Transcript Segmentos Notables en un Triángulo
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Segmentos Notables
en un Triángulo
Slide 2
Segmentos notables en un
triángulo
Introducción.
Tarea.
Proceso.
Recursos.
Evaluación.
Conclusión.
Página del Profesor.
Slide 3
Segmentos notables en un
triángulo
Espero que te haya gustado esta forma
de trabajar.
¡ANIMO!
Slide 4
INTRODUCCIÓN
Slide 5
INTRODUCCIÓN
Los segmentos que se definen en un
triángulo son importantes, porque gracias a
ellos vamos a continuar desarrollando
nuestra geometría y a descubrir algunas
particularidades de ellos que van a ser
curiosas y significativas.
A trabajar con:
¡ANIMO!
Slide 6
TAREA
Slide 7
Tarea
Respecto al Segmento Notable que le
toco a su grupo:
Defínalo.
Muestre sus características.
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PROCESO
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PROCESO
• Investiguen lo relacionado con el
Segmento Notable que le correspondió a
su grupo.
• Construya una presentación, utilizando
alguna forma que ustedes conozcan.
• Realizar la presentación, en el lugar y la
hora que les corresponda.
• Deben entregar un CD, con el material
recopilado y la presentación.
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RECURSOS
Slide 11
RECURSOS
• Empleen la bibliografía entregada.
• Ayúdense con Cabri.
• Investigue en GeoClic.
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EVALUACIÓN
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MATRIZ DE EVALUACIÓN
Excelente
Muy
Bueno
Bueno
Regular
Malo
Muy
Malo
Definició
n
Definició
n
completa
Definició
n con un
detalle
(malo)
poco
significati
vo
Definició
n con dos
detalles
pocos
significati
vos
Definició
n con
detalle
significati
vo
Definició
n con
detalles
significati
vos
No
definen
Caracterís
ticas
Entrega
todas las
característ
icas
Entrega
característ
icas con
detalle
poco
significati
vo
Entrega
característ
icas con
detalles
pocos
significati
vos
Entrega
característ
icas con
detalle
significati
vo
Entrega
característ
icas con
detalles
significati
vos
No
enuncia
las
característ
icas
Presentaci
ón
Motivado
ra,
creativa y
clara
Clara y
creativa,
pero poco
motivador
a
Clara y
motivador
a, pero
poco
creativa
Poco
motivador
a, poco
creativa y
poco
clara
Sin
motivació
n, no es
creativa y
no es
clara
No
realizan
la
presentaci
ón
CD
Entregan
CD en el
momento
estipulado
Entregan
CD en el
día
estipulado
Entregan
CD al
otro día
Entregan
CD dos
días
después
Entregan
CD tres
días
después
No
entregan
CD
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CONCLUSIÓN
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CONCLUSIÓN
Espero que esta forma de trabajo les
haya gustado y que puedan haberse
dado cuenta de que son capaces de
aprender ayudándose mutuamente.
¡Animo!
¡Sigan adelante!
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PAGINA DEL
PROFESOR
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PAGINA DEL
PROFESOR
•Página del Profesor.
•WebQuest 1.
•WebQuest 2.
•WebQuest 3.
•WebQuest 4.
•WebQuest 5.
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Página del Profesor
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Página del Profesor
•
Título de la WebQuest: SEGMENTOS NOTABLES
EN UN TRIÁNGULO.
•
Nivel al que va dirigida: Licenciatura en Ciencias
Exactas.
•
Área en la que se puede trabajar: Geometría.
•
Objetivos perseguidos (Brevemente): Definir,
construir y reconocer los segmentos notables en
un triángulo.
•
Contenidos tratados (Brevemente):
–
–
–
–
Altura. (Ortocentro)
Bisectriz. (Incentro)
Mediana. (Baricentro)
Mediatriz. (Circuncentro)
Slide 20
Página del Profesor
•
Conocimientos mínimos de informática que han tener los
alumnos: Conocer algún tipo de presentación, saber navegar
en Internet.
•
Temporización: Corto Plazo.
•
Tipos de recursos propuestos (Webs, Bibliografía,
recopilación de información, etc.): Direcciones electrónicas.
•
Recursos informáticos necesarios para desarrollar esta
WebQuest: Computador con internet.
•
Dirección de correo electrónico del autor: [email protected]
Slide 21
Geometría Elemental y
Trigonometría
Segmentos Notables: Altura
Alumnas: Yenny Silva
Constanza Valenzuela
Slide 22
Definición
Es el segmento perpendicular trazada desde un vértice, al lado
opuesto o a su prolongación. Las alturas suelen anotarse con
una letra "h" con el subíndice del vértice en que nace.
Slide 23
Definición
Se pueden trazar tres alturas, una correspondiente a cada lado.
Slide 24
Características
• Al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo.
• La altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del
triángulo.
• Prolongando las alturas, existe un único punto de intersección de las tres
alturas llamado ORTOCENTRO.
Slide 25
Alturas y Ortocentro de un
triángulo utilizando Cabri II
Slide 26
Slide 27
Slide 28
Slide 29
Moviendo los vértices del
triángulo veremos que ocurre
con las alturas y el ortocentro
Observación: Se usará el software
GEOGEBRA.
Slide 30
Posición de las alturas y el
ortocentro con respecto al tipo de
triángulo
Slide 31
Triángulo Acutángulo
Las tres alturas quedan ubicadas dentro del triángulo, por lo tanto, el
ortocentro queda también ubicado dentro del triángulo.
Slide 32
Triángulo
Acutángulo
Triángulo Equilátero
En el triángulo equilátero el ortocentro queda en el interior del triángulo, y
las alturas, dividen a cada ángulo en dos de igual medida, y a cada lado
del triángulo lo divide en dos segmentos de igual medida.
Slide 33
Triángulo
Acutángulo
Triángulo Isósceles
Las tres alturas y el ortocentro quedan dentro del triángulo, también
se cumple que la altura del lado desigual divide al
ACB en dos
ángulos de igual medida y al segmento AB en dos segmentos de
igual medida.
Slide 34
Triángulo Obtusángulo
Dos alturas están fuera del triángulo, lo que significa que el
ortocentro está fuera del triángulo.
Slide 35
Triángulo Rectángulo
Los lados del ángulo recto son alturas, por lo tanto, el ortocentro
es el vértice del ángulo recto.
Slide 36
Conclusión
• En un triángulo se pueden trazar tres alturas cada una
correspondiente desde un vértice al lado puesto de éste.
• El único punto de intersección que tienen estas tres alturas se
llama Ortocentro.
• Al mover los vértices del triángulo se comprueba que el
ortocentro no siempre se encuentra en el interior del triángulo.
Esto depende de la clase de triángulo, en este caso, según su
ángulo: Triángulo Acutángulo, Triángulo Obtusángulo y
Triángulo Rectángulo.
• En cada uno de estos casos, varía la posición del ortocentro
quedando en el primer caso dentro del triángulo, en el segundo
fuera del triángulo y coincidiendo en uno de los vértices del
triángulo en el caso de ser un triángulo rectángulo.
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Recursos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Zubieta Badillo, Rivera alvarez, Molina Pérez. “Más sobre geometría
dinámica”.
http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/downloads/preliminarlibrocabri2.pdf
Nilda Etcheverry, Marisa Reid, Rossana Botta Gioda. “Animándonos a la
enseñanza de la geometría con Cabri”. UNIÓN: Revista Iberoamericana de
Educación Matemática. Marzo 2009, Número 17, Páginas 102-116.
http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php
Programa Geoclic. “Segmentos notables en un triángulo”.
Programa Cabri Plus II.
Programa Geogebra.
Geometria Moderna, Edwin E. Moise, Floyd L. Downs,JR. Editorial Norma
1972.
Galindo Trejo Jesús. “Geometría y Trigonometría”. Ediciones Umbral.
http://books.google.cl/books?id=ctrK8rjt5IC&pg=PA21&dq=segmentos+notables+de+un+triangulo#PPA16,M1
Slide 38
Gracias por su atención
Slide 39
BISECTRICES DE UN
TRIÁNGULO
Las bisectrices de un triángulo son los segmentos
trazados desde cada vértice del triángulo al lado
opuesto y que dimidian a los ángulos
correspondientes a dichos vértices.
En todo triángulo se puede trazar tres bisectrices
que concurren en un punto común llamado
incentro.
B
I
C
A
Slide 40
Las bisectrices suelen anotarse con
una letra "b" con el sub-indice del
vértice en que nace.
El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Slide 41
Bisectrices en los distintos
tipos de triángulos
Equilátero
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
Slide 42
La bisectriz de un ángulo o un sector angular
es la recta que divide el ángulo en dos partes
iguales.
propiedad : los puntos de la bisectriz son
equidistantes a los dos lados (rectas) del
ángulo.
Recíprocamente, Dos rectas, al cruzarse,
forman cuatro ángulos, opuestos dos por dos.
Estos definen dos bisectrices. Los puntos
equidistantes de las dos rectas son
exactamente los puntos de las dos
mediatrices. Este resultado se establece
fácilmente al recordar que una bisectriz es un
eje de simetría de su ángulo, y que las
A
simetrías conservan
las distancias.
I
O
B
Slide 43
BISECTRIZ
Sea ∢AOB un ángulo cualquiera y P
un punto en su interior. Diremos que el
rayo OP se llama bisectriz de ∢AOB,
si y sólo si, los ángulos ∢AOP y ∢POB
son de igual medida.
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BISECTRIZ DE UN ANGULO
4
bisectriz BISECTRIZ DE UN ANGULO CUYOS LADOS SE
CORTAN FUERA DEL DIBUJO
1
s
t
O
2
A
3
3
1
2
P
bisectriz
Q
5
4
B
6
r
Slide 45
Bisectrices exteriores
B
D
A
C
Los puntos de
Intersección de las
Tres bisectrices
Exteriores de un
Triangulo son
Los centros de
Las Circunferencias
exinscritas
F
E
Son las bisectrices de
los ángulos exteriores
El punto de intersección
de las tres bisectrices
Interiores de un triangulo
Es el centro de la circunferencia
inscrita
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Slide 47
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Bisectriz de un ángulo
• La bisectriz de un ángulo es la recta que
divide el ángulo en dos partes iguales.
∢ BOP = ∢ POA
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Propiedad
Los puntos de la bisectriz verifican una
importante propiedad:
• Cada punto de la bisectriz está a igual
distancia de las rectas (o semirrectas) que
definen el ángulo.
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Construcción de una bisectriz
1- Ubicar el compás en
el vértice C. Marcar un
punto en el lado BC
2- Luego, conservando
la distancia, marcar un
punto en AC.
3- Ubicar el compás en
uno de los puntos y
trazar una marca.
4- Con el otro punto
repetir el proceso.
5- Unir el vértice C con
el punto de
intersección formado.
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Bisectrices en un triángulo
• Las bisectrices de un triángulo son las rectas
que dividen a cada uno de los ángulos
interiores de un triángulo, en dos ángulos de
igual medida.
Slide 52
Características
• La intersección de las bisectrices interiores de un
triangulo, se llama incentro
• El incentro es el
centro de una
circunferencia
inscrita en el
triángulo
• El incentro se
encuentra
siempre dentro
del triángulo
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Bisectrices en los distintos
tipos de triángulos
Equilátero
Acutángulo
Escaleno
Isósceles
Slide 54
Slide 55
BISECTRIZ DE UN
TRIANGULO
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INTRODUCCIÓN
• En el presente trabajo vamos a llevar la
información hacia ustedes con el fin de que
cada uno pueda definir, demostrar y reconocer
la bisectriz en un triangulo cualquiera.
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BISECTRICES DE UN
TRIANGULO
• DEFINICION : Las bisectrices de un
triángulo son los segmentos trazados
desde cada vértice del triángulo al lado
opuesto y que dimidian a los ángulos
correspondientes a dichos vértices.
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CARACTERISTICAS
• En todo triángulo se puede trazar tres
bisectrices que concurren en un punto
común llamado incentro.
• Las bisectrices suelen anotarse con una
letra "b" con el sub-indice del vértice en
que nace.
• El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo
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Slide 61
DEMOSTRACION GRAFICA
CUATRO PASOS PARA LA
CONSTRUCCION DE UNA
BISECTRIZ
Slide 62
PASO 1
Slide 63
PASO 2
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PASO 3
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PASO 4
Slide 66
BIBLIOGRAFIA
• GEO CLIC
• http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/
Diccionario/Bisectriz_de_un_Tri%E1ngulo.
html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz
• http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/
Geometria/Puntos_rectas_notables_triang
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CONCLUSION
• NUESTRO TRABAJO SI BIEN HABIA
BASTANTE INFORMACION NOS COSTO
EL HECHO ESCOGER LA FORMA MAS
CORRECTA Y PRACTICA DE EXPLICAR .
PERO LOGRAMOS CONCLUIR CON
SATISFACCION EL TRABAJO EN
CUESTTION YA QUE AHORA PODEMOS
RECONOCER Y CREAR UNA BISECTRIZ.
ESPERAMOS QUE NUESTRO TRABAJO
HALLA SIDO DE APORTE PARA CADA
UNO DE NUESTROS IGUALES
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Slide 69
La mediatriz (también llamada simetral) es la recta
perpendicular a cualquier segmento (AB, en la figura),
que pasa por el punto medio de éste.
MEDIATR
IZ
A
B
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C
a) Segmento de extremos A y B.
b) Con el compás hacemos centro en A y se traza
una circunferencia de radio mayor que la mitad
de AB.
c) Con el compás hacemos centro en B y se traza
una circunferencia de radio mayor que la mitad
de AB (La misma apertura que hicimos
anteriormente).
A
M
d) La intersección de estas dos circunferencias
determina dos puntos a los que llamaremos C y
D.
e) La recta que pasa por los puntos C y D es la
mediatriz del segmento AB.
f)
La intersección de la mediatriz con el segmento
AB es el punto medio, M.
D
B
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En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se
cortan en un único punto, el circuncentro (O en la figura)
que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
B
A
O
C
Slide 72
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo
es el punto medio de la hipotenusa"
Slide 73
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo
está en el interior del triángulo"
Slide 74
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo
está en el exterior del triángulo"
Slide 75
En la figura observamos que se ha trazado la mediatriz del
segmento AB, esta pasa por el punto medio formando dos ángulos de
90° cada uno.
Si tomamos un punto P cualquiera sobre la mediatriz y lo
unimos hacia los extremos del segmento AB, dichos segmentos
resultan tener la misma medida, es decir siempre se va a cumplir que
PA es igual a PB
P
A
90°
PA = PB
90°
B
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Dos lados nunca son paralelos, por
consiguiente tampoco lo son las
mediatrices
.
O, punto de intersección de la
mediatriz de segmento AB con la de
segmento BC. Luego OA = OB, pero
también OB = OC. Esto implica que
OA = OC, O pertenece a la tercera
mediatriz. Por lo tanto las tres son
concurrentes.
El punto O, al ser equidistante de
los tres vértices (OA = OB = OC) es
centro de un círculo que pasa por
ellos tres.
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Circuncentro
Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho
lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la
propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de
los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .
Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que
también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa
por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluimos:
1.Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que
recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
2.El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres
vértices del triángulo, que llamaremos
3.circunferencia circunscrita.
Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo,
respectivamente.
Propiedades:
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"
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Segmentos Notables
en un Triángulo
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Segmentos notables en un
triángulo
Introducción.
Tarea.
Proceso.
Recursos.
Evaluación.
Conclusión.
Página del Profesor.
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Segmentos notables en un
triángulo
Espero que te haya gustado esta forma
de trabajar.
¡ANIMO!
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INTRODUCCIÓN
Slide 5
INTRODUCCIÓN
Los segmentos que se definen en un
triángulo son importantes, porque gracias a
ellos vamos a continuar desarrollando
nuestra geometría y a descubrir algunas
particularidades de ellos que van a ser
curiosas y significativas.
A trabajar con:
¡ANIMO!
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TAREA
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Tarea
Respecto al Segmento Notable que le
toco a su grupo:
Defínalo.
Muestre sus características.
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PROCESO
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PROCESO
• Investiguen lo relacionado con el
Segmento Notable que le correspondió a
su grupo.
• Construya una presentación, utilizando
alguna forma que ustedes conozcan.
• Realizar la presentación, en el lugar y la
hora que les corresponda.
• Deben entregar un CD, con el material
recopilado y la presentación.
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RECURSOS
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RECURSOS
• Empleen la bibliografía entregada.
• Ayúdense con Cabri.
• Investigue en GeoClic.
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EVALUACIÓN
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MATRIZ DE EVALUACIÓN
Excelente
Muy
Bueno
Bueno
Regular
Malo
Muy
Malo
Definició
n
Definició
n
completa
Definició
n con un
detalle
(malo)
poco
significati
vo
Definició
n con dos
detalles
pocos
significati
vos
Definició
n con
detalle
significati
vo
Definició
n con
detalles
significati
vos
No
definen
Caracterís
ticas
Entrega
todas las
característ
icas
Entrega
característ
icas con
detalle
poco
significati
vo
Entrega
característ
icas con
detalles
pocos
significati
vos
Entrega
característ
icas con
detalle
significati
vo
Entrega
característ
icas con
detalles
significati
vos
No
enuncia
las
característ
icas
Presentaci
ón
Motivado
ra,
creativa y
clara
Clara y
creativa,
pero poco
motivador
a
Clara y
motivador
a, pero
poco
creativa
Poco
motivador
a, poco
creativa y
poco
clara
Sin
motivació
n, no es
creativa y
no es
clara
No
realizan
la
presentaci
ón
CD
Entregan
CD en el
momento
estipulado
Entregan
CD en el
día
estipulado
Entregan
CD al
otro día
Entregan
CD dos
días
después
Entregan
CD tres
días
después
No
entregan
CD
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CONCLUSIÓN
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CONCLUSIÓN
Espero que esta forma de trabajo les
haya gustado y que puedan haberse
dado cuenta de que son capaces de
aprender ayudándose mutuamente.
¡Animo!
¡Sigan adelante!
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PAGINA DEL
PROFESOR
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PAGINA DEL
PROFESOR
•Página del Profesor.
•WebQuest 1.
•WebQuest 2.
•WebQuest 3.
•WebQuest 4.
•WebQuest 5.
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Página del Profesor
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Página del Profesor
•
Título de la WebQuest: SEGMENTOS NOTABLES
EN UN TRIÁNGULO.
•
Nivel al que va dirigida: Licenciatura en Ciencias
Exactas.
•
Área en la que se puede trabajar: Geometría.
•
Objetivos perseguidos (Brevemente): Definir,
construir y reconocer los segmentos notables en
un triángulo.
•
Contenidos tratados (Brevemente):
–
–
–
–
Altura. (Ortocentro)
Bisectriz. (Incentro)
Mediana. (Baricentro)
Mediatriz. (Circuncentro)
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Página del Profesor
•
Conocimientos mínimos de informática que han tener los
alumnos: Conocer algún tipo de presentación, saber navegar
en Internet.
•
Temporización: Corto Plazo.
•
Tipos de recursos propuestos (Webs, Bibliografía,
recopilación de información, etc.): Direcciones electrónicas.
•
Recursos informáticos necesarios para desarrollar esta
WebQuest: Computador con internet.
•
Dirección de correo electrónico del autor: [email protected]
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Geometría Elemental y
Trigonometría
Segmentos Notables: Altura
Alumnas: Yenny Silva
Constanza Valenzuela
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Definición
Es el segmento perpendicular trazada desde un vértice, al lado
opuesto o a su prolongación. Las alturas suelen anotarse con
una letra "h" con el subíndice del vértice en que nace.
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Definición
Se pueden trazar tres alturas, una correspondiente a cada lado.
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Características
• Al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo.
• La altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del
triángulo.
• Prolongando las alturas, existe un único punto de intersección de las tres
alturas llamado ORTOCENTRO.
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Alturas y Ortocentro de un
triángulo utilizando Cabri II
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Moviendo los vértices del
triángulo veremos que ocurre
con las alturas y el ortocentro
Observación: Se usará el software
GEOGEBRA.
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Posición de las alturas y el
ortocentro con respecto al tipo de
triángulo
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Triángulo Acutángulo
Las tres alturas quedan ubicadas dentro del triángulo, por lo tanto, el
ortocentro queda también ubicado dentro del triángulo.
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Triángulo
Acutángulo
Triángulo Equilátero
En el triángulo equilátero el ortocentro queda en el interior del triángulo, y
las alturas, dividen a cada ángulo en dos de igual medida, y a cada lado
del triángulo lo divide en dos segmentos de igual medida.
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Triángulo
Acutángulo
Triángulo Isósceles
Las tres alturas y el ortocentro quedan dentro del triángulo, también
se cumple que la altura del lado desigual divide al
ACB en dos
ángulos de igual medida y al segmento AB en dos segmentos de
igual medida.
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Triángulo Obtusángulo
Dos alturas están fuera del triángulo, lo que significa que el
ortocentro está fuera del triángulo.
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Triángulo Rectángulo
Los lados del ángulo recto son alturas, por lo tanto, el ortocentro
es el vértice del ángulo recto.
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Conclusión
• En un triángulo se pueden trazar tres alturas cada una
correspondiente desde un vértice al lado puesto de éste.
• El único punto de intersección que tienen estas tres alturas se
llama Ortocentro.
• Al mover los vértices del triángulo se comprueba que el
ortocentro no siempre se encuentra en el interior del triángulo.
Esto depende de la clase de triángulo, en este caso, según su
ángulo: Triángulo Acutángulo, Triángulo Obtusángulo y
Triángulo Rectángulo.
• En cada uno de estos casos, varía la posición del ortocentro
quedando en el primer caso dentro del triángulo, en el segundo
fuera del triángulo y coincidiendo en uno de los vértices del
triángulo en el caso de ser un triángulo rectángulo.
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Recursos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Zubieta Badillo, Rivera alvarez, Molina Pérez. “Más sobre geometría
dinámica”.
http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx/downloads/preliminarlibrocabri2.pdf
Nilda Etcheverry, Marisa Reid, Rossana Botta Gioda. “Animándonos a la
enseñanza de la geometría con Cabri”. UNIÓN: Revista Iberoamericana de
Educación Matemática. Marzo 2009, Número 17, Páginas 102-116.
http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php
Programa Geoclic. “Segmentos notables en un triángulo”.
Programa Cabri Plus II.
Programa Geogebra.
Geometria Moderna, Edwin E. Moise, Floyd L. Downs,JR. Editorial Norma
1972.
Galindo Trejo Jesús. “Geometría y Trigonometría”. Ediciones Umbral.
http://books.google.cl/books?id=ctrK8rjt5IC&pg=PA21&dq=segmentos+notables+de+un+triangulo#PPA16,M1
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Gracias por su atención
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BISECTRICES DE UN
TRIÁNGULO
Las bisectrices de un triángulo son los segmentos
trazados desde cada vértice del triángulo al lado
opuesto y que dimidian a los ángulos
correspondientes a dichos vértices.
En todo triángulo se puede trazar tres bisectrices
que concurren en un punto común llamado
incentro.
B
I
C
A
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Las bisectrices suelen anotarse con
una letra "b" con el sub-indice del
vértice en que nace.
El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
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Bisectrices en los distintos
tipos de triángulos
Equilátero
Rectángulo
Escaleno
Isósceles
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La bisectriz de un ángulo o un sector angular
es la recta que divide el ángulo en dos partes
iguales.
propiedad : los puntos de la bisectriz son
equidistantes a los dos lados (rectas) del
ángulo.
Recíprocamente, Dos rectas, al cruzarse,
forman cuatro ángulos, opuestos dos por dos.
Estos definen dos bisectrices. Los puntos
equidistantes de las dos rectas son
exactamente los puntos de las dos
mediatrices. Este resultado se establece
fácilmente al recordar que una bisectriz es un
eje de simetría de su ángulo, y que las
A
simetrías conservan
las distancias.
I
O
B
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BISECTRIZ
Sea ∢AOB un ángulo cualquiera y P
un punto en su interior. Diremos que el
rayo OP se llama bisectriz de ∢AOB,
si y sólo si, los ángulos ∢AOP y ∢POB
son de igual medida.
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BISECTRIZ DE UN ANGULO
4
bisectriz BISECTRIZ DE UN ANGULO CUYOS LADOS SE
CORTAN FUERA DEL DIBUJO
1
s
t
O
2
A
3
3
1
2
P
bisectriz
Q
5
4
B
6
r
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Bisectrices exteriores
B
D
A
C
Los puntos de
Intersección de las
Tres bisectrices
Exteriores de un
Triangulo son
Los centros de
Las Circunferencias
exinscritas
F
E
Son las bisectrices de
los ángulos exteriores
El punto de intersección
de las tres bisectrices
Interiores de un triangulo
Es el centro de la circunferencia
inscrita
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Bisectriz de un ángulo
• La bisectriz de un ángulo es la recta que
divide el ángulo en dos partes iguales.
∢ BOP = ∢ POA
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Propiedad
Los puntos de la bisectriz verifican una
importante propiedad:
• Cada punto de la bisectriz está a igual
distancia de las rectas (o semirrectas) que
definen el ángulo.
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Construcción de una bisectriz
1- Ubicar el compás en
el vértice C. Marcar un
punto en el lado BC
2- Luego, conservando
la distancia, marcar un
punto en AC.
3- Ubicar el compás en
uno de los puntos y
trazar una marca.
4- Con el otro punto
repetir el proceso.
5- Unir el vértice C con
el punto de
intersección formado.
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Bisectrices en un triángulo
• Las bisectrices de un triángulo son las rectas
que dividen a cada uno de los ángulos
interiores de un triángulo, en dos ángulos de
igual medida.
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Características
• La intersección de las bisectrices interiores de un
triangulo, se llama incentro
• El incentro es el
centro de una
circunferencia
inscrita en el
triángulo
• El incentro se
encuentra
siempre dentro
del triángulo
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Bisectrices en los distintos
tipos de triángulos
Equilátero
Acutángulo
Escaleno
Isósceles
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BISECTRIZ DE UN
TRIANGULO
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INTRODUCCIÓN
• En el presente trabajo vamos a llevar la
información hacia ustedes con el fin de que
cada uno pueda definir, demostrar y reconocer
la bisectriz en un triangulo cualquiera.
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BISECTRICES DE UN
TRIANGULO
• DEFINICION : Las bisectrices de un
triángulo son los segmentos trazados
desde cada vértice del triángulo al lado
opuesto y que dimidian a los ángulos
correspondientes a dichos vértices.
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CARACTERISTICAS
• En todo triángulo se puede trazar tres
bisectrices que concurren en un punto
común llamado incentro.
• Las bisectrices suelen anotarse con una
letra "b" con el sub-indice del vértice en
que nace.
• El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo
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DEMOSTRACION GRAFICA
CUATRO PASOS PARA LA
CONSTRUCCION DE UNA
BISECTRIZ
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PASO 1
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PASO 2
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PASO 3
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PASO 4
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BIBLIOGRAFIA
• GEO CLIC
• http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/
Diccionario/Bisectriz_de_un_Tri%E1ngulo.
html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz
• http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/
Geometria/Puntos_rectas_notables_triang
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CONCLUSION
• NUESTRO TRABAJO SI BIEN HABIA
BASTANTE INFORMACION NOS COSTO
EL HECHO ESCOGER LA FORMA MAS
CORRECTA Y PRACTICA DE EXPLICAR .
PERO LOGRAMOS CONCLUIR CON
SATISFACCION EL TRABAJO EN
CUESTTION YA QUE AHORA PODEMOS
RECONOCER Y CREAR UNA BISECTRIZ.
ESPERAMOS QUE NUESTRO TRABAJO
HALLA SIDO DE APORTE PARA CADA
UNO DE NUESTROS IGUALES
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La mediatriz (también llamada simetral) es la recta
perpendicular a cualquier segmento (AB, en la figura),
que pasa por el punto medio de éste.
MEDIATR
IZ
A
B
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C
a) Segmento de extremos A y B.
b) Con el compás hacemos centro en A y se traza
una circunferencia de radio mayor que la mitad
de AB.
c) Con el compás hacemos centro en B y se traza
una circunferencia de radio mayor que la mitad
de AB (La misma apertura que hicimos
anteriormente).
A
M
d) La intersección de estas dos circunferencias
determina dos puntos a los que llamaremos C y
D.
e) La recta que pasa por los puntos C y D es la
mediatriz del segmento AB.
f)
La intersección de la mediatriz con el segmento
AB es el punto medio, M.
D
B
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En un triángulo ABC, las mediatrices de los tres lados se
cortan en un único punto, el circuncentro (O en la figura)
que es centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
B
A
O
C
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"El Circuncentro de un triángulo rectángulo
es el punto medio de la hipotenusa"
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"El Circuncentro de un triángulo acutángulo
está en el interior del triángulo"
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"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo
está en el exterior del triángulo"
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En la figura observamos que se ha trazado la mediatriz del
segmento AB, esta pasa por el punto medio formando dos ángulos de
90° cada uno.
Si tomamos un punto P cualquiera sobre la mediatriz y lo
unimos hacia los extremos del segmento AB, dichos segmentos
resultan tener la misma medida, es decir siempre se va a cumplir que
PA es igual a PB
P
A
90°
PA = PB
90°
B
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Dos lados nunca son paralelos, por
consiguiente tampoco lo son las
mediatrices
.
O, punto de intersección de la
mediatriz de segmento AB con la de
segmento BC. Luego OA = OB, pero
también OB = OC. Esto implica que
OA = OC, O pertenece a la tercera
mediatriz. Por lo tanto las tres son
concurrentes.
El punto O, al ser equidistante de
los tres vértices (OA = OB = OC) es
centro de un círculo que pasa por
ellos tres.
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Circuncentro
Cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho
lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la
propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de
los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .
Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que
también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa
por los tres vértices del triángulo.
De lo anterior, concluimos:
1.Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que
recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.
2.El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres
vértices del triángulo, que llamaremos
3.circunferencia circunscrita.
Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo,
respectivamente.
Propiedades:
"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"
"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"
"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"
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