Transcript 11. final sınavı hazırlık problemleri

FİNAL HAZIRLIK
PROBLEMLERİ
M.Feridun Dengizek
SINAVDA DİKKAT EDİLECEK HUSUSLAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Sınav 8 Ocak Perşembe saat 13:00 da yapılacaktır.
Sınav süresi 2 saattir
Sorulacak soru sayısı 5 dir.
Vize sınavına kadar olan konulardan iki adet soru çıkacaktır
Sınav klasik usulde yapılacaktır.
Cevaplar dikdörtgen çerçeve içine alınmalıdır.
Sınavda ders notları ve kitap açık olacaktır.
Sınav sırasında telefon kullananların kağıtları geçersiz kabul edilecektir.
Sınava gelirken en az 5 adet boş A4 kağıdı getirilmelidir.
BAŞARILAR DİLERİM
PROBLEM 1
Çelik konstrüksiyon bir yapıda A ve B elemanlarına 15 ve 6 kN
kuvvetler belirtilen açılarda etki ediyor.
a) Toplam kuvvet ne kadar olur.
b) Toplam kuvvet x ekseni ile ne kadar açı yapar
ÇÖZÜM.
a) Önce üçgen metoduna göre vektörler kapalı duruma getirilir
ve iki vektörün arasındaki açı bulunur

C= 120o
Cosinüs teoremine göre toplam vektör bulunur
c  a 2  b 2  2ab * cosC
 FT  152  62  2 *15* 6 * cos120
 FT  18.73kN
Sinüs teoremi ile diğer iç açılar bulunur
a
b
c


SinA SinB SinC

18.73
6

Sin120 Sin
   sin 1 (
   16.1
    45o
  28.9o
6 * sin 120
)
18.73
PROBLEM 2
Çelik konstrüksiyon bir binada yapı elemanlarına F1 ve F2
etki etmektedir. Toplam kuvvetin y ekseninde 1600 N olabilmesi için
a)
b)
F1 ve F2 kuvvetleri minimum ne olabilir.
ϴ açısı ne olmalıdır.
ÇÖZÜM
Toplamı sağlayan kuvvetlerden birinin minimum olması için toplanan
kuvvetlerin birbirine dik konumda olması gerekir.
F1 kuvvetinin açısı verilmiş olduğundan F2 kuvvetini buna göre
konumlandırmalıyız
1600
F2

Sin90 Sin 60
1600
F1

Sin90 Sin30
  90o  30o
 F2 
 F1 
1600
sin 60
sin 90
1600
sin 30
sin 90
   60o
 F2  1385N
 F1  800N
PROBLEM 3
Çelik bir yapı üzerinde F1 ve F2 kuvvetleri etki etmektedir.
F1 =700 N , F2 =400 N olduğu durumda toplam kuvvetin
sadece y ekseni yönünde olması için
a) F2 kuvvetinin x,y,z eksenleri ile olan açıları
α, β, γ ne olmalıdır.
b) Toplam kuvvet ne olur.
Not: β < 90o
ÇÖZÜM
Önce kuvvetler kartezyen koordinatlara geçirilir.
F2I  F2 * cos 41.4
 F2I  400* cos 41.4  F2I  300N
F2x  F2I * sin 30  F2x  150N
F2 y  F2I * cos30  F2x  259.8N
F2Z  F2 * sin 41,4  F2Z  264.5N
 F2  150i  259.8 j  264.5k
F1  (700* cos)i  (700* cos) j  (700* cos)k
FT  F1  F2  0i  FTy j  0k
 FT  (700 * cos )i  (700 * cos ) j  (700 * cos  )k   150 i  259 .8 j  264 .5k   0i  FTy j  0k
 (700* cos  150)i  0i
 (700* cos )k  264.5k  0k
 150
)
700
264 .5
   cos 1 (
)
700
   cos 1 (
   102.3O
   67.8O
cos2   cos2   cos2   1
 cos2   1  cos2 102.3  cos2 67.8  0.81
 cos  ( / )0.9
   25.7o
F1  (700* cos102.3)i  (700* cos25.7) j  (700* cos67.8)k  F1  150i  630j  264.5k
FT  F1  F2  150i  630j  264j 150i  259.8 j  264k
F1  F2  630j  259.8 j
 FT  890j
PROBLEM 4
a) Resimde gösterilen borunun AO kısmı
ile AB kısmı arasındaki θ açısını bulunuz.
b) Borunun B ucundan bir halat ile 10 kN
büyüklüğünde bir kuvvetle C noktasına
doğru çekilmesi durumunda borunun
BA doğrultusuna paralel olan kuvvet
bileşkesi FP ne olur.
ÇÖZÜM
Önce koordinatlar belirlenerek konum vektörleri yazılır.
O(0,0,0)
A(6,6,0)
B(0,8,5)
C(6,0,0)
  cos1 (
 rAO  8.48
 rAO  6i  6 j  0k
 rAB  6i  2 j  5k
rAO *rAB
)
rAO * rAB
   cos 1 (
 rAB  8
(6i  6 j) * (6i  2 j  5k )
)
8.48 * 8
Sonra F kuvvetinin kartezyen koordinatlarda yazılabilmesi için
kuvvet doğrultusu birim vektör olarak yazılır.
 rBC  6i  8 j  5k
 rBC  11.2
 FBC  10* (0.54i  0.72j  0.45k)
 u BC 
6i  8 j  5k
11.2
   cos 1 (
(6 * 6)  (6 * 2)  0
24
)
8.48 * 8
67.84
   cos1 (0.35)
   69.3o
 u BC  0.54i  0.72j  0.45k
 FBC  5.4i  7.2 j  4.5k
 rBA  rAB  6i  2 j  5k
 u BA
r
 BA
rBA
 u BA 
6i  2 j  5k
8
 u BA  0.75i  0.25j  0.63k
FP  u BA * FBC
 FP  (0.75i  0.25j  0.63k) * (5.4i  7.2 j  4.5k)
 FP  (0.75i  0.25j  0.63k) * (5.4i  7.2 j  4.5k)
 FP  (0.75* 5.4)  (0.25* 7.2)  (0.63* 4.5)
 FP  8.6N
PROBLEM 5
Resimdeki boru sisteminde A noktasında oluşan momenti kartezyen
koordinatlarda bulunuz
ÇÖZÜM
Önce F kuvveti kartezyen formda yazılır.
F’=F*cos30  F’=80*0.86=69.3N
Fx=F’ *sin40 Fx=69.3*sin40= 44.5N
Fy=F’ * cos40  Fy=69.3*cos40=53N
 F  44.5i  53j  40k
Fz=-F*sin30  Fz=-80*sin30=40N
Sonra A dan C ye konum vektör yazılır
 rAC  0.55i  0.4 j  0.2k
i
j
k
 M A  0.55 0.4  0.2
44.5 53  40
 M A  i(0.4 * (40))  (0.2 * 53)  j(0.55* (40)  (0.2 * 44.5)  k(0.55* 53)  (0.4 * 44.5)
 MA  (5.4i 13.1j 11.3k)N  m
PROBLEM 6
Resimdeki saksı borularla duvara bağlanmıştır.
O-A borusu ise duvara kelepçelenmiştir.
O-B borusu ile kelepçe arasındaki sürtünme en
fazla M=150 lb-ft momenti tutabilmektedir.
O-B borusunun dönmeden durabilmesi için
saksının ağırlığı W en fazla ne kadar olabilir.
ÇÖZÜM
Ağrlığın oluşturduğu momentin O-A eksenine
düşen kısmı en fazla MOB =150 lb-ft olacağına
göre O-A eksenindeki moment bilinmektedir
u OA 
0i  4 j  3k
 u OA  0i  0.8 j  0.6k
0 4 3
2
2
2
OC  4  3 * cos 30  6.6ft
BC  3 * sin 30  1.5ft
 rOB  6.6 * cos60i  6.6 * sin 60j  1.5k  rOB  3.3i  5.74j  1.5k
F  Wk
0
0.8
0.6
 M OB  150  3.3 5.74
1.5
0
0
W
 M OB  150  0i  0.8(3.3 * ( W)  0j  (0)k
 150 (2.64W) j
W
150
lb
2.64
 W  56.8lb
PROBLEM 7
Resimdeki aparatın kolunu çevirebilmek için
belirtilen kuvvet kullanılıyor.
Bu kuvvetin oluşturduğu momentin Z eksenine
yansıyan kısmı ne olur.
F  60i  20 j  15 k
u  1k
r  (0.25*sin 30)i  (0.25* cos30) j  0.4k
 r  0.125i  0.22j  0.4k
0
0
1
 M z  0.125 0.22 0.4
 60 20 15
 M z  0  0  10.125* 20  0.22* (60)
 Mz  15.7 N  m
PROBLEM 8
Resimde görünen boru üstünde ortaya çıkacak
toplam momenti bulunuz. B-A arasındaki borunun
boyu 400 mm.
ÇÖZÜM
İki adet moment çifti var. Bunları kartezyen
koordinatlarda yazmak için B den A ya konum
vektörünü bulalım
A(350,0,0)
B(350, 400*cos30, 400*sin30)  B(350,-346,200)
rBA= 0i+346j-200k
FA1=-35k
i
j
k
 M1  0 346  200
0 0
 35
 M1  i(346* (35))  0  j(0  0)  k (0  0)
 M1  12,100kN  mm M1  (12.1i)kN  m
FA2=50i
i
j
k
 M1  0 346  200
50 0
0
 M 2  i0  0  j(0  (200* 50)  k (0  346* 50)
 M 2  (10,000j  17,300k ) N  mm
 M2  (10j 17.3k)kN  m
MT  M1  M2
 MT  (12.1i 10j 17.3k)kN  m
PROBLEM 9
 M T  M xi  M y j  M z k
Problem 8 deki borunun üzerindeki toplam moment
MT=20 N-m olması için B-A borusunun boyu ne kadar
olmalıydı
ÇÖZÜM
Toplam momenti d cinsinden yazalım
A(0.35 ,0 , 0)
B(0.35, -d*cos30, d*sin30)  B(0.35, 0.86d, -0.5d)
rBA= 0i+0.86dj-0.5dk
FA1=-35k
i
j
k
 M1  0 0.86d  0.5d
0
0
 35
 M1  i(0.86d * (35))  0  j(0  0)  k (0  0)
 M1  30.3di
FA2=50i
i
j
k
 M1  0 0.86d  0.5d
50
0
0
 M 2  i0  0  j(0  (0.5d * 50)  k (0  0.86d * 50)
 M 2  25dj  43dk
MT  M1  M2
 MT  30.3di  25dj  43dk
 20  (30 .3d ) 2  (25d ) 2  (43d ) 2
 20  d (30.3) 2  (25) 2  (43) 2
 20  58 .2d
 d  0.343m
PROBLEM 10
Resimdeki kirişte toplam moment ne olur
ÇÖZÜM
Kiriş üzerinde iki çift moment var.
Bunların ikisi de aynı noktalar üzerinde olduğu için
aynı konum vektörüne sahip
r  1.5i  0.3 j
F1  2 * sin 30i  2 * cos30j
 F1  1i  1.732j
F2  8 * cos45i  8 * sin 45j
 F2  5.656i  5.656j
i
j
k
 M1   1.5 0.3 0
1
1.732 0
 M1  i(0  0)  j(0  0)  k (1.5 *1.732 0.3 *1)
 M1  2.9k
MT  M1  M2
i
j
k
 M 2   1.5
0.3 0
 5.656 5.656 0
 M 2  i(0  0)  j(0  0)  k (1.5 * 5.65600.3 * 5.656)
 MT  (2.9  6.79)k
 M2  6.79k
 MT  9.69kN  m
PROBLEM 11
Resimdeki dişli kutusunda toplam moment sıfır
olması için M2 ve M3 ne olur.
M1  300j
M2 
2
2
M 2i 
M2 j
2
2
M3  M3i
MT  M1  M 2  M3  0
 300j 
 i(


2
2
M 2i 
M 2 j  M3i  0
2
2
2
2
M 2  M3 )  j(
M 2  300)  0i  0 j
2
2
2
M 2  300
2
2
M 2  M3  0
2
 M 2  300

2
2
2
M 2  M3
2
 M2  424N  m

2
424  M3
2
 M3  300N  m
PROBLEM 12
Yer paspası yapan aletin disklerinden birisinde MA=40N-m
diğerinde ise MB = -30 N-m tork bulunuyor.
Paspas yapan kişinin eline gelen +/- F kuvvetleri ne olur
ÇÖZÜM
Kolun dönmemesi için toplam tork sıfır olmalıdır
MT  MA  MB  (F * 0.3)
 0  40  30  (F * 0.3)
 (F * 0.3)  40  30
 F  33 N
PROBLEM 13
Eğer B deki motor aniden durursa
Paspas yapan kişinin eline gelen +/- F kuvvetleri ne olur.
 0  40  0  (F * 0.3)
 (F * 0.3)  40
 F  133 N
PROBLEM 14
Resimdeki diske belirtilen kuvvetler etki etmektedir.
Bu disk üzerinde toplam momentin saat istikametinde 100 N-m
(-100 N-m) olması için F kuvveti ne olmalıdır
ÇÖZÜM
Önce moment çiftleri ayrılarak değerleri bulunmalıdır
r2  0.6 j
FA  (300* cos30)i  (300* sin 30) j
 FA  260i 150j
i
j k
 MA  0
0.6 0
260 150 0
 M A  i(0  0)  j(0  0)  k (0  0.6 * 260)
 M A  156k
FD  (F * cos15)i  (F * sin15) j
rD  (0.3* cos30)i  (0.3* sin 30) j
rC  (0.3 * sin 30)i  (0.3 * cos30) j
rCD  (0.26i  0.15j)  (0.15i  0.26j)
FD  0.966Fi  0.26Fj
rD  0.26i  0.15j
rC  0.15i  0.26j
rCD  0.41i  0.41j
i
j
k
 M B   0.41
0.41 0
 0.97F  0.26F 0
 M B  i(0  0)  j(0  0)  k (0.41* 0.26F)  (0.41* 0,97F)
M B  (0.504F)k
MT  MA  MB
 100  156  0.504 F
 0.504 F  56
 F  111 N
PROBLEM 15
Problem 13 de FB =200 N olursa toplam momentin sıfır olması
için FA açısı θ ne olmalıdır.
ÇÖZÜM
Önce moment çiftleri ayrılarak değerleri bulunmalıdır
r2  0.6 j
FA  (300* cos)i  (300*sin ) j
i
j
k
 MA 
0
0 .6
0
300cos 300sin  0
 M A  i(0  0)  j(0  0)  k (0  0.6 * cos )
 M A  (0.6 * 300* cos)k
 MA  (180* cos)k
FD  (200* cos15)i  (200*sin15) j
rD  (0.3* cos30)i  (0.3* sin 30) j
rC  (0.3 * sin 30)i  (0.3 * cos30) j
rCD  (0.26i  0.15j)  (0.15i  0.26j)
FD  193i  51.8 j
rD  0.26i  0.15j
rC  0.15i  0.26j
rCD  0.41i  0.41j
i
j
k
 M B   0.41 0.41 0
 193  51.8 0
 M B  i(0  0)  j(0  0)  k(0.41* 51.8)  (0.41* 193)
M B  21.23  79,13k
MB  100k
MT  MA  MB
 0  100  180 * cos 
 100
   cos1 

 180
   56.25o
PROBLEM 16
Resimdeki kapak 3 halat ile askıya alınıyor
Halatlardaki kuvvetler ve açıları belirtilmiş
Toplam kuvveti ve O noktasında oluşan toplam momenti bulunuz
ÇÖZÜM
Önce kuvvetleri kartezyen koordinatlarda yazalım ve birbirleri ile toplayalım
F1  6k
F2I  5 * cos 45
F2 X  F2I * sin 30
F2I  3.536
F2X  3.536* sin 30
F2 y  F2I * cos30
F2 y  3.56 * cos 30
F2 z  F2 * sin 45
F2Z  5 * sin 45
 F3  4 * cos60i  4 * cos60j  4 * cos45k
F2X  1.768
F2 y  3.062
F2z  3.536  F2  1.768i  3.062j  3.536k
 F3  2i  2 j  2.82k
 FT  (1,768 2)i  (3.062 2) j  (6  3.536 2.82)k
FT  F1  F2  F3
 FT  0.23i  5.062j 12.25k
Sonra O noktasından her kuvvetin başlangıcına giden konum vektörlerini yazalım
r1  2i  6 j
r2  4i
 r3  0
Kuvvetlerin O noktasına göre momentlerini bularak birbirleriyle toplayalım
r1  2i  6 j
F1  6k
i j k
 M1  2 6 0
0 0 6
 M1  i(6 * 6  0)  j(2 * 6  0)  k (0)
 M1  36i  12 j
r2  4i
 F2  1.768i  3.062j  3.536k
i
j
k
 M2 
4
0
0
 1.768 3.062 3.536
 M 2  i(0  0)  j(4 * 3.53  0)  k (4 * 3.062 0)
 M 2  14 j  12.25k
 F3  2i  2 j  2.82k
 r3  0
Kuvvet kolu sıfır olduğu için moment de sıfır olur
MT  M1  M 2  M3
 MT  (36i 12j  0k)  (0i 14j 12.25k)  (0)
 MT  (36i  26j 12.25k)kN  m
 M3  0
PROBLEM 17
Resimde görünen kiriş üzerinde toplam momentin sıfır
olması için F kuvveti ne olmalıdır.
ÇÖZÜM
Kiriş üzerinde iki moment çifti bulunmaktadır ve
bunların toplamı sıfır olmalıdır.
Önce 5kN değerindeki kuvvetlerin oluşturduğu
momenti hesaplayalım
3
4
FD  5 * ( )i  5 * ( ) j
5
5
i
j k
 M1  3  1 0
3 4 0
FD  3i  4 j
rBD  3i 1j
 M1  k(3 * 4)  (1* 3)
 M 1  9 k
Fc  (F * cos30)i  (F * sin 30) j  FC  (0.87F)i  (0.5F) j
rEC  3i  1j
i
j
k
 M2  3
1
0
0.87F 0.5F 0
 M 2  k(3 * 0.5F)  (1* 0.87F)
 M 2  (0.63F)k
M1  M2  0
 M1  M 2
9
 9  0.63F  F  0.63
 F  14 .2kN
PROBLEM 18
Bir el matkabında delik delinirken belirtilen kuvvetler
uygulanmaktadır.
Matkap ucununda ortaya çıkacak toplam kuvveti ve
momenti bulunuz.
ÇÖZÜM
Önce toplam kuvvet bulunur
F1  6i  3 j 10k
F2  0i  2 j  4k
FT  (6  0)i  (3  2) j  (10  4)k  FT  (6i 1j 14k)N
Matkabın ucundan (O noktasından) kuvvetlerin
uygulandığı noktalara konum vektörleri yazılır
r1  0.15i  0 j  0.3k
r2  0i  2 j  4k
Sonra O noktasına göre momentler alınarak birbirleri ile toplanır
i
j
k
 M1  0.15 0 0.3
6
 3  10
 M1  i(0 * 10)  (0.3 * (3)  j(0.15* (10)  (0.3 * 6)  k(0.15* (3)  (0 * 6)
 M1  0.9i  3.3 j  0.45k
i
j
k
 M 2  0  0.25 0.3
0
2
4
 M 2  i(0.25* 4)  (0.3 * (2)  j0  k0
 M 2  0.4i
 M T  M1  M 2
 M T  i0.9  0.4  j3.3  0  k 0.45  0
 MT  (1.3i  3.3j  0.45k)N  m
PROBLEM 19
Resimdeki sistemde toplam kuvvetin AB ve BC
kirişlerini kestiği yerleri ve AB kirişi ile yaptığı açıyı
bulunuz.
Önce açılı konumdaki 35 lb kuvveti bileşkelerine
ayıralım
Fx  35* sin 30  Fx  17.5
Fy  35* cos30
Fy  30.3
A noktasına göre moment alırsak
M A   (2 * 30.3)  (6 * 20)  (3 * 25)
 M A  105.6b  ft
Sistemdeki toplam kuvveti bulup A noktasına göre
momentini, kuvvet doğrultusunun BC ayağı üzerinden
geçtiği noktayı içerecek şekilde yazalım
FT  F
FT  (35*sin 30i  35* cos30j)  (20j)  (25i)
FT  42.5i  50.3 j
rT  6i  dj
i
j
k
 MT  6
d
0
42.5  50.3 0
 M T  k ((6 * (50.3))  ( d * 42.5))
 M T  (302  42.5d )k
MT  MA  (302 42.5d)  105.6
 d  4 .6 m
  tan 1 (
50.3
)    49.8o
42.5
Toplam kuvvetin A noktasına göre momentini toplam kuvvet
doğrultusunun AB kirişini kestiği noktayı içerecek şekilde
bulursak
FT  42.5i  50.3 j
rT  ei
i
j
k
 MT  e
0
0
42.5  50.3 0
 M T  k (e * (50.3))
 M T  (50.3e)k
MT  M A
 50.3e  105 .6
 e  2.1m
PROBLEM 20
Bir uçak kanadına ana gövdeden motora kadar sabit bir
kaldırma kuvveti, motordan sonra ise parabolik
olarak azalan bir kaldırma kuvveti etki etmektedir.
Toplam kaldırma kuvvetini ve bu kuvvetin A noktasından
ne kadar uzakta etki ettiğini bulunuz
ÇÖZÜM
Kuvvet bölgelerini 2 gruba ayırırsak
1.
Sabit kuvvet
F1=12*2880 =34,560 lb
X1= 12/2 = 6 ft
2. Parabolik kuvvet
FR   w ( x )dx
 FR   (2880  5x 2 )dx
24
L
5x 3
 FR  2880x 
3
MB   x * w(x)dx
L
 MB 
5x 3
 FR  2880x 
3
24
0
MB   x * (2880 5x 2 )dx
24
0
 MB 
0
 FR  46,080lb
 MB   (2880x  5x 3 )dx
24
2880x 2 5x 4

2
4
5 * 243
 FR  2880* 24 
3
24
24
2880* 242 5 * 244

2
4
 MB  414,720lb  ft
x
M B 414,720

FR
46,080
 x  9ft
FT34,560+46,080  FT=80,4640 lb
Toplam momenti, etki eden
kuvvetlerin A noktasına göre
oluşturduğu moment ile eşitlersek
X*FT= 6*34,560+(12+9)*46,080
X*80640=1,155,040
 X=14.6ft