Transcript propiedades de los ángulos formados por líneas notables del

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LÍNEAS NOTABLES Y SUS
PROPIEDADES
Profesor:
Enrique Gómez Vértiz
MATEMATICA
3ro de Secundaria
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Presentación
Dentro de las propiedades del triángulo
también se encuentra las Propiedades de
Líneas Notables que nos permitirá tener
conocimiento mas amplio de los ángulos
del Triángulo y resolver ejercicios mas
complicado.
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CONTENIDO TEMATICO
Recordando el triángulo
Clic..
1. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
2. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
3. PROPIEDADES ADICIONALES
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
MEDIANA
Es el segmento que se traza desde un
vértice del triángulo al punto medio de
su lado opuesto
Todo triángulo tiene tres medianas, las
cuales se intersectan en un punto
interior llamado BARICENTRO
B
B
P
A
M
BM es la mediana con
respecto al lado AC
C
A
G
M
N
C
Las medianas AN, BM y CP se
intersectan en el punto G, llamado
BARICENTRO del triangulo ABC
Inicio
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
MEDIATRIZ
Se llama mediatriz de un lado a una
recta perpendicular en el punto medio
de dicho lado
B
l
Q
C
A
L es la mediatriz del
lado AC
Todo triangulo tiene tres mediatrices
correspondientes a cada lado,. Dichas
mediatrices se intersectan en un punto
llamado CIRCUNCENTRO
O
P
R
O CIRCUNCENTRO del triángulo PQR
PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO
-Es un punto interior si el triangulo es acutángulo
-Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo
-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es
rectángulo
Inicio
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
BISECTRIZ INTERIOR
Es la bisectriz de cada uno de los
ángulos internos
Todo triángulo tiene tres bisectrices
interiores, las cuales se intersectan en
un punto interior llamado INCENTRO
B
B
E
A
C
D
BD es bisectriz interior
relativa al lado AC
A
F
I
D
C
Las bisectrices AF, BD y CE se
intersectan en el punto I, llamado
INCENTRO del triangulo ABC
Inicio
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
BISECTRIZ EXTERIOR
Es la bisectriz de un ángulo exterior
del triángulo.
El punto de intersección
de dos
bisectrices exteriores y de una bisectriz
interior se llamado EXCENTRO
H
B
B
E
A
C
CH es bisectriz exterior
respecto al
C
A
C
Las bisectrices BE y CE y CE con la
bisectriz interior AE se intersectan
en el punto ”E”, llamado EXCENTRO
del triangulo ABC
Inicio
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
ALTURA
Es el segmento que se traza desde un
vértice y en forma perpendicular al
lado opuesto o a su prolongación.
Todo triangulo tiene tres alturas, las
cuales se intersectan en un punto
llamado ORTOCENTRO
B
B
I
J
A
H
BH es la altura respecto a AC
C
R
C
H
Las alturas BH, AI y CJ se intersectan en el punto R, llamado
ORTOCENTRO del triangulo ABC
A
PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO
-Es un punto interior si el triangulo es acutángulo
-Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo
-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es
rectángulo
Inicio
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
1. En todo triángulo la medida de un ángulo obtuso formado por las
bisectrices interiores de los ángulos, es igual a 90° más la mitad de
la medida del tercer ángulo interior
B
Δ ABC, AI y CI son bisectrices
interiores de los ángulos A y C,
respectivamente
θ
Φ
x
α
A
x  90 
β
β
﴿
α
C

2
Inicio
Ejemplo:
x  90 
40°
x

2
40
x  90 
2
x  90  20
x  110
Inicio
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
2. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la
bisectriz interior de uno de los ángulos y la bisectriz exterior de otro
ángulo, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
B
θ
x
F
Δ ABC, AF es bisectriz interior del
ángulo A, CF es bisectriz exterior
del ángulo C.
I
α
A
δ
α
β
β
Φ
Φ
C
x

2
Inicio
Ejemplo:
30°
x
x

2
3 0
x
2
x  1 5
Inicio
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
3. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la
bisectrices exteriores de dos ángulos es igual a 90° menos la mitad
de la media del tercer ángulo interior.
E
x
ω
B
ω
Δ ABC, BE y CE son bisectrices
exteriores de los ángulos B y C,
respectivamente
β β
δ
I
θ
A
α
Φ
α
C
x  90 
Φ

2
Inicio
Ejemplo:
x
)
50°
x  90 

2
50
x  90 
2
x  90  25
x  65
Inicio
PROPIEDADES ADICIONALES
B
y
Demostración:
y
Presionando clic
Los ángulos de la Bisectriz toman el valor de y
Al trazar la altura, sabemos que en el Δ
Rectángulo la suma de la medida de los ángulos
agudos es 90°
1.  del_ ABH
9 0    ( y  x )
2.  del _ HBC
θ
α
A
9 0    ( y  x )
H
Igualando 1 y 2
  ( y  x)    ( y  x)
M
BH es altura
BM es Bisectriz
de mostrar que se cumple
 
x
2
C
de la ecuación despejamos x
2x    y  y  
nos queda:
x
 
2
→ eliminando y
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PROPIEDADES ADICIONALES
Demostración:
B
Prolongamos CD
β
y
Se forma el Δ HBC
De la Propiedad:
La medida de un ángulo exterior es igual
a la suma de las medidas de los ángulos
interior no adyacentes.
H
((
D
θ
Presionando clic
x
A
α
y  
C
del Δ AHD
se dice que
Demostrar que se cumple:
x     
x   y
Remplazando y
x     
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