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电路基础 第二章 电路分析的基本方 法 上海交通大学本科学位课程 §2.9 节点分析法系统方法 基本要求： 了解系统步骤中一般支路的概念； 列写降阶关联矩阵A； 了解系统方法列写电阻电路节点方程的过程； 节点电导矩阵的建立和节点电流源列向量的正负问题； 用视察法列写电阻电路节点方程。 2 §2.9 节点分析法系统方法 在第一章电路图论中已得到KCL、KVL矩阵方程 AIb=0、Ub=ATEn 其中A为降阶关联矩阵，Ib为支路电流列向量，Ub为支路电压列向量， En为节点电压列向量。 iSk 典型支路特 性方程 ik uSk uk ik iS k g k ( u k u S k ) gk ik g k ( u k u S k ) iS k 对具有b条支路的电路所有支路电流、电压有 Ib=Gb(Ub-USb)+ISb、Ub=Rb(Ib-ISb)+USb 其中ISb、USb分别为支路电流、电压源列向量，Gb、Rb分别为支路电导、 电阻矩阵，都是bb阶对角阵。 3 §2.9 节点分析法系统方法 节点方程 KCL AIb=0 ① KVL Ub=ATEn ② 支路方程 Ib=Gb(Ub-USb)+ISb ③ 支路将③→① AIb=AGbUb-AGbUSb+AISb=0 AGbUb=AGbUSb-AISb 将②→④ AGbATEn =AGbUSb-AISb 定义节点电导矩阵 Gn=AGbAT 定义节点电流源列向量 IS = AGbUSb-AISb 则 ④ GnEn = IS 其中Gn称节点电导矩阵，En是节点电压（对参考节点）列向量， IS为节点电流源列向量。 4 §2.9 节点分析法系统方法 节点电导矩阵Gn 主对角线元素gii为自电导，总 是正的，非主对角线元素gij为 互电导，总是负的。 g 11 g 21 Gn g n1 g 12 g 22 gn2 g 1n g 2n g nn 由Gn=AGbAT，进行转置， GnT=(AGbAT)T =( AT)T(AGb)T =AGbTAT=AGbAT，所以Gn是对称阵。 求解支路电压、支路电流 由节点方程Gn En = IS，求得节点电压En = Gn-1IS 已知En得支路电压Ub=ATEn，支路电流Ib=Gb(Ub-USb)+ISb 在无受控源时，所得节点方程和视察法所得节点方程 完全一样。 5 §2.10 网孔分析法 基本要求： 列写网孔矩阵M； 了解系统方法列写电阻电路网孔方程的过程； 网孔电阻矩阵的建立和网孔电压源列向量的正负问题； 用视察法列写电阻电路网孔方程。 请同学们自学! 6 §2.11 基本回路分析法 基本要求： 回路、单连支回路的概念； 列写基本回路矩阵B； 了解用系统方法列写电阻电路回路方程的过程； 回路电阻矩阵的建立和回路电压源列向量的正负问题； 任选一树应用视察法写出电路的回路方程。 7 §2.11 基本回路分析法 网孔分析有一定的局限性，而回路分析不受平面电路 的限制，具有根大的灵活性。 电路图论基本定理指出，具有b 条支路，nt个节点的连 通图有一个 n = nt-1条树支组成的树，有 l = b-nt+1= b-n 条连支，并且每一条连支都可以和一些树支构成 一个唯一的回路，即基本回路。 根据KVL，对每个基本回路可得一个回路方程，总共 为 l 个回路方程。由于每个基本回路中，总有一条新 的连支，所以 l 个回路方程是彼此独立的。 8 §2.11 基本回路分析法 基本回路矩阵B 4 2 1 5 6 4 4 ① 1 5 2 5 ② 5 6 6 ③ 3 3 基本回路是由一条连支和一些树支组成的闭合路径，因此它与树的 选择有关，一旦树被确定，就可得一个基本回路矩阵，对基本回路 矩阵的建立作如下的规定：①支路的编号按先连支、后树支的次序 编排，②基本回路的方向取与连支的方向一致。于是有基本回路矩 阵中各元素bik。 基 本 回 路 i 中 含 支 路 b k ， 且 方 向 相 同 1 bik -1 基 本 回 路 i 中 含 支 路 b k ， 且 方 向 相 反 0 基 本 回 路 i 中 不 含 支 路 b k 9 §2.11 4 基本回路分析法 2 5 4 4 1 ① 1 6 5 2 ② 5 5 6 ③ 3 6 3 1 B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 ，并总可表示成B =(El┆Bt) 因为在B中含有 l 阶单位阵，所以 r (B)=l，即基本回路矩阵的秩是l， 是满秩的。 根据KVL BUb=0 根据KCL 上面电路的支路电 流ib与回路电流jl关系为 i1 1 i 0 2 i3 0 i4 1 i 1 5 i6 0 0 1 0 1 1 1 0 0 j 1 1 j2 0 j3 1 1 10 §2.11 4 2 4 1 5 4 ① 1 6 5 3 1 B 0 0 基本回路分析法 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 B =(El┆Bt) 矩阵是63阶矩阵，前三行三列为单位 阵，后三行三列正好是矩阵Ft的转置。 所以，上面的63阶矩阵是基本回路矩 阵B的转置BT。 ∴ El T Ib B Jl J l B tT 2 ② 5 5 6 ③ 3 6 i1 1 i 0 2 i3 0 i4 1 i 1 5 i6 0 0 1 0 1 1 1 0 0 j 1 1 j2 0 j3 1 1 11 §2.11 基本回路分析法 基本回路方程 KVL BUb=0 ① KCL Ib=BTJl ② 支路方程 Ub=Rb(Ib-ISb)+USb ③ 支路将③→① BUb=BRbIb-BRbISb+BUSb=0 BRbIb=BRbISb-BUSb 将②→④ BRbBTJl =BRbISb-BUSb 定义 Rl=BRbBT ④ ES = BRbISb-BUSb 则 Rl Jl = ES 其中Rl称基本回路电阻矩阵，Jl是基本回路电流列向量，ES为 基本回路电压源列向量。 12 §2.11 基本回路分析法 r11 r21 Rl rl 1 回路方程的形式和网孔方程的 形式是相似的。对于基本回路 电阻矩阵 r1l r2 l rll r12 r22 rl 2 主对角线元素rii为自电阻，总是正的，非主对角线元素rij为互电 阻，互电阻的正负取决于回路i与回路j在公共支路上的方向，一 致时取正，否则取负。 例 设6条支路的电阻分别为R1，R2，…，R6，用视察法求回路电阻 矩阵和回路方程。 4 4 2 1 5 6 3 4 ① 1 5 R1 R 4 R 5 R 4 R5 R5 2 5 ② 5 R 4 R5 R 2 R 4 R5 R6 R5 R6 6 ③ 3 6 J 1 u S 11 R5 R6 J 2 u S 22 R 3 R 5 R 6 J 3 u S 33 R5 13 §2.11 基本回路分析法 2 例 用视察法求电路的回路电阻矩阵和 基本回路方程 i2 i1 R1 uS1 i3 R3 i4 u4 R 4 3 R2 R5 ri2 i5 1 J1 J2 5 4 J3 6 i6 R6 g m u4 14 §2.11 例 基本回路分析法 用视察法求电路的回路电阻矩阵和基本回路方程 i2 解 将受控源当独立源处理， 用视察法建基本回路 方程。 R1 R 4 R4 R 4 R4 i3 R3 i1 R5 2 ri2 i5 i4 R1 uS1 R2 u4 R 4 i6 R6 1 g m u4 4 J3 6 R4 R6 uS1 J1 R4 R6 J2 R6 g m u 4 R 3 R 4 R 5 R 6 J 3 ri 2 R 6 g m u 4 用连支电流表示支路电流 即 J1 5 R4 R 2 R 4 R5 R6 El T Ib B Jl J l B tT J2 3 1 B 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 i2=J2，u4=R4i4=R4(J1-J2-J3) 0 1 1 B T 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 15 §2.11 基本回路分析法 i2 解 将受控源当独立源处 理，用视察法建基本 回路方程。 R4 i4 R1 uS1 R1 R 4 R4 R 4 i3 R3 i1 R2 R5 2 ri2 i5 u4 R 4 i6 R6 g m u4 J2 3 1 J1 5 4 J3 6 R4 R 2 R 4 R5 R6 R4 R6 uS1 J1 R4 R6 J2 R6 g m u 4 R 3 R 4 R 5 R 6 J 3 ri 2 R 6 g m u 4 用连支电流表示支路电流，即i2=J2，u4=R4i4=R4(J1-J2-J3) R1 R 4 R g R R4 6 m 4 R 6 g m R 4 R4 R 2 R 4 R5 R6 R6 g m R 4 R4 R6 r R6 g m R4 R4 J 1 uS1 R4 R6 R6 g m R4 J2 0 R 3 R 4 R 5 R 6 R 6 g m R 4 J 3 0 16 §2.12 基本割集分析法 基本要求： 割集、单树枝割集的拓扑概念； 列写基本割集矩阵Q； 了解用系统方法列写电阻电路回路方程的过程； 割集电导矩阵的建立和割集电流源向量的正负问题； 任选一树应用视察法写出电路的基本割集方程。 请同学们自学! 17