Transcript Z - SRIKANDI KUMADJI

Srikandi Kumadji
DISTRIBUSI NORMAL
Ciri-ciri distribusi/kurva Normal

Model Matematika
f
f
X 
X :

1
2
e
1
2
 X  

2
2
density of random variable X
  3.14159;
e  2.71828
 : population m ean
 : population standard deviation
X : value of random variable
 
 X  
DISTRIBUSI NORMAL
1.
2.
3.
4.
5.
Kurvanya berbentuk garis lengkung yang
halus dan berbentuk seperti genta.
Simetris terhadap mean 
Kedua ekor/ujungnya semakin mendekati
sumbu absisnya tetapi tidak pernah
memotong.
Jarak titik belok kurva tersebut dengan
sumbu simetrisnya sama dengan 
Luas daerah di bawah lengkungan kurva
tersebut dari - ~ sampai + ~ sama dengan
1 atau 100%.
DISTRIBUSI NORMAL
Karena persamaan kurva normal tersebut di
atas tergantung pada nilai-nilai  dan ,
maka kita akan mempunyai bermacammacam bentuk kurva tergantung dengan
nilai

dan

tersebut.
Untuk
menyederhanakan kemudian dibuat kurva
normal standard.
KURVA NORMAL STANDARD
adalah kurva normal yang sudah
diubah menjadi distribusi nilai Z,
di mana distribusi tersebut akan
mempunyai  = 0 dan deviasi
standard  =1.
Z=
x 

KURVA NORMAL STANDARD



Kira-kira 68% dari data observasi
akan berada dalam daerah satu 
disekitar . Jadi antara  -  dan
 + .
Kira-kira 95% dari data observasi
akan berada dalam daerah  - 2
dan  + 2.
Kira-kira 99% dari data observasi
akan berada dalam daerah  - 3
dan  + 3.
Nilai Z (standard units)
angka yang menunjukkan
penyimpangan suatu nilai variabel (X)
dari mean μ dihitung dalam satuan
deviasi standard 
Untuk mengetahui berbagai luas di
bawah lengkungan kurva normal
standard sudah tersedia tabelnya yakni
Tabel - Luas Kurva Normal.
Luas Kurva Normal
Z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,2390
0,0279
0,2790
0,0359
0,1
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0675
0,0753
0,2
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
1,2
0,3944
Contoh:
Misalkan dipunyai kurva normal dengan  = 100 dan  = 20.
a. Hitunglah luas kurva normal antara 100-125. ini sama saja dengan mencari
P (100  X 125).
Z
=
=
x 

125  100
20
= 1,25
Menurut Tabel luasnya 0,3944 atau 39,44%
b. Hitunglah luas kurva normal antara 80—100. Dinyatakan dengan
P(80  X  100).
x 
Z
=
=

80  100
20
= -1
Menurut Tabel luasnya 0,3413 atau 34,13%
Luas Kurva Normal
c.Hitunglah luas kurva normal antara 75—120. Dinyatakan dgn P(75  X  120).
Luasnya = area Z2 – Z1
Z1
x 
=

75  100
=
20
= -1,25 luasnya 0,3944
Z2
=
120  100
=+1
20
luasnya 0,3413
Jadi luas seluruhnya adalah 0,3944+0,3413=0,7357 atau 73,57%.
d. Hitunglah luas kurva normal antara 110—130. Dinyatakan dengan
P(110X 130).
Luasnya = area Z2 – Z1
130  100
Z2 =
20
= 1,5 luasnya 0,4332
Z1 =
130  100
20
= 0,5 luasnya 0,1915
Luas yang ditanyakan = 0,4332 - 0,1915 = 0,2417 atau 24,17%.
e.Hitunglah luas kurva normal antara 60—85. Dinyatakan dgn
P(60 X 85).
Luasnya = area Z2 – Z1
Z1
=
60  100
20
= - 2 luasnya 0,4772
85  100
Z2
=
20
= - 0,75 luasnya 0,2734
Luas yang ditanyakan = 0,4772 — 0,2734 = 0,2038 atau 20,38%
f. Hitunglah luas kurva normal 135 ke kanan. Di sini sama saja menghitung
probabilitas untuk nilai X yang sama atau lebih besar dari 135. Dinyatakan
dengan P(X 135).
Luasnya = area 0,5 — Z
=
135  100
20
= 1,75 luasnya 0,4599
Luas yang ditanyakan = 0,5 — 0,4599 = 0,0401 atau 4,01%.
g. Hitunglah luas kurva normal 90 ke kiri. Dinyatakan dengan P(X<90).
Luasnya = area 0,5 - Z
60  100
Z =
20
= - 0,5 luas 0,1915
P(X 90) =
0,5 — 0,1915
= 0,3085 atau 30,85%.
h.
Hitunglah luas kurva normal 135 ke
kiri. Di sini sama saja menghitung
probabilitas untuk nilai X yang
sama atau kurang dari dari 135.
Dinyatakan dengan P(X ≤135).

i. Hitunglah luas kurva normal 90 ke
kanan. Dinyatakan dengan P(X≥90)
Diselidiki hasil panenan pada dari 300 orang petani di
suatu daerah. Dari hasil penyelidikan tersebut kita
ketahui bahwa hasil panenan rata-rata (μ) = 50 kw
dengan standar deviasi (σ) = 10 kw.
Seandainya hasil panenan padi dari 300 orang petani
tersebut mendekati distribusi normal, ditanyakan:
a.
Berapa probabilitasnya dari petani-petani tersebut yang hasil
panenannya yang berkisar 40 sampai dengan 65 kw.
Ditanyakan dengan P(40≤X ≤65).
Berapa proporsi petani yang hasil
panenannya berkisar antara 50 sampai
dengan 70 kw?

c. Berapa persen petani yang hasil panennya 75 kw atau lebih?
Z=
75  50
10
= 2,50
Luasnya = 0,4938
Luasnya daerah yang diarsir = 0,50 — 0,4938
= 0,0062 atau 0,62%.
d. Berapa proporsi petani yang hasil panenannya 35 kw atau kurang?
35  50
Z=
10
= - 1,50
Luasnya = 0,4332
Luas daerah yang diarsir 0,50 — 0,4332 = 0,0668.
e. Sepuluh persen (10%) dari para petani tersebut mempunyai hasil panenan beberapa kw.
Di dalam tabel yang mendekati 45%
adalah
44,95%, terletak pada nilai Z = 1,64.
X  50
Z1 =
- 1,64
10
=
X 1  50
10
-1,64 (10) = X1 – 50
X1 = 33,6
Z2 = X2 – 50
1,64 (10) = X2 —50
X2
= 66,4
f.Berapa hasil panenan paling rendah bagi 25% petani yang mempunyai hasil
panenan tinggi.
Di dalam tabel yang mendekati 25% adalah 24,86%, terletak pada nilai Z = 0,67.
X  50
0,67 =
10
0,67(10) = X - 50
X = 56,7.
PENDEKATAN KURVA NORMAL
UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL
Apabila
p sama dengan 1/2 dan n adalah besar, maka
distribusi binomial akan mendekati distribusi normal. Di
dalam praktiknya, daerah kurva normal dapat
dipergunakan untuk menghitung probabilitas binomial,
walaupun n adalah relatif kecil dan p tidak sama
dengan 1/2.
Oleh karena distribusi binomial mempunyai variabel
discrete, sedangkan distribusi normal bervariabel
kontinyu, maka dalam menggunakan distribusi normal
untuk memecahkan persoalan binomial perlu diadakan
penyesuaian sebagai berikut: untuk harga variabel X
batas bawah diundurkan 0,5 dan harga variabel X batas
atas diajukan 0,5.
Contoh1:
Besarnya
probabilitas untuk memperoleh 5 permukaan A dalam 12 kali
lemparan dari mata uang logam yang masih baik, dapat dihitung sebagai
berikut:
N = 12, X =5,
P(5; 12) =
dan
12 !
5 ! ( 12  5 )!
p = l/2
= 792 x 1/32 x 1/128
=
792
4 . 096
= 0,1934
5
x1 / 2 x1 / 2
7
PENDEKATAN KURVA UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL
Apabila
kita gunakan kurva normal
 = np = 12(1/2) = 6
 = np(1p) 
12(1/2)(1/ 2)
= 1,732
Z1 =
4 ,5  6
1, 732
Z2=
5 ,5  6
1, 732
  0 ,87
  0 , 29
Luasnya masing-masing adalah 0,3078 dan 0,1141. Jadi luas 4,5 sampai
5,5 = 0,3078-0,1141 = 0,1937.
Perbedaan antara hasil rumus binomial dengan normal = 0,1937 —0,1934 =
0,0003, karena kecil sekali dapat kita abaikan.
Contoh 2:
Sebuah
mesin pencetak menghasilkan barang cetakan yang rusak
sebanyak 10%. Dari sampel sebanyak 400 barang cetakan dari proses
produksi yang sedang berjalan, tentukan probabilitasnya:
n = 400, P =10%
 = np = 400. 10% = 40
np(1p) 
=
4 0 . 10 %. 90 % 
36  6
a. Yang rusak 50.
Z1 =
Z2
=
50 , 5  40
= 1,75
6
49 , 5  40
6
=
9 ,5
6
luasnya 0,4599
= 1,58 luasnya 0,4429
Jadi luas antara 49,5 — 50,5 adalah: 0,4599 — 0,4429 = 0,1170.
PENDEKATAN KURVA UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL
b.Yang
Z1 =
Z2 =
rusak antara 30 dan 50.
29 , 5  40
=
6
10 , 5
6
= - 1,75 luasnya 4599
50 , 5  40
6
= 1,75 luasnya 0,4599
Jadi luas antara 29,5 – 50,5 adalah: 0,4599 + 0,4599 = 0,9198
PENDEKATAN KURVA UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL
c. Yang rusak paling banyak 30.
Z=
30 , 5  40
6
=
 9 ,5
6
= -1,58 luasnya 0,4429
Jadi luas 30,5 ke kiri adalah 0,5 – 0,4429 = 0,0571.
d. 55 atau lebih akan rusak
Z=
54 , 5  40
6
= 2,42 luasnya 0,4922
jadi 54,5 ke kanan adalah: 0,5 – 0,4922 = 0,078
KALAU BEGITU…….

TERIMA KASIH