Transcript VEKTÖRLER KARTEZYEN KOORDİNATLAR

4.
KARTEZYEN KOORDİNATLAR
M.Feridun Dengizek
KARTEZYEN KOORDİNATLAR
•
Uzayda herhangi bir noktanın yerinin
(konumunun) belirtilmesi için iki ayrı koordinat
sistemi kullanılır. Bunlar;
–
–
Polar koordinat sistemi
Kartezyen koordinat sistemi
•
Yaşadığımız iç mekanlar genellikle kübik
olduğu için kübik hacımlar için konum
koordinatları verilmesi daha kullanışlıdır.
•
Bu nedenle vektörlerin kartezyen
koordinatlarda tanımlanması işleri dahada
kolaylaştırır.
•
İki boyutlu problemler için düzlemsel
kartezyen koordinatların (Coplanar
coordinates) kullanılması yeterli olmaktadır.
KARTEZYEN KOORDİNATLARDA KUVVET TANIMI
•
İki boyutlu kartezyen koordinatlarda
gösterilmiş F kuvvetinin
– x eksenindeki iz düşümü Fx
– y eksenindeki iz düşümü Fy
olarak tanımlanır.
FX=F*Cosϴ
Fy=F*Sinϴ
Şekil 1
Şekil 2 de F kuvvetinin y ekseninde yönü negatif
olduğundan
Fy= -F*Sinϴ
Şekil 2
KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU
• Kartezyen vektör notasyonunda
– x yönündeki vektörler için i
– y yönündeki vektörler için j
Notasyonları kullanılır.
• Kartezyen notasyonu ile
şekil 3 deki F vektörü
F  Fx i  Fy j
şeklinde yazılır.
F üzerindeki ok bu değerin vektörel
bir değer olduğunu belirtir
Şekil 3
KARTEZYEN VEKTÖR TOPLAMASI
•
•
Toplanacak vektörler önce kartezyen koordinat
sistemine göre bileşenlerine ayrılırlar
Sonra her bileşen kartezyen notasyonuna uygun
olarak yazılırlar.
F1=F1x+F1y
F2=-F2x+F2y
F3=F3x-F3y
FR=F1 +F2 + F3
 FR=(F1x i+F1y j )+(-F2x i +F2y j)+(F3xi -F3yj)
 FR=(F1x-F2x+F3x)i+(F1y +F2y -F3y)j
FRx=ΣFX
FRy=ΣFy
 FR=(FRx)i+(FRy )j

2
2
FR  FRx
 FRy
  tan1
FRy
FRx
PROBLEM 4.1
PROBLEM 3.2 NİN KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU İLE ÇÖZÜMÜ
FR=FA+FB
FA=-FAx-FAy
FB=FBx-FBy
FAx=-6,000*Cos60 =-3,000N
FAy=-6,000*Sin60 =-5,196N
 FA=(-3,000i - 5,196j)N
FBx=2,000*Cos45 =1,414N
FBy=-2,000*Sin45 =-1,414N
 FB=(1,414i – 1,414j)N
FRx=ΣFX  FRx=-3,000+1,414N =-1,586N
FRy=ΣFy  FRy=-5,196-1,414N =-6,610N
2
2
FR  FRx
 FRy
FR  (1,586 ) 2  (6,610 ) 2  FR  6,797 N
1
  tan
FRy
FRx
   tan1
 6,610
 76.510
 1,586
3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU
•
İki boyutlu vektör işlemlerinde
kartezyen notasyonu
kullanılmadan vektörel işlemler
kolaylıkla yapılır.
•
Ancak üç boyutlu vektör
işlemlerinde kartezyen notasyonu
kullanılmadan sonuca ulaşmak
daha zordur.
•
Kartezyen koordinat sisteminde
x,y,z eksenlerinin yönleri sağ el
kuralı ile tespit edilir.
KARTEZYEN KOORDİNAT
SİSTEMİ MODEL GÖRÜNÜŞLER
3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU
•
3 Boyutlu vektörün büyüklüğü
F=Fx i +Fy j +Fz k
F  Fx2  Fy2  Fz2
3 Boyutlu vektörün açısı.
Bu açı koordinat düzleminde x,y,z eksenleri
ile Toplam kuvvet F vektörünün
arasındaki A, B, C açılarıdır.
–
–
–
A açısı x ekseni ile F vektörü arasında
B açısı y ekseni ile F vektörü arasında
C açısı z ekseni ile F vektörü arasındadır
CosA 
Fx
F
CosB 
Fy
F
CosC 
Fz
F
3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN
NOTASYONU
F vektörü kartezyen notasyonu ile yazılması
Fx=F*CosA
Fy=F*CosB
Fz=F*CosC
 F  Fx i  Fy j  Fz k
 F  F cosAi  F cosBj  F cosCk
F vektörü Büyüklüğü
F  Fx2  Fy2  Fz2
 F  F2Cos2A  F2Cos2B  F2Cos2C
 F2  F2 (Cos2A  Cos2B  Cos2C)
 cos2 A  cos2 B  cos2 C  1
F  Fx2  Fy2  Fz2
İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ
•
Bileşenlerine ayrılacak vektörün kuyruğu
koordinat eksenlerinin kesiştiği O noktasında
olmalıdır.
•
Eğer verilen vektörün büyüklüğü ile birlikte iki
açısı biliniyorsa bilinmeyen diğer açı aşağıdaki
bağıntıdan bulunabilir.
Cos2 A  Cos2 B  Cos2C  1
Daha sonra aşağıdaki bağıntılar
kullanılarak vektörün x,y,z eksenlerindeki
bileşenleri bulunur.
Fx
 Fx  F * cos A
F
Fy
cos B   Fy  F * cos B
F
cos A 
cos C 
Fz
 Fz  F * cos C
F
İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ
FI =F* sinB
Fx =FI * sinϴ
Eğer verilen iki açıdan
birisi koordinat
düzlemlerinden
birindeki iz düşümün
açısı ise bu durumda
trigonometri
kullanılarak bu açının
iki eksendeki
bileşenleri bulunarak
çözüme gidilmelidir.
Fx=F*sinB*sinϴ
Fy=F*cosB
Fz =FI * cosϴ
Fz =F* sinB *cosϴ
F  Fx i  Fy j  Fz k
 F  (F*sin B*sin )i  (FcosB) j  (F*sin B* cos)k
Problem 4.2
•
•
•
Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 200 N luk
bir kuvvetle çekilmektedir.
İp dikey köşe çizgisinden 450 , yatay köşe çizgisinden ise 600
açıda çekilmektedir.
Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini
kartezyen koordinat notasyonu ile yazınız.
ÇÖZÜM
Cos2 A  Cos2 B  Cos2C  1
Cos2 60  Cos2 45  Cos2 C  1
 0.52  0.712  Cos2 C  1
 Cos2 C  0.25
 CosC   0.25  CosC  0.5
 C=600 veya C=1200
C=1200 odanın sınırları dışında kalacağından, C=600 olarak tespit
edilir.
F=F*CosA i + F*CosB j + F*CosC k
F=200*cos60i + 200*Cos45j + 200*Cos60k
F=100i + 141.42j + 100k
 Fx=100N, Fy=141.42N, Fz=100N
3 BOYUTLU VEKTÖRLERİN TOPLAMASI
• İki veya daha fazla üç boyutlu vektörün toplanması için
önce her vektörün kartezyen notasyonu ile x, y, z
bileşenlerine ayrılmış olarak yazılması gerekir.
• Bileşenlere ayrılan vektörler i, j, ve k olarak üç eksende
toplamları alınır.
• Tüm vektörlerden elde edilmiş bu üç eksendeki
bileşenlerinden toplam sonuç vektörünün büyüklüğü ve
açıları toplanarak bulunmuş olur.
FT   Fx i   F y j   Fz k
Problem 4.3
•
Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka
halat ile 100 N luk bir kuvvetle
çekilmektedir.
•
Halat zemin düzleminden 600 , halatın
zemin üzerindeki iz düşümü ise duvar
düzlemlerinden 450 açıda çekilmektedir.
•
Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki
bileşenlerini kartezyen koordinat
notasyonu ile yazın.
•
Üç eksendeki büyüklüklerini bulunuz
•
Halatın köşe çizgilerinden açılarını
bulunuz.
Problem 4.3 Çözümü
•
•
•
•
•
•
Önce F vektörünün zemin üzerindeki iz
düşümü F’ kuvvetini bulalım
FI =F*cos60 F’=100*cos60=50 N
Fx=F’*sin45 Fx=50*sin45=35.36N
Fz=F’*cos45 Fz=50*cos45=35.36N
B=900-600  B=300
Fy =F*cosB Fy=100*cos30=86.6N
F=35.36 i+86.6j+35.36k
CosA 
Fx
35.36
 A  cos 1 (
)  A  69.29 0
F
100
B=300
CosC 
Fz
35.36
 C  cos 1 (
)  C  69.29 0
F
100
CosA 
Fx
F
Problem 4.4
• Bir halkadan iki ayrı halat ile farklı
yönlerde kuvvet uygulanmaktadır.
• Halatlardan birisinden belirtilen
açılarda 300 N kuvvet etki
etmektedir.
• Halka üzerinde y ekseni yönünde
toplam FT=800N toplam kuvvet
ortaya çıkabilmesi için F2 kuvvetinin
büyüklüğünü ve açılarını bulunuz.
Problem 4.4 Çözümü
•
•
Problemin çözümü için kuvvetlerin ayrı ayrı
bileşenlerinin bulunması gerekir.
F1 kuvvetinin hem büyüklüğü hem açıları
bilindiği için bileşenleri kolaylıkla bulunur.
cos A1 
F1x
F
 cos A1  1x  F1x  300* cos 45
F
300
 F1x  212.13N
cos B1 
F1y
cos C1 
F1z
300
F
 cos B1 
F1y
300
 F1y  150N
 F1y  300* cos60
F1z
 F1z  300* cos120
300
 F1z  150N
 cosC1 
F1 =(212.13 i + 150j – 150k)N
Problem 4.4 Çözümü
•
•
F2 Kuvvetini analiz edebilmek için elde hiçbir veri bulunmamaktadır.
Ancak Toplam kuvvet açıları ile birlikte bilindiği için toplam kuvvetin
analizinden F2 kuvvetiinin bileşenleri bulunabilir
FT toplam kuvvetinin hem büyüklüğü hem yönü bilindiği için kartezyen
koordinat sisteminde kolaylıkla yazılır.
FT=FTx i + FTy j + FTz k
FT=(0 i + 800 j +0 k)N
FT   Fx i   F y j   Fz k
 FT  (F1x  F2 x )i  (F1y  F2 y ) j  (F1z  F2 z )k
 (0i  800j  0k)N  ((212.13 F2x )i  (150 F2 y ) j  (150 F2z )k)N
 (0i) N  ((212.13  F2 x )i
 F2 x  212.13N
 (800j)  (150  F2 y ) j
 F2 y  800  150
 F2 y  650N
 (0k) N  (150 F2z )k
 F2z  150N
Problem 4.4 Çözümü
 F2=(-212 i + 650 j -150 k)N
F2  F22x  F22y  F22z
 F2  (212.13) 2  6502  1502
 F2  700N
CosA2 
F2 x
 212.13
 A 2  cos1 (
)  A 2  107.640
F2
700
CosB2 
F2 y
cosC2 
F2 z
150
 C2  cos1 (
)  C2  77.630
F2
700
F2
 B2  cos1 (
650
)  B2  21.790
700
Problem 4.4 çözümü (Özet)
• Birden fazla üç boyutlu vektörlerin toplanmasında önce
bilinen vektörler bileşenlerine ayrılır.
• Sonra her üç eksendeki bileşenler toplanarak eşitlik
kurulur.
• Bileşenler bulunduktan sonra bilinmeyen açı değerleri
tespit edilir
Problem 4.5
Yanda görülen halka 500N kuvvet ile belirtilen açılarda çekiliyor.
Bu halkaya gelen kuvveti kartezyen notasyon ile yazınız.
Çözüm
İki açı biliniyor. Üçüncüyü bulalım
 cos2 A  cos2 B  cos2 C  1
 cos2 60  cos2 B  cos2 60  1
 cos2 B  0.5
 cos B  0.707
Cos B=+/- 0.707 olması iki çözüm olduğunu
göstermektedir. Bunlar
a)
45 o
b)
135o
Şekilden açının y ekseni üstünde eksi yönde olduğu
için -0.707 doğru çözümdür.  B= 135o
 F  F cosAi  F cosBj  F cosCk
 F  (500* ( cos60))i  (500* cos135) j  (500* cos60)
 F  250i  354j  250k
Problem 4.6
Yandaki resimde görünen kancanın üzerinde
etkin olan toplam kuvvetin büyüklüğünü ve
açılarını bulunuz.
Önce F1 kuvvetinin eksenlerdeki bileşenlerini
bulalım.
F’1=600*(4/5) = 480N
F1x=F’1*sin30 =480*sin30=240N
F1y=F’1*cos30 =480*cos30=416N
F1z=F1*(-3/5) =600*(-3/5) =-360N
 F1=(240i+416j-360k)N
Sonra F2 yi kartezyen koordinatlarda bulalım
 cos2 A  cos2 B  cos2 C  1
 cos2 120 cos2 B  cos2 60  1
 cos2 B  0.5
 cos B  0.707
 B=45o veya B=135o
B<90 B=45o
 F  F cosAi  F cosBj  F cosCk
 F2  (400* cos120)i  (400* cos45) j  (400* cos60)
 F2  200i  282j  200k
Son olarak Toplam kuvveti bulalım.
FT=F1+F2
FT= (240i+416j-360k)N + (-200i+282j+200k)N
FT= ((240-200)i +(416+282)j+ (-360+200)k )N
FT =(40i+698j-160k)N
F  Fx2  Fy2  Fz2
 FT  402  6982  (160) 2
 FT  717N
cos A 
cos B 
cos C 
Fx
40
 A  cos 1 (
)  A  86.8o
F
717
Fy
F
 B  cos1 (
698
)  B  13.2o
717
Fz
 160
 C  cos 1 (
)  C  103 o
F
717