Transcript 2 - tyodongss

1
Menghitung luas daerah
dengan menggunakan
integral
2
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva dapat ditentukan dengan menghitung
integral tertentu.
3
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)
kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva
y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a
Dan x = b adalah sebagai berikut:
4
y1 =f(x)
Y
Luasnya ?
O x=a
y2 =g(x)
X
x=b
b
L =  f ( x )  g ( x ) dx ; f(x) > g(x)
a
5
Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan
garis-garis x = 0 dan x = 2
6
Penyelesaian:
Sketsalah terlebih dahulu
grafik y = 3x2 + 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)
7
Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
Y
y = 3x2 + 6x
L=?
-2
O
X
x =2
8
y = 3x2 + 6x
Y
-2
X
L=?
O
x =2
2
L=
 (3 x
2
 6 x ) dx  x  3 x
3
2
2
0
0
 ( 2  3 . 2 )  0  20 satuan luas
3
2
9
Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
10
Penyelesaian:
Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8
Y
y = x3
y=8
X
O
11
Y
y=
x3
 x y
y=8
1
3
X
O
d
L 
 xdy
c
8
8


0
1
3
y dy 
1
4
3
y
4
3

0
3
4
8
y
4
3
0
12
8

1
3
y dy 
0

3
4
3
8
y
4
3
0
(8
4
3
4
3
0 )
4


3
4
3
4
.8
4
3

3
4
.2
3. 3
4
4
. 16  12
Jadi, luasnya adalah 12 satuan
luas
13
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu X, dan garis
y = x + 6 adalah…
14
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6
Y
y = x2
6
X
–6
15
Y
y = x2
6
?
X
–6
batas atas ditentukan oleh perpotongan
kedua grafik
16
Y
y = x2
6
X
–6
Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6
x2 = x + 6  x 2 – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
17
Y9
y = x2
6
X
–6
-2
3
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3  y = 9  (3,9)
x = -2  y = 4  (-2,4)
18
Y9
y = x2
6
X
–6 -2
3
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
19
Y9
y = x2
6
X
–6 -2
3
3
3
L =  ( x  6  x ) dx  ( 12 x  6 x  13 x ) 0
2
0
1
2
2
3
 .3  6 .3  .3  ( .0  6 .0  .0 )
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
20
L = .3  6 .3  .3  ( .0  6 .0  .0 )
2
1
2
1
3
3
1
2
2
1
3
3
 4 12  18  9  0
 13
1
2
Jadi,
luasnya adalah 13 12 satuan luas
21
Pembahasan soal
LUAS DAERAH
(INTEGRAL)
22
Soal 1:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 – 6x + 8 dan sumbu X adalah…
23
Penyelesaian:
Sketsa grafik kurva y = x2 - 6x + 8
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → x2 - 6x + 8 = 0
→ (x - 2)(x - 4) = 0 → x1 = 2 dan x2 = 4
Sehingga titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
24
Titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)
Y
y = x2 – 6x + 8
X
2
O
4
L=?
4
4
L =  ( x  6 x  8 ) dx  - ( x  3 x  8 x ) 2
2

3
1
3
2
 
2
  ( .4  3 .4  8 .4 )  ( .2  3 .2  8 .2 )
1
3
3
2
1
3
3
2

25
L =  ( . 4  3 . 4  8 . 4 )  ( . 2  3 . 2  8 . 2 ) 
1
3
3
2
3
1
3
2
  ( 643  48  32 )  ( 83  12  16 ) 
  ( 643  16 )  ( 83  4 ) 
  (
64
3
 )  (  20 ) 
8
3
  ( )  ( 
56
3
60
3
)    
4
3

Jadi, luasnya adalah
4
3
satuan
luas
26
Soal 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
Kurva y = x3 – 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…
27
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x3 – 1
diperoleh dengan menggeser
grafik y = x3 sejauh 1 satuan
ke bawah
28
y = x3
Y
y = x3 – 1
–1 O
1 2
–1
X
x=2
x = –1
1
2
L =   ( x  1) dx   ( x  1) dx
3
3
1
1
 ( x  x)
1
4
4
1
1
 ( x  x)
1
4
4
2
1
29
2
1
L =   ( x  1) dx 
3
1
  ( 14 x  x )
4
1
1
 (x
3
 1) dx
1
 ( 14 x  x )
4
2
1
  (  1)  (  1)   ( 4  2 )  (  1) 
1
4
1
4
1
4
30
  (  1)  (  1)   ( 4  2 )  (  1) 
1
4
1
4
1
4
   2   ( 2  34 ) 
 22
4
3
4
3
4
Jadi,
luasnya adalah 4¾ satuan luas
31
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
grafik fungsi y = 2 – x2, dan garis
y = x adalah…
32
Penyelesaian:
Karena kedua titik batas pengintegralan
belum diketahui,
maka kita harus menentukannya,
dengan cara menentukan titik potong
kedua grafik fungsi
33
Penyelesaian:
Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
dan y = x sebagai berikut;
2 – x2 = x
x2 + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0  x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
34
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
Y
2
X
–2
1
y = 2 - x2
35
Y
2
X
–2
1
y = 2 - x2
L=
1
 (2  x
2
 x ) dx  (2x 
2

1
3
x 
3
1
2
1
2
x )
2
 ( 2 . 1  . 1  . 1 )  2 .(  2 )  .(  2 )  .(  2 )
1
3
3
1
2
2
1
3
3
1
2
2

36
L = ( 2 . 1  13 . 13  12 . 1 2 )  2 .(  2 )  13 .(  2 ) 3  12 .(  2 ) 2 
 ( 2  13  12 )  (  4 )  8  2 
3
 2  6  13  83  12
 8  93 
4
1
2
1
2
Jadi,
luasnya adalah 4 12
satuan luas
37