Transcript Příklady 1-5

Příklady
Př.: Pístní čep
Zkontrolovat bezpečnost při namáhání pístního čepu při nesymetricky střídavém zatěžovacím
cyklu. Zatížení pístu:
Fh = 50 000 N,
Fd = –10 000 N,
R = –0,2.
materiál čepu: uhlíková ocel 12 XXX:
σco = 0,43σpt = 473 MPa, leštěno.
σpt = 1 100 MPa, σkt = 600 MPa,
Namáhání
Namáhání čepu:
q1 
F
2l1
q2 
F
l2
Maximální ohybový moment uprostřed čepu:
Daný moment způsobí na površkách čepu v daném místě kladné i záporné ohybové napětí,
kritické je však takové místo, kde je největší tahové namáhání.
2


l 
F 
l
l  F 
l
F
Mo  l1  2   
l1 l1  2  1  
 l1  2  l1    l 2  2l1
2
2l1 
2 2  2l 2 
2
8


Mmax 
F
8
l 2  2l1
Namáhání
Ohybová napětí:
 oh 
Mmaxh
 od 
Mmaxd
Fh

Wo
8Wo
Fd

Wo
8Wo
 oh   od
 oa 

l2  2l1 
 oh   od
8  2726
252,20  49,17
 150,69 MPa
2

252,20  49,17
2
D3 
8  2726
50  2  30  252,20 MPa
l2  2l1   10 000 50  2  30  49,17 MPa
2
 om 
50 000
d 
1  
Wo 
32   D 
 101,52 MPa
2
4
 323 
 20 
1   


32   32 
4
  2726 mm 3

NSA – parametry materiálu
součást bez vrubu a jiného koncentrátoru:
povrch leštěný:
po  1
velikost vzorku:
vo  0,87
x
 co

 co

 1
 po  vo  473  1 0,87  411,51 MPa
Haighův diagram
k1 
 A M

1
 kt  kt
a
x
 co
k2 
a
 A M

 min
1 k , k   2,18  kt
k
x
1 2
 co
 pt
 A  k a
 M  k m
1

 m
 pt
1

 m
 kt

1
150,69

411,51

101,52
1100
1
150,69
600
 2,18

101,52
600
 2,38
MKP řešení – jiné kritické místo ?
• elementy C3D20, C3D27
• kontaktní úloha!!!
MKP řešení – jiné kritické místo ?
nelineární
geometrie (ALF)
(velké posuvy a
natočení)
kontakt „masterslave“ mezi
čepem a ojnicí,
ojnicí a pístem,
pístem a čepem
(včetně tření 0,15)
deformace
zvětšena 100x
MKP řešení – jiné kritické místo ?
dolní
horní
Př.: Pružina
F
•
•
•
•
•
•
• Fh = 2 000 N (po zatížení)
• Fd = 500 N (bez zatížení,
jen stlačení do pracovního
prostoru)
průměr pružiny D = 90 mm
průměr drátu d = 14 mm
stoupání p = 28 mm
8 činných závitů
doba provozu 5 let
frekvence 1 Hz
Materiál pružiny
14 260.7
σpt = 1509 MPa
σkt = 1328 MPa
10000
t cw N  C
1000
tc
w = 5 pro N < 106
w = 15 pro N > 106
100
10
Časovaná mez únavy
.
t c 10
1
0
1,
00
+
E
0
1,
01
+
E
0
1,
02
+
E
0
1,
03
+
E
0
1,
04
+
E
0
1,
05
+
E
N
0
1,
06
+
E
0
1,
07
+
E
0
1,
08
+
E
0
1,
09
+
E
0
1,
10
+
E
7
 360 MPa
sbíhavost
  0,3
Lineární teorie pružnosti
tah-tlak (normálová síla): N  F sin 
smyk (posouvající síla):
ohyb (ohybový moment):
T  F cos 
krut (krouticí moment):
těsně vinutá pružina:
FD
Mk 
FD
sin
2
cos
2
tenká pružina:
 0
momentové účinky
převažují nad silovými, tj.
zanedbávají se N, T

sin .   0  cos  1
tenká těsně vinutá pružina: tg 
Mo 
p
D

28
 90
 0,099  cos  0,9951  1  Mk 
FD
2
Namáhání – výsledky (LTP)
t nom 
Gőhner:
Mk
Wk

16Mk
d 3

8FD
d 3
t max   't nom cos
 '  1,22
veličina
„d“
„h“
„a“
„m“
Mk [N.mm]
22,50
90,00
33,75
56,25
τnom [MPa]
41,76
167,04
62,64
104,40
τ=τmax[MPa]
50,95
203,79
76,42
127,37
:
Wőhlerova křivka – smykové napětí
t cw N  C  w logt c  log N  logC  K
N  10
7
N  106
časovaná mez únavy
t c 107  360 MPa
t c 10
6
 ? MPa
w  15
15  log 360  7  45,345
w  15
15  logt c 10 6  6  45,345
t c 10
N  105
t c 10
5
 ? MPa
6
 419,73 MPa
w 5
5  log 419,73  6  19,115
w 5
5  logt c 105  5  19,115
t c 10
5
 665,23 MPa
Mez únavy, fiktivní napětí
N  3600  24  365  5  1,58  108
t c 1,5810
w  15
8
 ? MPa
15  logt c 1,58 10 8  log1,58  108  45,345
t c  t c 1,5810  299,2  300 MPa
8
t cx 
tc
 pk  vk  300  0,85  0,9  229,5 MPa

tF 
t c 300

 1000 MPa

0,3
Haighův diagram
Haighův diagram
Bezpečnost
t A  kt a
t M  t A  t d  kt a  t m  t a
t A tM

1
x
tc tF
k1t a
t cx
1
k1 

k1t a  t m  t a
tF
ta tm
ta
t cx
tF
ta

tF
1

tk 
1
76,42  127,37
1000
76,42 76,42

229,5 1000
k
 2,32
 pk
3

t A tM

1
tk tk
1378
 766,72 MPa
3
ta tm
76,42  127,37
1
tk
766,72
k2 

 4,68
ta ta
76,42
76,42


766,72 766,72
tk tk
1
MKP model - ABAQUS
• 23 552 elementů C3D20
• 113 457 uzlů – 340 371 neznámých
MKP – výsledky odezvy na zatížení
nelineární
geometrie (ALF)
(velké posuvy a
natočení)
uvažování všech
složek VSÚ
deformace
1:1
MKP – výsledky odezvy na zatížení
dolní
horní
Pružina – výsledky zatížení
lineární teorie pružnosti
MKP (ALF)
Smykové napětí
[MPa]
HMH napětí
[MPa]
HMH napětí
[MPa]
„d“
50,95
88,25
99,96
„h“
203,79
352,97
399,20
„a“
76,42
132,36
149,62
„m“
127,37
220,61
249,58
Př.: Hřídel
ρ
D
D  48 mm
d  40 mm
  2 mm
d
Hřídel je namáhán míjivým krouticím
momentem a symetricky střídavým
ohybem
Jsou dány meze únavy pro ohyb
(300 MPa) a krut (175 MPa)
ocel 12040:
Rm = 700 MPa
Rp0,2 = 560 MPa
P  100 kW, n  1500 min 1,
Mo  200000 N.mm
soustruženo: Ra=1,6
Namáhání (menší průřez)
Mk 
Mo  200000 N.mm

P
100000

 636620 N.mm
n
1500

30
Mom  0 N.mm
Wo 
 oa 
Moa
Wo

d 3
Moa  200000 N.mm

32
 6283 mm
Mkm  318310 N.mm Mka  318310 N.mm
Wk 
3
32
32Moa
d
 403
3

32  200000
 40
 om  0 MPa
3
30
 32 MPa t a 
Mka
tm 
Mkm
d 3
16
16Mka

16Mkm
d
 12566 mm 3
16

Wk
Wk

 403
3
d
3

16  318310

 40
3
16  318310
 40
3
 25,3 MPa
 25,3 MPa
Odhady meze únavy
 co  300 MPa
t c  175 MPa
 pk 
po  0,85
1
2
1  po   1 1 0,85  0,925
vo  0,83
vk  0,83

d
o  2,16
2
 0,05

Dd
 0,25
 k  1,57
různé způsoby určení součinitele vrubu…
Součinitel vrubu - ohyb
Peterson
Thum
o  1 o  1qo
o  1
o  1
1
a

qo  0,76
a  0,25  0,3
o  1,88
o  2,02
 cox 
Neuber
o  1
Heywood
o  1
1
A

A  0,3
o  1,96
 co po  vo 300  0,85  0,83

 131MPa
o
1,61
o 
o
 1 a
1 2 o
o

a
140
 pt
o  1,61
Součinitel vrubu - krut
Peterson
Thum
k  1 k  1qk
k  1
Neuber
k  1
1
a
k  1
k  1
1

qk  0,83
a  0,25  0,3
A  0,3
k  1,473
k  1,5
k  1,47
t cx

t cpk vk


175  0,925  0,83
1,42
Heywood
A

 94 MPa
k 
k
 1 a
1 2 k
k

a
140
 pt
k  1,42
Bezpečnost – různé přístupy…
 oa  om
ta
tm
 reda
 redm
k
A
k
kt
k
B
A) Haighův diagram
2
 reda   oa
 3t a2  322  3  25,32  54,3 MPa
2
2
 redm   om
 3t m
 02  3  25,32  43,8 MPa
k1 
k2 
1
 reda  redm

x
 co
Rm
 reda
Rp0,2
1

 redm
Rp0,2

1
54,3 43,8

131 700

 2,10
1
54,3
560

43,8
 5,71
560
k
k  min k1, k2   min 2,10; 5,71  2,10
B) Haighův diagram - ohyb
 cox 131
k 

 4,09
 oa 32
B) Haighův diagram - krut
kt 1 
kt 2 
1
ta
tm

t cx Rm
1
ta

R p0,2
3

3
1
25,3
25,3

94 700
3

tm
R p0,2
3
 3,01
1
25,3
25,3

560
560
3
3
 6,39
kt  min kt 1, kt 2   min 3,01; 6,39  3,01
B) Kombinace namáhání
k
1
1
1


k 2 k2 kt2

k
1
1
1

k2 kt2

1
1
1

4,092 3,012
 2,42
C) Kombinace namáhání s ekvivalentní
amplitudou napětí (…)
 cox 131
k 

 4,09
 oa 32
t a eqv  t a t a  t m   25,325,3  25,3  35,77 MPa
kt 
1
k
2

1
2
k

1
2
kt

k
t cx
t a eqv
1
1
2
k

1
2
kt

94
 2,62
35,77

1
1
4,09
2

1
2,622
 2,21
Př.: Prutová soustava – SU
• Fh = + 10 000 N
• Fd = - 10 000 N
2a
h
a/2
F
•
•
•
•
•
•
•
• určit bezpečnost pro teoreticky
nekonečnou životnost
absolutně tuhý trám
h = 1 000 mm
a = 500 mm
mez pevnosti materiálu prutů 600 MPa
hladké pruty, kruhový průřez 100 mm2
povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95
součinitele velikosti všech prutů 0,98
Př.: Prutová soustava – SN
a
• Fh = + 20 000 N
• Fd = - 20 000 N
a
h
a/2
F
•
•
•
•
•
•
•
• určit bezpečnost pro teoreticky
nekonečnou životnost
absolutně tuhý trám
h = 1 000 mm
a = 500 mm
mez pevnosti materiálu prutů 600 MPa
hladké pruty, kruhový průřez 100 mm2
povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95
součinitele velikosti všech prutů 0,98
Př.: Prutová soustava – SU – 2
parametry
l
l
1
2
 
H
V
N1
N2
H
V
• určit maximální rozmezí symetricky
střídavých sil (působících ve fázi) pro
teoreticky nekonečnou životnost v
závislosti na úhlu alfa
• l = 1 000 mm
• mez pevnosti materiálu prutů 600
MPa
• hladké pruty, kruhový průřez 100
mm2
• povrch prutů leštěn – souč. jak.
povrchu 0,95
• součinitele velikosti všech prutů 0,98
Př.: Prutová soustava – SU – 2
parametry
zakreslení diagramu pro mezní stav:
 2 cos 
b)
d)
 2 cos
cotg
2 cos
c)
a)
cotg
H
 cx A
2 cos 
bezpečnost OK
V
 cx A
jeden prut na mezi
únavy součásti, tj. v
jednom prutu
bezpečnost rovna
jedné
Př. – Předepjatý šroubový spoj
Určete míru bezpečnosti spoje při namáhání míjivou silou F0 = 30 kN a předpětím
v mezích 30÷70 kN.
Spoj se skládá z ocelového šroubu M20x2,5 (řezaného závitu) a přírub potrubí.
materiál šroubu (při 25°C):
pt = 550 MPa
k = 350 MPa
poddajnosti:
c1  1,2  10 6 mm.N -1
c2  0,12  10  6 mm.N -1
průměr jádra šroubu:
d3  16,93 mm
Silový rozbor
M
F
Při utahování šroubu kroutícím momentem M vzniká
osová síla předpětí Q.
Díky tomuto předpětí dochází k deformaci jak šroubu
tak i spojovaných součástí:
Šroub se prodlouží o: c1Q
Q
Příruby se stlačí o:
c2Q
Poddajnosti c1 a c2 lze určit dle:
c1 
c2 
l1

E1A1
l2
E 2 A2
1
tg

1
tg 
 l1 je celková délka spojovaných součástí +
výška matice (mm)
 E1 je modul pružnosti v tahu materiálu šroubu
(MPa)
 A1 je střední průřez závitu (mm)
 l2 je délka spojovaných součástí (mm)
 E2 je modul pružnosti v tahu spojovaného
materiálu (MPa)
 A2 je plocha průřezu tzv. tlakového dvojkužele
Pracovní diagram šroubového spoje
a) stav po dotažení:
lcykl  0
Fš  Fp  Q
F1
F2
Q
c) odsednutí přírub:
F
lcykl    
přírub.


šroub
Fp
Fp  0, F2  Q, F1  F  Q

lstat
F  F1  F2

b) zatížení vnější kmitající silou F:
Fš  F1 

c1
, Fp  F2 
F
c2
, F2 
1  c1 
1  c1 



c2 
c2 


F
c 1
F1  ,
F2 
F
c
c
F1 
lcykl    

c2
F c1
Pracovní diagramy šroubového spoje
Napětí ve šroubu
F1
Napětí ve šroubu je funkcí zátěžné síly F:

ad b) zatížení vnější kmitající silou F:
lcykl    
=
tg = 1/c
Q/(c-1)
F
Qc/(c-1)=1.1Q
Při provozním zatížení silou
F0 = 30 kN a neznámém
předpětí Q lze zatím určit jen
ad b)
a 
F
4950

30000
4950
 6,06 MPa
tj. F  1,1 Q
a 
F1
F
F
F



2A0 2cA0 2  11 225 4950
m 
1 
F 
Q  1 
A0 
2
ad c) odsednutí přírub:
lcykl    
tj. F  1,1 Q
a 
F Q F Q F Q


2A0
2  225
450
m 
1 
F  Q F Q F Q


Q  1  
A0 
2  A0
2A0
450
Mez únavy šroubu
Výpočet meze únavy cx šroubu bude bez experimentálních podkladů velmi nejistý.
Podle některých zkoušek je součinitel vrubu  šroubu vysoký!
Podklady pro výpočet:
a) experimentální data (platná pro závity M < 16  VLIV VELIKOSTI ŠROUBU)
[-]
cx [MPa]
pt
c
[MPa]
[MPa]
řezaný
válcovaný
řezaný
válcovaný
35 (11 550)
500
180
3,6
2,8
50
65
45 (12 050)
650-800
220
3,7
2,8
60
80
30 ChGSA (14 331)
950-1100
300
4,0
3,0
75
100
800
300
4,0
3,0
75
100
Ocel
(ekvivalent)
30 ChA (14 140)
Vliv velikosti: d  16  40  ks  0,9  0,7
d  40  80

ks  0,7  0,4
Mez únavy šroubu
b) Korekce na střední napětí m:
Pro nesymetrické zatěžování při m  0,5 p0,2 se provádí korekce na střední
napětí.
Pro řešený případ vychází:
m 
Q
max

A0
min
70000
225
30000
 311,1 MPa
 133,3 MPa
225
Z tabulky (ocel 11 550, řezaný závit):
Korekce na  m  200 MPa
 cx R  -1   cx 1   m
 pt
 cx  50 MPa;
 50 1  200
550
  3,6
 39,9 MPa
Korekce na velikost:
ks  0,9 M20 ;  cx M20   35,9 MPa
Mez únavy šroubu
c) Wöhlerovy křivky spojů:
Platí pro oceli s pt = 900÷1200 MPa, válcovaný závit.
logAx
Interpolace na M20:

 cx M20   55 MPa
300
200
M8
M24
70
50
104
105
106
logN
107
Mez únavy šroubu
d) empirický vztah dle Heywooda:
25  d
25  20
 cx  0,15 pt
 0,15  550
 43,6 MPa
25  3d
25  3  20
 cx R  -1   cx 1   m
e) klasický vztah:
 cx 
 pt
 43,6 1  200
550
 34,8 MPa
 c ks ksf kt 180  0,87  1 0,8

 35 MPa

3,6
Závěr:
s přihlédnutím k experimentům:
 cx,šroubu  35 MPa
Bezpečnost šroubového spoje
Rekapitulace:
Mez únavy šroubu při m  200 MPa je cx = 35 MPa
Namáhání:
ad b)   :
a 
ad c)  > :
a 
1 F
2 cA0
1 F Q
2 A0
F

4950

,m 
F Q
450
1 
F  22Q  F
Q  1  
A0 
2
4950
, m 
Q
A0

F Q
2A0

F Q
450
Předpokládá se, že provozní síla se bude zvyšovat z počáteční hodnoty F0 = 30 kN
na hodnotu mezní, kdy nastává únavový lom. Předpokládat proporcionální růst síly
podle vztahu:
F  F0
Bezpečnost šroubového spoje
a
cx
F  F0

 a     a0
a
Při provozní síle:
M:  = kc
A
  1, tj.  a   a
P:  = 1
Na mezní čáře:
m
M
Rm  m
  k, tj.  a   A
Mezní čára (čára „dynamické pevnosti“) Haighova diagramu (lineární):
 A M

1
x
 c Rm
Bezpečnost šroubového spoje
b) neodsednutí přírub: F  F0
F  k1F0
A 
c) odsednutí přírub:
1 k1F0
2 cA0
k1F0

,
4950
M 
1 
F  22Q  k1F0
Q  1  
A0 
2
4950
,
M 
F  k2F0
A 
1 k2F0  Q
2
A0

k2F0  Q
450
Q
A0

k2F0  Q
2A0
Mezní čára (čára „dynamické pevnosti“) Haighova diagramu (lineární):
 A M

1
x
 c Rm

k2F0  Q
450
Bezpečnost šroubového spoje
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
30000
ad c) odsednutí přírub:
3
2.5
2
k 2 [-]
k 1 [-]
ad b) zatížení vnější kmitající silou F:
1.5
1
0.5
40000
50000
60000
Q [N]
70000
0
30000
40000
50000
60000
Q [N]
Diskuze:
S rostoucím předpětím roste a, ale bezpečnost k1 > 2,0 je dostatečná.
S poklesem předpětí roste riziko odsednutí přírub c) a pokles bezpečnosti pod
k2 < 2,0  nutné dotahovat spoje.
70000
Bezpečnost šroubového spoje
Optimální předpětí?
!
k 1 [-]
k1  k 2
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
30000
k1
k2
40000
50000
Q [N]
60000
70000
Úpravy pro zvýšení únavové odolnosti
Šroub je namáhán pulzujícím tahem (pokud se neuvažuje ohybové namáhání od
např. nerovnoběžnosti dosedacích ploch pod hlavou šroubu a maticí).
Závit představuje vysoký koncentrátor napětí  dochází k přetěžování prvního
závitu v matici  poruchy únavou.
Východiskem mohou být různé konstrukční úpravy  rovnoměrnější rozložení
silového toku závitem  snížení součinitele vrubu .
Úpravy pro zvýšení únavové odolnosti
Úpravy pro zvýšení únavové odolnosti