Transcript 第2章線性串列

第二章 線性串列
課前指引
是數學應用在電腦科學中一種相當簡單與基本的資料結構，簡
單的說，線性串列是n個元素的有限序列(n≧0)，像是26個英文
字母的字母串列：A,B,C,D,E…,Z，就是一個線性串列，串列中
的資料元素是屬於字母符號，或是10個阿拉伯數字的串列0,1,2,
3,4,5,6,7,8,9。
章節大綱
2-1 線性串列的定義
2-2 陣列
2-3 矩陣
備註：可依進度點選小節
2-1 線性串列的定義
「線性串列」(Linear List)的定義：
有序串列可以是空集合，或者可寫成(a1,a2,a3．．
．,an-1,an)。
存在唯一的第一個元素a1與存在唯一的最後一個
元素an。
除了第一個元素a1外，每一個元素都有唯一的先
行者(precessor)，例如ai的先行者為ai-1。
除了最後一個元素an外，每一個元素都有唯一的
後續者(successor)，例如ai+1是ai的後續者。
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2-1 線性串列的定義
「線性串列」(Linear List)的用途(1/2) ：
例如C/C++程式中的陣列或字串結構，就是一種典
型線性串列的應用。
特性是使用連續記憶空間(Contiguous
Allocation)來儲存，記憶體配置是在編譯時，就
必須配置給相關的變數，容易造成記憶體的浪費。
Array_Name代表佔有
一塊連續的記憶體空
間，並擁有5筆資料的
陣列
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2-1 線性串列的定義
「線性串列」(Linear List)的用途(2/2）：
又或者如鏈結串列(Linked Lists)結構，也是在
C/C++中，多半是以指標變數型態來實作線性串列
的資料結構。
特點是串列節點的記憶體配置是在執行時才發生，
所以不需事先宣告，或稱為「動態記憶體配置」
指標變數是指內含值為指到記憶體儲存位置的一種資料型態變數
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2-2 陣列
在程式語言中，可看作是一群相同名稱與資
料型態的集合，並且在計憶體中佔有一塊連
續的記憶體空間。
要存取陣列中的資料時，則配合索引值
(index)尋找出資料在陣列的位置。
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2-2 陣列
陣列的五種屬性：
1.起始位址：表示陣列名稱(或陣列第一個元素)
所在記憶體中的起始位址。
2.維度(dimension)：代表此陣列為幾維陣列，如
一維陣列、二維陣列、三維陣列等等。
3.索引上下限：指元素在此陣列中，記憶體所儲
存位置的上標與下標。
4.陣列元素個數：是索引上限與索引下限的差+1。
5.陣列型態：宣告此陣列的型態，它決定陣列元
素在記憶體所佔有的大小。
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2-2 陣列
多維陣列也必須在一維的實體記憶體中表示，
因為記憶體位置是依線性順序遞增。通常依
照不同的語言，又可區分為
1、以列為主(Row-major)：一列一列來依序儲存，
例如Java、C/C++、PASCAL語言的陣列存放方式。
2、以行為主(Column-major)：一行一行來依序儲
存，例如Fortran語言的陣列存放方式。
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2-2 陣列
一維陣列：
• 例如假設A是一維陣列(One-dimension Array)名稱，如
果宣告為A(1:u1)，表示A含有n個元素，其中1為下標，
u1為上標。
A(1)、A(2)、A(3)、…… A(u1)
α α＋1*d α+2*d …… ……… α+( u1-1)*d
=>Loc(A(i))= α+(i-1)*d
(Loc(A(i))表示A(i)所在的住址)
• 不過如果一維陣列A是宣告為A(l1：u1)，且l1為小於或
等於u1的任何整數，α為起始位址，d為單位空間，那
麼公式如下：
Loc(A(i))=α+(i- l )*d
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2-2 陣列
範例 2.2.1
假設A為一個具有1000個元素的陣列，每個元素為
4個位元組的實數 ，若A[500]的位置為100016，
請問A[1000]的位址為何？
解答：本題主要是位址以16進位法表式→
→loc(A[1000])=loc(A[500])+(1000-500)×4
=4096+2000=6096
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2-2 陣列
範例 2.2.2
有一PASCAL陣列 A:ARRAY[6..99] of REAL(假設
REAL元素大小有4)，如果已知陣列A的起始位址為
500，則元素A[30]的位址為何？
解答： Loc(A[30])=Loc(A[6]+(30-6)*4=500+96=596
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2-2 陣列
例如在Java語言中一維陣列宣告方式如下：
資料型別[ ] 變數名稱=new資料型別[長度];
當Java陣列宣告時會在記憶體中配置一段暫
存空間，如下圖：
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2-2 陣列
範例 2.2.3
請利用一維陣列尋找與儲存範圍為1到MAX內的所
有質數，所謂質數(prime number)是指不能被１
和本身以外的數值所整除的整數。
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2-2 陣列
二維陣列(Two-dimension Array) ：
可視為一維陣列的延伸，都是處理相同資料型態
資料，差別只在於維度的宣告。
例如一個含有m*n個元素的二維陣列A (1:m,1:n)，
m代表列數，n代表行數，各個元素在直觀平面上
的排列方式如下矩陣，A[4][4]陣列中各個元素在
直觀平面上的排列方式如下
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2-2 陣列
以列為主(Row-major)
存放順序為a11,a12,...a1n,a21,a22,...,..amn，假
設α為陣列A在記憶體中起始位址，d為單位空間，
那麼陣列元素aij與記憶體位址有下列關係：
Loc(aij)= α+n* (i-1)*d+(j-1)*d
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2-2 陣列
以行為主(Column-major)
存放順序為a11,a21,...am1,a12,a22,...,..amn，假
設α為陣列A在記憶體中起始位址，d為單位空間，
那麼陣列元素aij與記憶體位址有下列關係：
Loc(aij)= α+(i-1)*d+m*(j-1)*d
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2-2 陣列
宣告陣列A(1:2,1:4)，表示法如下：
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2-2 陣列
範例 2.2.4
現有一二維陣列A，有3*5個元素，陣列的起始位
址A(1,1)是100，以列為主(Row-major)排列，每
個元素佔2 bytes，請問A(2,3)的位址？
解答：代入公式，Loc(A92,30=100+(2-1)*5*2+(3-1)*2=114
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2-2 陣列
範例 2.2.5
二維陣列A[1:5,1:6]，如果以column-major存放，
則A(4,5)排在此陣列的第幾個位置？(α=0，d=1)？
解答：Loc(A(4,5))=0+(4-1)*5*1+(5-1)*1=19(下一個)，
所以A(4,5)在第20個位置
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2-2 陣列
範例 2.2.6
陣列(Array)是以PASCAL語言來宣告，每個陣列元
素佔用4個單位的記憶體。若起始位址是255，在
下列宣告中，所列元素存放位置為何？
• VarA=array[-55…1,1…55]，求A[1,12]之位址。
• VarA=array[5…20,-10…40]，求A[5,-5]之位址。
解答：
1：先求得陣列中的實際列數及行數。
1-(-55)+1=57…列數 ；55-1+1=55...行數
由於PASCAL語言是以列為主的語言，可代入以下計算公式中：
255+55*4*(1-(-55))+(12-1)*4=12619
2：同樣是先求得陣列中的實際列數及行數。
20-5+1=16…列數； 40-(-10)+1=51...行數
255+4*51*((5-5)+4*(-5-(-10))=275
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2-2 陣列
範例 2.2.7
A(-3:5,-4:2)的起始位址A(-3,-4)=1200，以rowmajor排列，每個元素佔1bytes，請問
Loc(A(1,1))=？
解答：
假設A陣列以row-major排列，且α=Loc(A(-3,-4))=100
m=5-(-3)+1=9(列)、n=2-(-4)=1=7(行)，
A(1,1)=1200+1*7*(1-(-3))+1*(1-(-4))=1233
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2-2 陣列
範例2.2.8
假設我們以FORTRAN語言來宣告浮點數陣列
A[8][10]，且每個陣列元素佔用4個單位的記憶體，
如果A[0][0]的起始位址是200，則元素A[5][6]的
位址為何？
解答：
Loc(A[5][6])=200+5*4+8*4*4=448
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2-2 陣列
範例2.2.9
請設計一Java程式，可利用了二維陣列來儲存產
生的亂數。亂數產生時還需要檢查號碼是否重複，
請利用二維陣列的索引值特性及while迴圈機制做
反向檢查，完成了6個不會重複的號碼。
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2-2 陣列
多維陣列（1/3）
在程式語言中，只要記憶體大小許可時，都可以
宣告成更多維陣列來存取資料，通常凡是二維以
上的陣列都可以稱作多維陣列。
三維陣列的表示法和二維陣列一樣，皆可視為是
一維陣列的延伸，如果陣列A宣告為
A(1:u1,1:u2,1:u3)，表示A為一個含有u1*u2*u3
元素的三維陣列，可以看作是一個立方體，如下
圖。
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2-2 陣列
多維陣列（2/3）
以列為主(Row-major)
• 在想像轉換公式時，是要計算A(i,j,k)看看它是在一直
線排列的第幾個各位。
• 可以得到aijk元素的以下位址計算公式：
Loc(A(i,j,k))=α+(i-1)u2u3d+(j-1)u3d+(k-1)d
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2-2 陣列
多維陣列（3/3）
以行為主(Row-major)
• 也可以直觀地將陣列A視為u3個u2*u1的二為陣列，再將
每個二維陣列視為有u2個一維陣列，每一陣列含有u1個
元素。每個元素有d單位空間，且α為起始位址。
• 可以得到aijk元素的以下位址計算公式：
Loc( A(aijk)=α+(k-1)u2u1d+(j-1)u1d+(i-l)d
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2-2 陣列
範例 2.2.10
假設有以列為主排列的程式語言，宣告
A(1:3,1:4,1:5)陣列，且Loc(A(1,1,1))=100，請
求出Loc(A(1,2,3))=？
解答：直接代入公式
Loc(A(1,2,3))=100+(1-1)*4*5*1+(2-1)*5*1+(3-1)*1=107
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2-2 陣列
範例 2.2.11
A(6,4,2)是以行為主方式排列，若α=300，且d=1，
求A(4,4,1)的位址？
解答：這題是以列為主(Row-Major)，直接代入公式即可：
Loc(A(4,4,1))=300+(1-1)*6*4+(4-1)*2+(6-1)=300+6+5=311
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2-2 陣列
範例 2.2.12
假設有一三維陣列宣告為A(1:3,1:4,1:5)，
A(1,1,1)=300，且d=1，試問以行為主的排列方式
下，求出A(2,2,3)的所在位址。
解答： Loc(A(1,2,3))=300+(3-1)*3*4*1+(2-1)*3*1+(2-1)=328
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2-2 陣列
範例 2.2.13
有一個三維陣列A(-3:2,-2:3,0:4)，以Row-major
方式排列，陣列之起始位址是1118，試求
Loc(A(1,3,3))=？(d=1)
解答：
假設A為u1*u2*u3陣列，且以row-major方式排列
m=2-(-3)+1=6
n=3-(-2)+1=6
o=4-0+1=5
公式如下：
=>Loc(A(1,3,3))=318+(1-(-3))*6*5+(3-(-2))*5+(30)=318+120+25+3=1266
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2-2 陣列
範例 2.2.14
假設有一三維陣列宣告為A(-3:2,-2:3,0:4)，
A(1,1,1)=300，且d=2，試問以行為主的排列方式
下，求出A(2,2,3)的所在位址。
解答：
m=2-(-3)+1=6 n=3-(-2)+1=6 o=4-0+1=5
Loc(A(1,2,3))=300+(3-0)*6*6*1+(2-(-2))*6*1+(2-(-3))*1=437
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2-2 陣列
二維以上的陣列都可以稱作多維陣列
想要提高陣列的維度，只要在宣告陣列時，
增加中括號與索引值即可。
定義方式如下所示：
資料型態 陣列名稱[元素個數] [元素個數] [元素個數]……. [元素個數];
例如：
float No[2][2][2]；
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2-2 陣列
n維陣列
在Java語言中n維陣列宣告方式如下：
資料型別[ ] [ ].. [ ]變數名稱=new資料型別[第一維長度][ 第二維
長度]…[第n維長度]；
假設陣列A宣告為A(1:u1,1:u2,1:u3……,1:un)，
則可將陣列視為有u1個n-1維陣列，每個n-1維陣
列中有u2個n-2維陣列，每個n-2維陣列中，有u3
個n-3維陣列………有un-1個一維陣列，在每個一
維陣列中有un個元素。
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2-2 陣列
範例2.2.14
在４-D array A[1:4,1:6,1:5,1:3]中，且α＝
200，d=1。並已知是以行排列(Column-Major)，
求A[3,1,3,1]的位址。
解答：
由於本題中原本就是陣列的簡單表示法，所以不須經過轉換。並
直接代入計算公式即可。
Loc(A[3,1,3,1])
=200+(1-1)*5*6*4+(3-1)*6*4+(1-1)*4+3-1
=250
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2-2 陣列
範例2.2.15
假設陣列 A[-1:3,2:4,1:4,-2:1]是以列為主排列，
起始位址α=200，每個陣列元素儲存空間為5，請
問A [-1,2,1,-2]、A [3,4,4,1]、A [3,2,1,0]的
位置。
解答：
Loc(A[-1,2,1,-2])=200、Loc(A[3,4,4,1])=1395、Loc(A [3,2,
1,0])=1170
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2-3 矩陣
從數學的角度來看，對於m×n矩陣(Matrix)的
形式，可以描述一個電腦中A(m,n)二維陣列
許多矩陣的運算與應用，都可以使用電腦中的二
維陣列解決，例如討論到兩個矩陣的相加、相乘，
或是某些稀疏矩陣(Sparse Matrix)、轉置矩陣
(At)等等
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2-3 矩陣
矩陣的運算
轉置矩陣
• 「轉置矩陣」(At)就是把原矩陣的行座標元素與列座標
元素相互調換，假設At為A的轉置矩陣，則有
At[j,i]=A[i,j]如下所示：
• m*n矩陣的轉置矩陣的C演算法：
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<n;j++)
arrB[i][j]=arrA[j][i];
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2-3 矩陣
範例2.3.1
請設計一Java程式，
可任意輸入m與n值，
來實作一m*n二維陣列
的轉置矩陣。
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2-3 矩陣
矩陣的運算
矩陣的加法
• 前題是相加的兩矩陣列數與行數都必須相等，而相加後
矩陣的列數與行數也是相同。例如Amxn+Bmxn=Cmxn。
• 底下為矩陣相加的例子：
• 2個m*n矩陣的矩陣相加C演算法：
for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];/* 矩陣C=矩陣A+矩陣B */
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2-3 矩陣
範例2.3.2
請設計一Java程式，來實作2個3*3矩陣相加的過
程，並顯示兩矩陣相加後的結果。
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2-3 矩陣
矩陣的運算
矩陣相乘
• 兩個矩陣A與B的相乘，首先必須符合A為一個m*n的矩陣，
B為一個n*p的矩陣，對A*B之後的結果為一個m*p的矩陣
C。
for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
{
C[i][j]=0;
for(k=0;k<2;k++)
C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];/* 矩陣C=矩陣A+矩陣B */
}
• m*n矩陣與n*p矩陣的矩陣相乘C演算法：
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2-3 矩陣
範例2.3.3
請設計一Java程式
來實作下列兩個可
自行輸入矩陣維數
的相乘過程，並顯
示相乘後的結果。
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2-3 矩陣
稀疏矩陣
對於抽象資料型態而言，我們希望闡述的是在電
腦應用中具備某種意義的特別概念(Concept)。
什麼是稀疏矩陣呢？
• 「如果一個矩陣中的大部分元素為零的話，就可以稱為
稀疏矩陣」。
• 典型的稀疏矩陣：
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2-3 矩陣
稀疏矩陣
對稀疏矩陣而言，實際儲存的資料項目很少，如
果在電腦中利用傳統的二維陣列方式存放，就會
十分浪費儲存的空間。
改進記憶體空間浪費的方法：
• 利用三項式(3-tuple)的資料結構。我們把每一個非零
項目以(i,j,item-value)來表示。就是假如一個稀疏矩
陣有n個非零項目，那麼可以利用一個A(0:n,1:3)的二
維陣列來表示，我們稱為壓縮矩陣。
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2-3 矩陣
稀疏矩陣
A(0,1)代表此稀疏矩陣的列數
A(0,2)代表此稀疏矩陣的行數
A(0,3)則是此稀疏矩陣非零項目的總數。
稀疏矩陣
壓縮矩陣
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2-3 矩陣
範例2.3.4
請設計一Java程式，
並利用3項式(3tuple)資料結構，來
壓縮8*8稀疏矩陣，
以達到減少記憶體不
必要的浪費。
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2-3 矩陣
上三角形矩陣(Upper Triangular Matrix)
一種對角線以下元素皆為0的n*n矩陣，可分為
• 右上三角形矩陣(Right Upper Triangular Matrix)
• 左上三角形矩陣(Left Upper Triangular Matrix)。
由於上三角形矩陣仍有許多元素為0，為了避免浪
費空間，可以把三角形矩陣的二維模式，儲存在
一維陣列中。
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2-3 矩陣
右上三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i>j，那麼A(i,j)=0，如下
圖所示：
• 由於此二維矩陣的非零項目可依序對映成一維矩陣，且
需要一個一維陣列B(1: )來儲存。對映方式也可區分為
– 以列為主(Row-major)
– 以行為主(Column-major)兩種陣列記憶體配置方式。
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2-3 矩陣
右上三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=n*(i-1)-
i * (i  1)
2
+j
以列為主(Row-major)
k=
j * ( j  1)
2
+i
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2-3 矩陣
範例 2.3.5
假如有一個5x5的右上三角形矩陣A，以行為主對
映到一維陣列B，請問a23所對映B(k)的k值為何？
解答：直接代入右上三角形矩陣公式：
k=
j * ( j  1)
2
+I =
3 * (3  1)
2
+2=5=>對映到B(5)
50
2-3 矩陣
範例2.3.6
請練習設計一Java程式，將右上三角形矩陣壓縮
為一維陣列。
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2-3 矩陣
左上三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i>n-j+1時，A(i,j)=0，如
下圖所示：
與右上三角形矩陣相同，對應方式也分為以列為
主及以行為主兩種陣列記憶配體置方式。
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2-3 矩陣
左上三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=n*(i-1)=n*(i-1)-
以列為主(Row-major)
(i  2) * (( i  2)  1)
+j
2
(i  2) * (i  1)
+j
2
k= n*(j-1)-
( j  2) * ( j  1)
+i
2
53
2-3 矩陣
範例 2.3.7
假如有一個5*5的左上三角形矩陣，以行為主對映
到一維陣列B，請問a23所對映b(k)的k值為何？
( j  2) * ( j  1)
解答：由公式可得k=n*(j-1)+i2
=5*(3-1)+2=10+2-1=11
(3  2) * (3  1)
2
54
2-3 矩陣
左下三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i<j，那麼A(i,j)=0如下圖
所示：
同樣的，對映到一維陣列B(1: n * (n  1) )的方式，
2
也可區分為以列為主及以行為主兩種陣列記憶體
配置方式。
55
2-3 矩陣
左下三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=
以列為主(Row-major)
i * (i  1)
+j
2
( j  1) * [1  ( j  1)]
2
k=n*(j-1)+i=n*(j-1)+i- j * (2j  1)
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2-3 矩陣
範例 2.3.8
有一6x6的左下三角形矩陣，以行為主的方式對映
到一維陣列B，求元素a32所對映B(k)的大值為何？
解答：代入公式可得
j * ( j  1)
代入公式k=n*(j-1)+i- 2
=6*(2-1)+3=6+3-1=8
2 * ( 2  1)
2
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2-3 矩陣
範例2.3.8
請設計一Java程式，將左下三角形矩陣壓縮為一
維陣列。
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2-3 矩陣
右下三角形矩陣矩陣
即對nxn的矩陣A，假如i<n-j+1，那麼A(i,j)=0，
如下圖所示
同樣的，對映到一維陣列B(1:n * (n2  1) )的方式，也
可區分為以列為主與以行為主兩種陣列記憶體配
置方式
59
2-3 矩陣
右下三角形矩陣矩陣
以列為主(Row-major)
k=
(i  1)
*[1+(i-1)]+j-(n-i)
2
i]
= [i * (i  1)  2 * +j-n
2
=
以列為主(Row-major)
i * (i  1)
+j-n
2
k=
[( j  1) * [1  ( j +i-(n-j)
1)]
2
=
j * ( j  1)
+i-n
2
60
2-3 矩陣
範例 2.3.10
假設有一個4x4的右下三角形矩陣，以行為主對映
到一維陣列B，求元素a32所對映B(k)的k值為何？
解答：
代入公式k= j * ( j  1) +i-n
2
= 2 * (22  1) +3-4
=2
61
2-3 矩陣
範例 2.3.11
一個低部三角陣列(Lower Triangular Array)，B
是一個nxn的陣列，其中B[i,j]=0，i<j。
• 求B陣列中不為0的最大個數。
•  如何將B陣列以最經濟的方式儲存在記憶體中。
• 寫出在的儲存方式中，如何求得B[i,j]，i>=j。
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2-3 矩陣
解答：
由題意得知B為左下三角形矩陣，因此不為0的個數為
n * (n  1)
2
可將B陣列非零項目的值以列為主(Row-major)對映到一維陣列A中，且如下圖
所示：
以列為主的對映方式，bij=A(k)
k=
i * (i  1)
+j
2
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2-3 矩陣
帶狀矩陣
一種在應用上較為特殊且稀少的矩陣。
定義就是在上三角形矩陣中，右上方的元素皆為
零，在下三角形矩陣中，左下方的元素也為零，
也就是除了第一列與第n列有兩個元素外，其餘每
列都具有三個元素，使得中間主軸附近的值形成
類似帶狀的矩陣。如下圖所示：
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本章結束
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