bab1. Sistem Bilangan Real500 KBAgustus 25, 2014 12
Download
Report
Transcript bab1. Sistem Bilangan Real500 KBAgustus 25, 2014 12
Sistem Bilangan Real
MA 1114 Kalkulus 1
1
1.1 SISTEM BILANGAN REAL
Semesta pembicaraan dalam Kalkulus : Himp. Bilangan Real.
Himp. Bilangan Real merupakan gabungan dari himp. bilangan
Rasional dan himp. Bilangan Irasional. Secara lengkap dapat
dilihat dari bagan berikut:
R = Himp.Bil. Real
Q = Himp.Bil. Rasional
Z = Himp.Bil. Bulat
Gb. 1.1 Diagram Venn
Himpunan Bilangan Real
N = Himp. Bil. Asli
MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan :
Interval dan himpunan
Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan
sebagai suatu garis bilangan.
R
-3
-2
-1
0
koordinat
2
1
2
3
4
Gb. 1.2 Garis bilangan Real
Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval
( selang ).
MA 1114 Kalkulus 1
3
Interval dan Penulisannya
[a , b] x| a x b
(a,b) x| a x b
[a , b) x| a x b
(a , b] x| a x b
(a, ) x| x a
(, a] x | x a
(, ) R
a
b
a
b
a
b
a
b
interval tutup
interval buka
interval setengah buka
interval setengah buka
interval tak terbatas
a
a
MA 1114 Kalkulus 1
interval tak terbatas
4
Operasi Himpunan:
Dua himpunan tak kosong A dan B dapat dioperasikan:
1. Irisan : A B x | x A dan x B
2. Gabungan : A B x | x A atau x B
3. Selisih : A B x | x Adan x B
MA 1114 Kalkulus 1
5
Contoh:
1. Jika A (3,8] , B [5,1) , C [0, 2]
Maka : A B (3,8] [5,1) (3,1)
A B (3,8] [5,1) [5,8]
B C [5,1) [0, 2] [5, 2]
B C [5,1) [0, 2] [0,1)
2. Jika P (1,3] , Q {x | x 2}
Maka : P Q (1,3] {2} (1, 2) (2,3]
MA 1114 Kalkulus 1
6
1.2 Pertaksamaan
Bentuk umum pertaksamaan adalah :
A( x ) C ( x )
B ( x ) D( x )
(1.1)
dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) suku banyak.
( tanda < dapat diganti oleh : >, , ).
Himpunan semua bilangan Real x yang memenuhi pertaksamaan
(1.1) disebut Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan
(berupa selang)
MA 1114 Kalkulus 1
7
Cara menentukan himpunan penyelesaian :
Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol atau A( x) C ( x) 0
B( x) D( x)
Bentuk menjadi P( x)
Q( x )
0
Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau
faktor kuadrat definit positif
Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor
linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan.
Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval
pada garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :
Jawab :
2
x 1
x
2
x 1 0
x
2 x2 x
(1 x)(2 x)
0
0
x
x
titik pemecah : x=1 , x=-2 , x=0
Maka
Hp ,2 0,1
MA 1114 Kalkulus 1
++
-2
---
++
0
--1
9
1.3 Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak
Definisi nilai mutlak adalah :
Sifat-sifat nilai mutlak :
x ,x 0
x
x ,x 0
x | x|
1. xy | x || y | dan
,y0
y
| y|
2. Jika a 0 maka
x a a x a
x2 a2
x a x a atau x a
x2 a2
3. | x y | | x | | y |
4. | x | | y |
x2 y2
MA 1114 Kalkulus 1
10
Contoh :
Tentukan Hp dari 2
5
1
x
Jawab : Dengan menggunakan sifat yang ke 2 bagian 2, kita dapatkan
5
2 1
x
atau 2
5
1
x
Ini tak lain merupakan dua pertaksamaan yang akan dicari
penyelesaiannya.
5
2x 5 x
x5
(i). 2 1 0
0
0 x 5 atau x 0
x
x
x
(ii). 2 5 1 0 2 x 5 x 0 3 x 5 0 5 x 0
x
x
x
3
Sehingga Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan tersebut adalah :
,5 0, 5 ,0 ,5 5 ,0 0, .
3
3
MA 1114 Kalkulus 1
11
1.4 Akar Kuadrat
Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua akar
kuadrat dari 4 adalah 2 dan -2 ; dua akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan -4.
Untuk a 0 , lambang a disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a.
Jadi
42
dan
(10) 2 100 10
• Jadi , penting untuk diingat bahwa ,
x2 | x |
MA 1114 Kalkulus 1
12
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x 2
1.
1 x
4 2x
x 2 x 1
2.
2
x
x3
3. 2 x 3 2x 3
4. x 1 2 2 x 2 2
5. 2 x 3 4 x 5
6. x 3 x 2
7.
8.
4
1 1
x
2
x 1
x
13. x 2
14. x2 2x 3 0
1
9. 3 6
x
10.
5
x 1
2
15. x2 x 1 0
x
x2
x 1
x 1
11.3 | x || x 1 | 5
12. 2 | x2 x | 6
MA 1114 Kalkulus 1
13