef ThreadNode *ThreadBinaryTree;
ThreadBinaryTree rootNode;
//將指定的值加入到二元引線樹
void Add_Node_To_Tree(int value) {
ThreadBinaryTree newnode;
ThreadBinaryTree previous;
newnode=(ThreadBinaryTree)malloc(sizeof(ThreadNode));
newnode->value=value;
newnode->left_Thread=0;
newnode->right_Thread=0;
newnode->left_Node=NULL;
newnode->right_Node=NULL;
ThreadBinaryTree current;
ThreadBinaryTree parent;
5-5 引線二元樹
範例 5.5.2
試設計一C程式，利用引線二元樹來追蹤某一節
點X的中序前行者與中序後續者。
77
previous=(ThreadBinaryTree)malloc(sizeof(ThreadNode));
previous->value=value;
previous->left_Thread=0;
previous->right_Thread=0;
previous->left_Node=NULL;
previous->right_Node=NULL;
int pos;
//設定引線二元樹的開頭節點
if(rootNode==NULL) {
rootNode=newnode;
rootNode->left_Node=rootNode;
rootNode->right_Node=NULL;
rootNode->left_Thread=0;
rootNode->right_Thread=1;
return;
}
//設定開頭節點所指的節點
current=rootNode->right_Node;
if(current==NULL){
rootNode->right_Node=newnode;
newnode->left_Node=rootNode;
newnode->right_Node=rootNode;
return ;
}
5-5 引線二元樹
78
parent=rootNode; //父節點是開頭節點
pos=0; //設定二元樹中的行進方向
while(current!=NULL) {
if(current->value>value) {
if(pos!=-1) {
pos=-1;
previous=parent;
}
parent=current;
if(current->left_Thread==1)
current=current->left_Node;
else
current=NULL;
}
else {
if(pos!=1) {
pos=1;
previous=parent;
}
parent=current;
if(current->right_Thread==1)
current=current->right_Node;
else
current=NULL;
5-5 引線二元樹
79
}
}
if(parent->value>value) {
parent->left_Thread=1;
parent->left_Node=newnode;
newnode->left_Node=previous;
newnode->right_Node=parent;
}
else {
parent->right_Thread=1;
parent->right_Node=newnode;
newnode->left_Node=parent;
newnode->right_Node=previous;
}
return ;
5-5 引線二元樹
}
//引線二元樹中序走訪
void trace() {
ThreadBinaryTree tempNode;
tempNode=rootNode;
do {
if(tempNode->right_Thread==0)
tempNode=tempNode->right_Node;
else
80
{
5-5 引線二元樹
tempNode=tempNode->right_Node;
while(tempNode->left_Thread!=0)
tempNode=tempNode->left_Node;
}
if(tempNode!=rootNode)
printf("[%d]\n",tempNode->value);
} while(tempNode!=rootNode);
}
int main(void)
{
int i=0;
int array_size=11;
printf("引線二元樹經建立後,以中序追蹤能有排序的效果\n");
printf("第一個數字為引線二元樹的開頭節點,不列入排序\n");
int data1[]={0,10,20,30,100,399,453,43,237,373,655};
for(i=0;i<array_size;i++)
Add_Node_To_Tree(data1[i]);
printf("====================================\n");
printf("範例 1 \n");
printf("數字由小到大的排序順序結果為: \n");
trace();
int data2[]={0,101,118,87,12,765,65};
rootNode=NULL;/*將引線二元樹的樹根歸零*/
81
array_size=7;/*第2個範例的陣列長度為7*/
for(i=0;i<array_size;i++)
Add_Node_To_Tree(data2[i]);
printf("====================================\n");
printf("範例 2 \n");
printf("數字由小到大的排序順序結果為: \n");
trace();
printf("\n");
system("pause");
return 0;
5-5 引線二元樹
}
82
5-5 引線二元樹
範例 5.5.3
請試繪出對應於下圖的引線二元樹。
解答：
由於中序走訪結果為EDFBACHGI，相對應的二元樹
如下所示：
83
5-6 樹的二元樹表示法
樹化為二元樹
對於將一般樹狀結構轉化為二元樹，使用的方
法稱為「CHILD-SIBLING」(leftmost-childnext-right-sibling)法則。以下是其執行步驟：
1.將節點的所有兄弟節點，用平行線連接起來。
2.刪掉所有與子點間的鏈結，只保留與最左子點的鏈結。
3.順時針轉45゜。
84
5-6 樹的二元樹表示法
範例 5.6.1
將右圖樹化為二元樹
解答：
將樹的各階層兄弟用平行線連接起來
85
5-6 樹的二元樹表示法
解答：
刪除掉所有子節點間的連結，只保留最左邊的子節點。
順時針旋轉45度。
86
5-6 樹的二元樹表示法
二元樹轉換成樹
如右圖所示：
這就是樹化為二元樹的反向步驟，方法也很簡
單。首先是逆時針旋轉45度，如下圖所示：
87
5-6 樹的二元樹表示法
樹林化為二元樹
除了一棵樹可以轉化為二元樹外，其實好幾棵
樹所形成的樹林也可以轉化成二元樹，步驟也
很類似，如下所示：
由左至右將每棵樹的樹根(root)連接起來。
仍然利用樹化為二元樹的方法操作。
以下圖樹林為範例
88
5-6 樹的二元樹表示法
步驟1:將各樹的樹根由左至右連接。
步驟2：利用樹化為二元樹的原則。
步驟3：順時針旋轉45度。
89
5-6 樹的二元樹表示法
二元樹轉換成樹林
二元樹轉換成樹林的方法則是依照樹林轉化為
二元樹的方法倒推回去，例如下圖二元樹：
90
5-6 樹的二元樹表示法
首先請把原圖逆時旋轉45度。
再依照左子樹為父子關係，右子樹為兄弟關係的原則
。逐步劃分：
91
5-6 樹的二元樹表示法
樹與樹林的走訪
假設樹根為R，且此樹有n個節點，並可分成如
下圖的m個子樹：分別是T1,T2,T3…Tm：
三種走訪方式的步驟如下：
中序走訪(Inorder traversal)
以中序法走訪T1。
拜訪樹根R。
再以中序法追蹤T2,T3,…Tm。
92
5-6 樹的二元樹表示法
前序走訪(Preorder traversal)
拜訪樹根R。
再以前序法依次拜訪T1,T2,T3,…Tm。
後序走訪(Postorder traversal)
以後序法依次拜訪T1,T2,T3,…Tm。
拜訪樹根R。
樹林的走訪方式則由樹的走訪衍生過來，步驟
如下：
中序走訪(Inorder traversal)
如果樹林為空，則直接返回。
以中序走訪第一棵樹的子樹群。
中序走訪樹林中第一棵樹的樹根。
依中序法走訪樹林中其它的樹。
93
5-6 樹的二元樹表示法
前序走訪(Preorder traversal)
如果樹林為空，則直接返回。
走訪樹林中第一棵樹的樹根。
以前序走訪第一棵樹的子樹群。
以前序法走訪樹林中其它的樹。
後序走訪(Postorder traversal)
如果樹林為空，則直接返回。
以後序走訪第一棵樹的子樹。
以後序法走訪樹林中其它的樹。
走訪樹林中第一棵樹的樹根。
94
5-6 樹的二元樹表示法
範例 5.6.2
將下列樹林轉換成二元樹，並分別求出轉換前
樹林與轉換後二元樹的中序、前序與後序走訪
結果。
解答
步驟1：
95
5-6 樹的二元樹表示法
解答
步驟2：
步驟3：
樹林走訪：
中序走訪：EBCDAGHFI
前序走訪：ABECDFGHI
後序走訪：EBCDGHIFA
二元樹走訪：
中序走訪：EBCDAGHFI
前序走訪：ABECDFGHI
後序走訪：EDCBHGIFA
(請注意！轉換前後的後
序走訪結果不同)
96
5-6 樹的二元樹表示法
範例 5.6.3
求下圖樹轉換成二元樹前後的中序、前序與後
序走訪結果。
解答
樹林走訪：
中序走訪：DBHEAFCIG
前序走訪：ABDEHCFGI
後序走訪：DHEBFIGCA
97
5-6 樹的二元樹表示法
解答
轉換為二元樹如下圖：
二元樹走訪：
中序走訪：DBHEAFCIG
前序走訪：ABDEHCFGI
後序走訪：DHEBFIGCA
98
5-6 樹的二元樹表示法
決定唯一二元樹
在二元樹的三種走訪方法中，如果有中序與前序
的走訪結果或者中序與後序的走訪結果，可由這
些結果求得唯一的二元樹。
示範一個範例。例如二元樹的中序走訪為
BAEDGF，前序走訪為ABDEFG。請畫出此唯一
的二元樹。
解答
中序走訪：左子樹
前序走訪：樹根
樹根
左子樹
右子樹
右子樹
99
5-6 樹的二元樹表示法
解答
1.
D為右子樹的節點
2.
3.
100
5-6 樹的二元樹表示法
範例 5.6.3
某二元樹的中序走訪為HBJAFDGCE，後序走
訪為HJBFGDECA，請繪出此二元樹。
解答
中序走訪：左子樹
後序走訪：左子樹
1.
樹根
右子樹
右子樹
樹根
101
5-6 樹的二元樹表示法
解答
2.
3.
4.
102
5-7 最佳化二元搜尋樹
延伸二元樹
任何一個二元樹中，若具有n個節點，則有n-1
個非空鏈結及n+1個空鏈結。
如果在每一個空鏈結加上一個特定節點，則稱
為外節點，其餘的節點稱為內節點，且定義此
種樹為「延伸二元樹」，另外定義外徑長＝所
有外節點到樹根距離的總和，內徑長＝所有內
節點到樹根距離的總和。
103
5-7 最佳化二元搜尋樹
以下例來說明(a)(b)兩圖，它們的延伸二
元樹繪製：
代表外部節點
104
5-7 最佳化二元搜尋樹
(a)
外徑長：(2+2+4+4+3+2)=17
內徑長：(1+1+2+3)=7
(b)
外徑長：(2+2+3+3+3+3)=16
內徑長：(1+1+2+2)=6
105
5-7 最佳化二元搜尋樹
以下討論(a)、(b)的加權外徑長：
對(a)來說：
2×3+4×3+5×2+15×1=43
對(b)來說：
2×2+4×2+5×2+15×2=52
106
5-7 最佳化二元搜尋樹
霍夫曼樹
如果有n個權值(q1,q2…qn)，且構成一個有n個節
點的二元樹，每個節點外部節點權值為qi，則加
權徑長度最小的就稱為「最佳化二元樹」或「
霍夫曼樹」(Huffman Tree)。
接下來將說明，對一含權值的串列，該如何求
其最佳化二元樹，步驟如下：
1.產生兩個節點，對資料中出現過的每一元素各自產生一樹葉節
點，並賦予樹葉節點該元素之出現頻率。
2.令N為T1和T2的父親節點， T1和T2是T中出現頻率最低的兩個
節點，令N節點的出現頻率等於T1和T2的出頻率總和。
3.消去步驟的兩個節點，插入N，再重複步驟1。
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5-7 最佳化二元搜尋樹
利用以上的步驟來實作求取霍夫曼樹的過程
假設現在有五個字母BDACE的頻率分別為0.09、
0.12、0.19、0.21和0.39，請說明霍夫曼樹建構之
過程：
取出最小的0.09和0.12，合併成另一棵新的二元樹，其
根節點的頻率為0.21：
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5-7 最佳化二元搜尋樹
再取出0.19和0.21合併後，得到0.40的新二元樹
再出0.21和0.39的節點，產生頻率為0.6的新節點
最後取出0.40和0.60的節點，合併成頻率為1.0
的節點，至此二元樹即完成。
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5-8 平衡樹
平衡樹的定義
又稱之為AVL樹(是由Adelson-Velskii和Landis兩人
所發明的)，本身也是一棵二元搜尋樹，在AVL樹中
，每次在插入資料和刪除資料後，必要的時候會對
二元樹作一些高度的調整動作，而這些調整動作就
是要讓二元搜尋樹的高度隨時維持平衡。
T是一個非空的二元樹，Tl及Tr分別是它的左右子樹
，若符合下列兩條件，則稱T是個高度平衡樹：
1. T1及Tr也是高度平衡樹。
2.｜h1-hr|≦１，h1及hr分別為T1與Tr的高度，也就是所
有內部節點的左右子樹高度相差必定小於或等於1。
110
5-8 平衡樹
如下圖所示：
111
5-8 平衡樹
調整一二元搜尋樹成為一平衡樹
最重要是找出「不平衡點」，再依照以下四種
不同旋轉型式，重新調整其左右子樹的長度。
首先，令新插入的節點為N，且其最近的一個具
有±2的平衡因子節點為A，下一層為B，再下一
層C，分述如下：
LL型
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5-8 平衡樹
LR型
RR型
RL型
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5-8 平衡樹
實作範例
下圖的二元樹原是平衡的，加入節點12後變為
不平衡，請重新調整成平衡樹，但不可破壞原
有的次序結構：
調整結果如下：
LR
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5-9 進階樹狀結構研究
決策樹
例如最典型的「8枚金幣」問題來闡釋決策樹的
觀念，內容是假設有8枚金幣a、b、c、d、e、f
、g、h且其中有一枚是偽造的，偽造金幣的特
徵為重量稍輕或偏重。
如何使用決策樹方法，找出這枚偽造的錢幣；
如果是以L表示輕於真品，H表示重於真品。第
一次比較從8枚中任挑6枚a、b、c、d、e、f分2
組來比較重量，則會有下列三種情形產生：
(a+b+c)>(d+e+f)
(a+b+c)=(d+e+f)
(a+b+c)<(d+e+f)
115
5-9 進階樹狀結構研究
依照以上的步驟，畫出以下決策樹的圖形：
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5-9 進階樹狀結構研究
B樹
是一種高度大於等於1的m階搜尋樹，它也是一種
平衡樹概念的延伸，由Bayer和Mc Creight兩位專
家所提出的。主要的特點包括有：
1.B樹上每一個節點都是m階節點。
2.每一個m階節點存放的鍵值最多為m-1個。
3.每一個m階節點分支度均小於等於m。
4.除非是空樹，否則樹根節點至少必須有兩個以上的子
節點。
5.除了樹根及樹葉節點外，每一個節點最多不超過m個
子節點，但至少包含┌m/2┐個子節點。
6.每個樹葉節點到樹根節點所經過的路徑長度皆一致，
也就是說，所有的樹葉節點都必須在同一層(level)。
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5-9 進階樹狀結構研究
7.當要增加樹的高度時，處理的作法就是將該樹根節
點一分為二。
8.B樹其鍵值分別為k1、k2、k3、k4…km-1，則
k1<k2<k3<k4…<km-1。
9.B樹的節點表示法為P0,1，k1，P1,2，k2…Pm-2,m-1，
km-1，Pm-1,m。
其節點結構圖如下所示：
其中 k1<k2<k3…<km-1
1.P0,1指標所指向的子樹T1中的所有鍵值均小於k1。
2.P1,2指標所指向的子樹T2中的所有鍵值均大於等於k1且小於k2。
3.以此類推，Pm-1,m 指標所指向的子樹Tm 中所有鍵值均大於等於
km-1。
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5-9 進階樹狀結構研究
二元空間分割樹
是一種二元樹，每個節點有兩個子節點，也是
一種遊戲空間分割的方法，通常被使用在平面
的繪圖應用。
BSP Tree採取的方法就是在一開始將資料檔讀
進來的時候，就將整個資料檔中的數據先建成
一個二元樹的資料結構。如下圖所示：
二元樹示意圖
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5-9 進階樹狀結構研究
四元樹與八元樹
是樹的每個節點擁有四個子節點。
許多遊戲場景的地面(terrian)就是以四元樹來做
地劃分，以遞迴的方式，軸心一致的將地形依
四個象限分成四個子區域。如下所示:
四元樹示意圖
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5-9 進階樹狀結構研究
四元樹在2D平面與碰撞偵測相當有用，底下的
圖形是可能對應的3D地形，分割的方式是以地
形面的斜率(利用平面法向量來比較)來做依據:
地形與四元樹的對應關係
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5-9 進階樹狀結構研究
八元樹(Octree)
定義就是如果不為空樹的話，樹中任一節點的
子節點恰好只會有八個或零個，也就是子節點
不會有0與8以外的數目。
八元樹的處理規則就是利用遞迴結構的方式來
進行，在每個細分的層次上有著同樣規則的屬
性。
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本章結束
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