Transcript de um corpo em torno de um eixo?

Texto: Neiva Manzini
Formatação: Claudio G de Paula
Nome
Quando um corpo rígido gira
suas
partículas
descrevem
trajetórias circulares, em torno
de um eixo.
z
r
.
P
0
y
Eixo
x
A figura representa a trajetória circular
de uma partícula P, de um corpo rígido,
que gira em torno do eixo Z.
Qual a equação matemática que
determina a freqüência e o período do
ponto P?
y
θ  posição angular
A relação entre a posição angular θ e
o arco s é:
.
Sentido
da
Rotação
P
r
s = θ.r
S
q
0
x
Δθ= θf - θi  deslocamento angular
Atenção: Δθ  deslocamentos angulares não
infinitesimais não são vetores porque não se
somam como vetores (a soma não é
comutativa).
No entanto, um deslocamento angular
infinitesimal – d θ - pode ser
considerado uma grandeza vetorial.
Saiba mais
Direção e sentido de ω
É a velocidade com que o raio r varre
um ângulo θ, num intervalo de tempo.
Velocidade angular média
  qt
2 q1
2  t1

q
t
Direção: eixo de rotação
Sentido:”regra da mão direita”

ω
Velocidade angular instantânea
 limt 0
q
t
 dq / dt
Saiba mais
Observe que as poltronas giram
com a mesma velocidade angular,
inclusive um ponto da estrutura
que se encontre próximo do eixo
de rotação. Assim, a velocidade
angular de um corpo rígido em
rotação pura é a mesma para
todas as partículas do corpo.
Agora
responda: a aceleração
angular é a mesma para todas as
partículas de um corpo rígido em
rotação pura, em torno de um eixo
fixo?
CLIQUE para ver um
vídeo
E agora,
vamos
trabalhar!
1) Numa centrífuga com raio igual a
15 m, a posição angular varia de
acordo com a equação θ (t) = 1,5 t2
(unidades SI).
Para t = 5 s, calcular:
a) a aceleração tangencial;
Estude os conteúdos referentes a
cinemática da rotação no livro
texto,
refaça os exercícios
em sala de aula e
resolvidos
b) a aceleração normal;
c) a aceleração linear total;
resolva os exercícios das páginas
seguintes.
No final do caderno você encontra um
resumo sobre conteúdos da rotação de
corpos rígidos.
d) o ângulo que o vetor aceleração
linear total faz com o raio.
2) Um corpo rígido em rotação obedece à
seguinte equação de movimento:
c)
a
velocidade
instantânea em t = 6s;
angular
θ (t) = 2t3 – 4t2 – 9 (unidades do SI).
Para este movimento, determine:
d) a aceleração angular média, nos
primeiros 10s;
a) o deslocamento angular nos primeiros
12s;
b) a velocidade
primeiros 10s;
angular
média
nos
e) a aceleração angular
instantânea, em t= 7s.
3) Uma roda parte do repouso e gira
com
aceleração
angular
constante de 2 rad/s2. Num
intervalo de tempo igual a 8s ela
gira 160 rad.
a) Quanto tempo a roda esteve
girando antes do início do
intervalo de 8s?
b) Qual era a velocidade angular da
roda no início do intervalo de 8s?
4) Uma roda gigante com 12m de raio
dá uma volta em 27s. Determine:
a) a velocidade linear de um
ocupante da roda;
b) a aceleração centrípeta do
ocupante.
5) Uma roda parte do repouso e gira
com aceleração angular constante de
2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual
a 5s ela gira 150 rad.
a) Quanto tempo a roda esteve
girando antes do início do intervalo de
5s?
b) Qual era a velocidade angular da
roda no início do intervalo de 5s?
Clique na figura abaixo e
descreva o movimento das
esferas do carrocel que você irá
observar:
6) O motor de um pequeno
aeroplano é especificado como
capaz de gerar um torque de
60N.m. O motor faz girar uma
hélice com pás de 2m de
comprimento e massa de 40kg.
Na partida, quanto tempo leva
para a hélice atingir 200 rpm?
2m
7) Uma lata de 3 kg é presa a um
barbante que é enrolado ao redor de
um cilindro oco de 2 kg e 4 cm de
diâmetro, que pode girar livremente.
A lata é liberada 1 m acima do chão.
a) Use a 2ª lei de Newton para
determinar
o
valor
da
velocidade da lata ao tocar o
chão.
b) Use a conservação da
energia para determinar o valor
da velocidade da lata ao tocar o
chão.
Ic = MR2

F
F
8) Um disco uniforme tem massa
de 120kg e raio de 1,4m. Sabe-se
que uma força
tangencial, de
módulo igual a 10N constante é
aplicada na borda do disco,
quando sua velocidade angular
inicial é de 1100 rev/min.
Determine:

F
a) o torque da força , sobre o
disco;
b) a aceleração angular do disco;
c) a velocidade tangencial, de
um ponto da borda do disco, 2s
após a aplicação da força.

F
F
9) Luís usa uma chave de “boca”
com 20 cm de comprimento para
girar uma porca. Sabe-se que a
chave está inclinada em 30º com a
horizontal, e que Luís a empurra
verticalmente
para
baixo,
exercendo uma força de 100N na
extremidade. Qual o torque da
força (que Luís exerce) sobre a
porca?
F=100N
30o

F
10- Um disco fino de 100 g de massa e
9,0 cm de diâmetro gira em torno de
um eixo que passa por seu centro
com 0,15 J de energia cinética. Qual é
o módulo da velocidade de um ponto
da borda do disco?
9 cm
Alguma
dúvida?
fale
conosco!
11- Uma porta maciça de 25 kg tem
220 cm de altura e 91 cm de largura.
Qual é o momento de inércia da porta
para rotações:
(a) em torno das dobradiças
(b) em torno de um eixo vertical
dentro da porta, a 15 cm de um dos
lados da mesma?
Uma colinha!
Aceleração angular
Qual a grandeza física responsável
pela variação da velocidade linear
(movimento de translação) de um
corpo que desliza sobre um plano
horizontal?
Aceleração angular média

Qual a grandeza física responsável pela
variação da velocidade angular
(movimento de rotação) de um corpo
em torno de um eixo?
2  1
t2  t1


t
Aceleração angular
instantânea
  lim t 0

t

dw
dt
Relações entre grandezas
lineares e angulares
Sabemos que S= θ.r2.r
Então:
a velocidade linear é
ds/dt =(dθ/dt)r, ou v= ω.r.
A aceleração linear é
dv/dt = (dω/dt)r, ou a = α.r
A aceleração centrípeta é
ac = v2/r = (ω2.r2/)r , ou ac=ω2.r
Energia Cinética na Rotação
Um
corpo
rígido
pode
ser
considerado como um conjunto de
partículas. Assim, a energia do corpo
rígido é igual a soma das energias
cinéticas de todas as partículas
desse corpo.
n
1
1
1
1
2
2
2
2
K  m1v1  m2v2  ...  mn vn   mi vi
2
2
2
i 1 2
A velocidade linear ou tangencial de
cada partícula que constitui o corpo são
iguais?
E a velocidade angular de cada
partícula do corpo rígido são iguais?
 m .r
i
m r
i i
2
i
2
4) a) 0,23rad/s
ALGUMAS RESPOSTAS
1) a) 45 m/s2
b) 3375
m/s2
c) 3375,3
d)
m/s2
0,76o
2) a) 2881 rad
b) 160 rad/s
c) 168 rad/s
d) 52 rad/s2
e) 76
rad/s2
3) a) 6 s
b) 12 rad/s
b) 2,8 m/s
c) 0,65 m/s2
5) a) 12,5s
b) 25rad/s
6) 4,65s
7) a) 3,46m/s
b) 3,46m/s
8) a) 14N.m
b) 0,12 rad/s2
c) 161,62 m/s
9) 17,32 N.m
10) 2,45m/s
11) a) 6,8kg.m2
b) 3,9kg.m2
A energia cinética de translação
de uma partícula de um corpo rígido
em rotação pura, em torno de um
eixo fixo é:
K = mv 2
2
Energia cinética rotacional
Como v = ω.r, podemos escrever a
equação da energia cinética de
rotação do corpo como:
K 
1
1
mi ( . ri ) 2   2 .
2
2
 mi .ri
2
Onde  mi .ri é a inércia rotacional (I),
ou momento de inércia.
2
Veja que o momento de inércia (I) é:
I α m e I α r2. Então:
O momento de inércia (I) depende da
massa do corpo, da sua distribuição
em torno do eixo de rotação e do eixo
de rotação. E quanto mais afastada
estiver a massa do eixo, maior será o
valor do momento de inércia I.
Unidade (S.I): kg.m2.
Então:
K ROT
1
 . I . 2
2
TORQUE
Define-se torque ou momento de uma
Consideremos um corpo rígido que pode
girar livremente em torno de um eixo que
passa pelo ponto O:


F

r
P
O



  rF
força como:
.
Lembre que o produto vetorial entre dois
vetores resulta em outro vetor, de módulo

igual a :
ângulo
| |  r . F . sen()

, onde o
é o ângulo formado entre o


r e a força
F .

Podemos decompor F
em duas
componentes:
vetor posição

EIXO



A força F
atua sobre o corpo
rígido, no ponto P e forma
um ângulo  com a direção do

vetor posição r de P.
FT
F

FR
P

Observe que somente F T (cuja direção é
tangente à trajetória) contribui para o
movimento de rotação. Enquanto F R

é paralela ao vetor
r.
Direção: perpendicular ao plano que contém

r
SEGUNDA LEI DE NEWTON NA
ROTAÇÃO

e
F
.
Sentido: regra da mão direita (coloque os 4
dedos da mão direita na direção e sentido do
y
F

vetor
r
e gire os mesmos na direção do
FT
α

vetor F ).
O polegar indicará o sentido do torque.
Fr
m
r

z
Unidade SI: N.m



X
 rF
O
z


F
r
P
x
Eixo de rotação = Z

y
A componente da força resultante
na direção tangente à trajetória,
comunica a aceleração tangencial
de uma partícula P do corpo. Então:


FT  m. aT

O módulo do torque
escrito como

  r.FT  r.m.aT
ou
da força
r.FT .
F pode ser
  r.m.aT.
Assim, conforme a 2ª lei de
Newton:
  I.
  m. .r.r  m.r ².
Então:
  I

Teorema trabalho-energia
cinética da rotação
TRABALHO, POTÊNCIA E O TEOREMA
DO TRABALHO-ENERGIA
O trabalho realizado durante um
deslocamento angular finito de um θi até θf
será:
qf
W   .dq
dw qf dq wf
W   .dq  I ..dq  I . dq  I . dw   I .w.dw
dt qi dt wi
qi
qi
qi
qf
qi
wf
xf
Na translação:
qf
W   F .dx
xi
qf
wf
wf ²
wi ²
 w² 
W  I .  w.dw  I .   I .  I .
2
2
 2  wi
wi
W  K ROTf  K ROTi  W  K ROT