Transcript 3. Metode Simpleks

BAB III
Metode Simpleks
Oleh :
Devie Rosa Anamisa
Pembahasan



Pengertian Umum
Langkah-langkah metode simpleks
Contoh
Pengertian Umum

Motode simpleks adalah prosedur aljabar
yang bersifat iteratif, yang bergerak
selangkah demi selangkah, dimulai dari
suatu titik ekstrem pada daerah fisibel
(ruang solusi) menuju ke titik ekstrem
yang optimum.
Langkah-Langkah dalam Metode
Simpleks
Formulasi dalam bentuk standar
Konversi pada bentuk standart
1.
2.

Dalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan
menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan
adalah:




Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =)
dengan ruas kanan yang non negatif
Seluruh variabel harus merupakan variabel non negatif
Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi
Formulasi yag belum standar kedalam bantuk standar :
a. Pembatas (constraint)

Pembatas bentanda ≤ atau ≥ dapat dijadikan suatu persamaan
(bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan
suatu variabel slack pada ruas kiri pembatas tersebut.

Contoh 1: X1 + 2X2 ≤ 6 maka kita tambahkan slack s1 ≥ 0 pada ruas
kiri sehingga memperoleh : X1 + 2X2 + s1 = 6


Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan
nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.


Contoh 2 : 3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ 5 maka harus dikurangkan variabel
s2 ≥ 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3x1 + 2x2 –
3x3 – s2 = 5
Contoh : 2x1-3x2-7x3 = -5 secara matematis adalah sama
dengan -2x1+3x2+7x3 = 5
Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas
dikalikan dengan -1.

Contoh : 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4
2x1 – x2 ≤ -5 adalah sama dengan -2x1 + x2 ≥ 5
b. Variabel

Suatu variabel Yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat
dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan
subtitusi.
c. Fungsi Tujuan

Walaupun model standar LP dapat berupa
maksimasi atau minimasi, kadang-kadang
diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk
lainnya.
Menentukan solusi basis
3.



4.
5.
EV
BFS (Solusi Basis Fisibel)
Dimana diterapkan X1 = X2 = X3 = 0 sehingga didapatkan
nilai Z, S1, S2, S3 dan S4.
BV (Basis Variabel)
Menentukan variabel yang akan dicari nilainya, seperti : Z, S1,
S2, S3 dan S4
NBV (Non Basis Variabel)
variabel yang dinolkan. Seperti X1, X2, dan X3.
Dari formulasi kanonik diatas bahwa seluruh NBV
mempunyai koefisien yang berharga negatif sehingga
pada iterasi ini BFS belum optimal. Contoh : Z – 60X1
– 30X2 – 20X3 = 0
Menghitung rasio dan melakukan ERO
Didapat dari nilai solusi dibagi dengan koefisien yang
paling negatif Entering variabel(EV).
contoh : z - 60x1- 30x2 – 20x3 = 0
8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48
r = 48/8
4X1 + 2X2 + 1.5X3 +S2 = 20
r = 20/4
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3
+S3 = 8 r = 8/2
6.
7.
Menentukan LV (Leaving Variabel)
variabel yang meninggalkan basis, yang
memiliki rasio yang terkecil dengan EV
bernilai 1.
Iterasi akan berhenti jika X1, X2, X3
pada fungsi tujuan mencapai nilai positif.
Contoh
Maksimumkan : Z = 60x1+30x2+20X3
berdasarkan :
8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8
x2 ≤ 5
X1,x2,x3 ≥ 0


Konversi bentuk standar:
maksimumkan : z = 60x1+30X2+20x3
Berdasarkan :
8X1 + 6X2 + X3 + s1= 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 + s2 = 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + s3 = 8
x2
+ s4 = 5
Menentukan BFS
x1=x2=x3=0
BV = {z,s1,s2,s3,s4}
NBV= {x1,x2,x3}
BFS = Z -60x1 - 30x2 - 20X3 = 0
8X1 + 6X2 + X3 + S1 = 48
4X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2 = 20
2X1 + 1.5X2 + 0.5X3
+ S3 = 8
x2
+S4 = 5
.: z= 0 , S1 = 48, S2 = 20 , S3 = 8, S4 = 5



Bentuk Tabel
Dilihat dari Z maka X1 yang memiliki koefisien
paling negatif

Menghitung rasio:

Menentukan LV  rasio terkecil : 4 maka:
Rasio
erkecil


Baris ke-4 untuk pivotnya : 2/2 = 1
Nilai basis untuk kolom ke-3:
Baris 1: -30-(-60*0.75)
= -30-45 = 15
Baris 2: 6-(8*0.75)
6–6=0
Baris 3: 2-(4*0.75)
= 2 -3 = -1
Baris 4:1-(0.0.75)
=1

Nilai basis untuk kolom 4 :
Baris 1: -20-(-60*0.25)
= -20+15= -5
Baris 2: 1-(8*0.25)
= 1 – 2 = -1
Baris 3: 1.5-(4*0.25)
=1.5 - 1 = 0.5
Baris 4:0-(0*0.25)
=0
Solusi Sementara

Karena nilai z masih terdapat yang bernilai
negatif sedangkan fungsi tujuan adalah
memaksimumkan maka dilakukan
langkah selanjutnya, dan akan berhenti
jika nilai z tidak terdapat negatif.
Hasil Akhir
Tugas


Memaksimumkan : Z = 3x1 + 9x2
Berdasarkan :
x1 + 4x2 ≤ 8
x1 + 2x2 ≤ 4
x1,x2 ≥ 0
Carilah x1,x2,s1.s2 dan z !


Memaksimumkan : Z = 3x1 + 5x2
Berdasarkan :
x1 ≤ 4
2x2 ≤ 12
3x1 + 2x2 ≤ 18
x1,x2 ≥ 0
Cari x1, x2 dan z !
Terima Kasih