2 - tyodongss
Download
Report
Transcript 2 - tyodongss
1
Menghitung luas daerah
dengan menggunakan
integral
2
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva dapat ditentukan dengan menghitung
integral tertentu.
3
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)
kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva
y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a
Dan x = b adalah sebagai berikut:
4
y1 =f(x)
Y
Luasnya ?
O x=a
y2 =g(x)
X
x=b
b
L = f ( x ) g ( x ) dx ; f(x) > g(x)
a
5
Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan
garis-garis x = 0 dan x = 2
6
Penyelesaian:
Sketsalah terlebih dahulu
grafik y = 3x2 + 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)
7
Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
Y
y = 3x2 + 6x
L=?
-2
O
X
x =2
8
y = 3x2 + 6x
Y
-2
X
L=?
O
x =2
2
L=
(3 x
2
6 x ) dx x 3 x
3
2
2
0
0
( 2 3 . 2 ) 0 20 satuan luas
3
2
9
Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
10
Penyelesaian:
Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8
Y
y = x3
y=8
X
O
11
Y
y=
x3
x y
y=8
1
3
X
O
d
L
xdy
c
8
8
0
1
3
y dy
1
4
3
y
4
3
0
3
4
8
y
4
3
0
12
8
1
3
y dy
0
3
4
3
8
y
4
3
0
(8
4
3
4
3
0 )
4
3
4
3
4
.8
4
3
3
4
.2
3. 3
4
4
. 16 12
Jadi, luasnya adalah 12 satuan
luas
13
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu X, dan garis
y = x + 6 adalah…
14
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6
Y
y = x2
6
X
–6
15
Y
y = x2
6
?
X
–6
batas atas ditentukan oleh perpotongan
kedua grafik
16
Y
y = x2
6
X
–6
Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6
x2 = x + 6 x 2 – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
17
Y9
y = x2
6
X
–6
-2
3
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 y = 9 (3,9)
x = -2 y = 4 (-2,4)
18
Y9
y = x2
6
X
–6 -2
3
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
19
Y9
y = x2
6
X
–6 -2
3
3
3
L = ( x 6 x ) dx ( 12 x 6 x 13 x ) 0
2
0
1
2
2
3
.3 6 .3 .3 ( .0 6 .0 .0 )
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
20
L = .3 6 .3 .3 ( .0 6 .0 .0 )
2
1
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
4 12 18 9 0
13
1
2
Jadi,
luasnya adalah 13 12 satuan luas
21
Pembahasan soal
LUAS DAERAH
(INTEGRAL)
22
Soal 1:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…
23
Penyelesaian:
Sketsa grafik kurva y = x2 - 6x + 8
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → x2 - 6x + 8 = 0
→ (x - 2)(x - 4) = 0 → x1 = 2 dan x2 = 4
Sehingga titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
24
Titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
Y
y = x2 – 6x + 8
X
2
O
4
L=?
4
4
L = ( x 6 x 8 ) dx - ( x 3 x 8 x ) 2
2
3
1
3
2
2
( .4 3 .4 8 .4 ) ( .2 3 .2 8 .2 )
1
3
3
2
1
3
3
2
25
L = ( . 4 3 . 4 8 . 4 ) ( . 2 3 . 2 8 . 2 )
1
3
3
2
3
1
3
2
( 643 48 32 ) ( 83 12 16 )
( 643 16 ) ( 83 4 )
(
64
3
) ( 20 )
8
3
( ) (
56
3
60
3
)
4
3
Jadi, luasnya adalah
4
3
satuan
luas
26
Soal 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…
27
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x3 – 1
diperoleh dengan menggeser
grafik y = x3 sejauh 1 satuan
ke bawah
28
y = x3
Y
y = x3 – 1
–1 O
1 2
–1
X
x=2
x = –1
1
2
L = ( x 1) dx ( x 1) dx
3
3
1
1
( x x)
1
4
4
1
1
( x x)
1
4
4
2
1
29
2
1
L = ( x 1) dx
3
1
( 14 x x )
4
1
1
(x
3
1) dx
1
( 14 x x )
4
2
1
( 1) ( 1) ( 4 2 ) ( 1)
1
4
1
4
1
4
30
( 1) ( 1) ( 4 2 ) ( 1)
1
4
1
4
1
4
2 ( 2 34 )
22
4
3
4
3
4
Jadi,
luasnya adalah 4¾ satuan luas
31
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
grafik fungsi y = 2 – x2, dan garis
y = x adalah…
32
Penyelesaian:
Karena kedua titik batas pengintegralan
belum diketahui,
maka kita harus menentukannya,
dengan cara menentukan titik potong
kedua grafik fungsi
33
Penyelesaian:
Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
dan y = x sebagai berikut;
2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0 x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
34
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
Y
2
X
–2
1
y = 2 - x2
35
Y
2
X
–2
1
y = 2 - x2
L=
1
(2 x
2
x ) dx (2x
2
1
3
x
3
1
2
1
2
x )
2
( 2 . 1 . 1 . 1 ) 2 .( 2 ) .( 2 ) .( 2 )
1
3
3
1
2
2
1
3
3
1
2
2
36
L = ( 2 . 1 13 . 13 12 . 1 2 ) 2 .( 2 ) 13 .( 2 ) 3 12 .( 2 ) 2
( 2 13 12 ) ( 4 ) 8 2
3
2 6 13 83 12
8 93
4
1
2
1
2
Jadi,
luasnya adalah 4 12
satuan luas
37