Transcript Document
Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q , a, b Z , b 0
b
R Q Irasional
Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
2 , 3,
MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
3
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x a}
{x a < x < b}
{x a x b}
{x x > b}
{x x b}
{x x }
selang
(- , a )
Grafik
(- , a]
a
(a, b)
a
[a, b]
(b, )
a
b
a
b
b
[b, )
b
(, )
MA 1114 Kalkulus 1
4
Sifat–sifat bilangan real
• Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
MA 1114 Kalkulus 1
5
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel adalah
suatu bentuk aljabar dengan satu variabel
yang dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
A(x ) D(x )
<
B( x ) E ( x )
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
MA 1114 Kalkulus 1
6
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
<0,
Q( x )
dengan cara :
MA 1114 Kalkulus 1
7
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya
2. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
3. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13 2 x - 3 5
13 3 2 x 5 3
16 2 x 8
8 x4
4 x8
Hp = [4,8]
4
MA 1114 Kalkulus 1
8
9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
- 2 < 6 - 4x 8
- 8 < -4 x 2
8 > 4 x -2
- 2 4x < 8
1
- x<2
2
1
Hp - ,2
2
- 12
MA 1114 Kalkulus 1
2
10
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
3
2 x 2 - 5x - 3 < 0
(2x 1)(x - 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x 2
++
--
-
1
dan
x3
++
3
2
1
Hp = - ,3
2
MA 1114 Kalkulus 1
11
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x - 4 6 - 7 x 3x 6
2x - 4 6 - 7 x
2x 7x 6 4
9 x 10
10
x
9
10
x
9
dan
6 - 7 x 3x 6
dan - 7 x - 3x -6 6
dan
- 10 x 0
dan
10 x 0
dan
x0
MA 1114 Kalkulus 1
12
10
Hp = - , [0, )
9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
10
Hp = 0,
9
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
<
5.
x 1 3x - 1
1
2
<0
x 1 3x - 1
--1
(3x - 1) - (2 x 2) < 0
(x 1)(3x - 1)
x -3
<0
(x 1)(3x - 1)
1
,3
TP : -1, 3
++
-1
--
++
3
3
1
Hp = (- ,-1) - ,3
3
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x 1
x
2- x 3 x
x 1
x
0
2- x 3 x
(x 1)(3 x ) - x(2 - x ) 0
(2 - x )(3 x )
2x2 2x 3
0
(2 - x )(x 3)
MA 1114 Kalkulus 1
15
Untuk pembilang 2 x 2 2 x 3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
Hp =
-2
(,-3) (2, )
MA 1114 Kalkulus 1
16
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
x ,x 0
x
- x , x < 0
MA 1114 Kalkulus 1
17
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x x2
4
x y
5
x
x
y
y
x a, a 0 - a x a
x -a
3 x a, a 0 x atau
a
x2 y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x y x y
x- y x - y
MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x - 5 < 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
-3 < 2 x - 5 < 3
5 - 3 < 2x < 3 5
2 < 2x < 8
1< x < 4
Hp = (1,4)
1
MA 1114 Kalkulus 1
4
19
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x - 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
(2 x - 5) < 9
4 x 2 - 20x 16 < 0
4 x 2 - 20x 25 < 9
2
2 x - 10x 8 < 0
2
(2 x - 2)(x - 4) < 0
++
-1
++
4
Hp = (1,4)
TP : 1, 4
MA 1114 Kalkulus 1
20
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3. 2 x 3 4x 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
(2x 3) (4x 5)
4 x 2 12x 9 16x 2 40x 25
2
2
-12x 2 - 28x - 16 0
2
3x 7 x 4 0
TP :
4 , -1
3
MA 1114 Kalkulus 1
21
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
--4
3
++
-1
Hp = - 4 , (- ,-1]
3
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7 2
2
x
7 2
2
x
-5
2
x -10
atau
atau
atau
x
7 -2
2
x
-9
2
x -18
Hp = [- 10, ) (- ,-18]
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x - 2 - x 1 -2
Kita definisikan dahulu :
x 1 x -1
x 1
- x - 1 x < -1
x - 2 x 2
x-2
2 - x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
(- ,-1)
II
III
[- 1,2)
-1
[2, )
2
MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x < -1
atau
(- ,-1)
3 x - 2 - x 1 -2
3(2 - x ) - (- x - 1) -2
6 - 3x x 1 -2
7 - 2 x -2
-2 x -9
2x 9
9
x
2
atau
9
- ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = - , (- ,-1)
2
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (- ,-1)
sehingga Hp1 = (- ,-1)
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval - 1 x < 2 atau
[- 1,2)
3 x - 2 - x 1 -2
3(2 - x ) - (x 1) -2
6 - 3x - x - 1 -2
5 - 4 x -2
-4 x -7
4x 7
7
x
4
7
atau - ,
4
MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 = - , [- 1,2)
-1
4
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
- 1, 4
7
sehingga Hp2 = - 1,
4
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval x 2
atau [2, )
3 x - 2 - x 1 -2
3(x - 2) - (x 1) -2
3x - 6 - x - 1 -2
2 x - 7 -2
2x 5
5
x
2
atau
5
2 ,
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = 5 , [2, )
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5
sehingga
2 ,
5
Hp3 = ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 Hp2 Hp3
7 5
Hp (- ,-1) - 1, ,
4 2
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
4
5
2
5
-1
7
-1
7
4
4
2
5
2
7 5
Jadi Hp = - , ,
4 2
MA 1114 Kalkulus 1
32
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x 2 1- x
4 - 2x
x - 2 x 1
2
2
x
x3
3 2 - x 3 - 2x 3
4 x 12 2 x 2 2
5 2x 3 4x 5
6 x 3x 2
MA 1114 Kalkulus 1
33