Transcript Решение логических задач с помощью алгебры логики

тема урока:
Решение логических задач с
помощью алгебры логики
Логические функции
х1
х2
F1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Табличное задание логических функций двух аргументов (учебник стр.163)
F2 – логическое умножение. F8 – логическое сложение. F13 логическое отрицание
Формальное задание функций
f1(x1, x2) = 0 — константа 0;
f2(x1, x2) = x1 Λ x2 = min(x1,x2) — конъюнкция;
f3(x1, x2) = x1 V х2;
f4(x1, x2) = x1 — тождественная функция;
f5(x1, x2) = х1 Λ x2;
f6(x1, x2) = x2;
f7(x1, x2) = x1 ⊕ x2 (mod 2)
f8(x1, x2) = x1 V x2 — дизъюнкция;
f9(x1, x2) = = x1 ↓ x2 — стрелка Пирса;
f10(x1, x2) =
;
f11(x1, x2) = х2;
f12(x1, x2) =
;
f13(x1, x2) = 1;
f14(x1, x2) =
= x1 → x2 — импликация;
f15(x1, x2) =
= x1 x2 — штрих Шеффера;
f16(x1, x2) = 1 — константа.
В учебнике стр.167 в задании 3.8
Обозначение
логичес-кой
операции
Другие обозначения
Набор
истинностн
ых
значений
Название логической
операции
Как читается на
естественном языке
Запись через
базовые операции (Λ
V¬)
х1 Λ х2
x1 & x2
x1x2
x1x2 min{x1,x2}
0001
Конъюнкция,
логическое
умножение, «И»
х1 И х2
х1 & х2
x1+x2
max{x1,x2}
0011
дизъюнкция,
логическое
сложение,
«ИЛИ»
х1 ИЛИ х2
х1+х2
х1
1101
Импликация,
логическое
следование
если х1, то х2,
х1 влечет х2
x1+x2
Сумма по
модулю 2,
разделительная
дизъюнкция
Либо х1, либо
х2
(х1х2)+(х1х2)
Эквиваленция,
эквивалентность,
тождественность
х1 тогда и
только тогда
когда х2
Штрих
Шеффера
Неверно, что х1
и х2
х1 V х2
x1→x2
x2
f2
f4
f14
х1
х2
х1~х2
х1
x1+x2
х1 х2
0110
х1≡ х2,
х1↔х2
1001
х2
f7
f10
1110
f15
x1 ↓ x2;
х1○х2
1000
f9
стрелка Пирса,
Ни х1, ни х2
антидизъюнкция
(х1х2)+(х1х2)
x1x2
x1 V x2
Записать следующее высказывание в виде логического
выражения: «Если я хорошо подготовлюсь по русскому
языку, математике и физике, то я получу пятерки или
четверки».
Решение: выделим в составном высказывании
простые и обозначим их логическими
переменными:
А – хорошо подготовлюсь по русскому языку;
В – хорошо подготовлюсь по математике;
С – хорошо подготовлюсь по физике;
D – получу пятерки;
Е – получу четверки.
Тогда составное высказывание будет записано
следующим образом:
F = (A & B & C) → (D V E)
Записать следующее высказывание в виде логического
выражения: «по телевизору синоптик объявляет прогноз
погоды на завтра и утверждает следующее:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет
ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решение:
а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»
B – «Пасмурно»
С – «Дождь»
б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные
переменные:
1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя:
A→B&C
2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
С→B&A
3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
B→C&A
в) Запишем произведение указанных функций:
F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) осталось упростить функцию
F=(A→ BC)(C→BA)(B→ CA) =
__
F14(x1,x2)=x1+x2
_
_ _
_
Используем з-н коммутативности и
=(A+BC)(C+BA)(B+CA) =
раскроем скобки
__ _
_
_
_
=(AB+ACA+BCB+BCCA)(C+BA)=
__ _
___
=AB(C+BA)=ABC
д) Приравняем результат единице, т.е. наше
выражение должно быть истинным:
_ _ _
F=ABC=1
е) Проанализируем результат:
Логическое произведение равно 1, если каждый
множитель равен 1.
Поэтому:
_
_
_
A = 1; B = 1;
C = 1;
Значит: A = 0; B = 0; C = 0;
Ответ: погода будет ясная, без дождя, но
ветреная.
Задача. Андрею, Саше и Егору предъявлено обвинение в
соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на
поджидавшем их автомобиле. На следствии Андрей показал, что
преступники скрылись на синем Мерседесе, Саша сказал, что это
был черный Джип, а Егор утверждал, что это был Форд Мустанг и
ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать
следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины,
либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки была машина?
Х=синий
Y= черный
А=Мерс
В=Джип
С=Форд
Т.к. одно высказывание истинно, а
другое ложно, можно записать:
ХА=0; YВ=0; ХС=0, но
либо Х=1, либо А=1 это операция сложения по модулю
2, значит
_
_
_
ХА+ХА=1
ХА=0; YВ=0; ХС=0, но
либо Y=1, либо B=1
_
_
YB+YB=1
_
либо Х=1, либо C=1
__
ХC+ХC=1
Машина была синяя или черная, значит:
_ _
XY+XY=1
Мерс или Джип или Форд, значит:
__ _ _ __
АВС+АВС+АВС=1 соединим все высказывания умножением
_
_ _
_
__ _ _ __ _ _ __
(ХА+ХА)(YB+YB)(ХC+ХC)(XY+XY)(АВС+АВС+ АВС)=1
_
_ _
_
__ _ _ __ _ _ __
(ХА+ХА)(YB+YB)(ХC+ХC)(XY+XY)(АВС+АВС+АВС)=1
_
_
__
(ХА+ХА)(ХC+ХC)=
_
_ _ _
(YB+YB)(XY+XY)=
_ _ __ _
__ _ _ _
___
(ХАС+ХАС)(YXB+YXB)=XACYB+ XACYB
*
__
_ _ __
*·(ABC+АВC+ABC)=
_ __
_
_
_
=XYABC=1 X=1 и Y=1 и A=1 и В=1 и С=1
Значит:
Машина - черный Мерс.