 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.

KIỂM TRA BÀI CŨ:

CÂU 1: Nêu cách chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α)?

Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(α).

a a  b, a  c b, c  (α), b cắt c  a  (α) c b α

Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b, b vuông góc với mp(α).

a // b b  (α)  a  (α) α a b

CÂU 2: Nêu cách chứng minh 2 đường thẳng a v à b vuông góc với nhau?

Cách 1:

Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

a  (α)  a  b b  (α) α

Cách 2: Dùng định lí 3 đường vuông góc.

Cho đt a  (α), b  (  ), b không vuông góc với (α) và b’ là hình chiếu của b trên (α). Khi đó:

a



b



a



b’ Cách 3:

Dựa vào tính chất:

a // c



a



b c



b

* Nếu 2 đường thẳng a và b cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng.

α b b a a a c b b’

BÀI 2: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là 2 tam giác cân có chung đáy BC. I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh: BC



mp(ADI).

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. CM: AH



mp(BCD) Giải: a) Chứng minh BC



mp(ADI):

 ABC và  DBC cân và I là trung điểm BC nên: BC  AI BC  DI  BC  (ADI)

b) Chứng minh AH



mp(BCD):

Ta có: * ID  AH(gt) (1) * BC  (ADI) (cmt) AH  (ADI) Từ (1) và (2)  AH   BC mp(BCD)  AH B (2) I C A H D

BÀI 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SA = SB =SC = SD Chứng minh rằng: a) SO



mp(ABCD), với O là giao điểm của AC và BD.

b) AC



mp(SBD) và BD



mp(SAC).

c) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CM: IJ



(SBD).

Giải: a) CM: SO



mp(ABCD):

Ta có:  SAC và  SBD cân tại S (gt)  SO  SO  AC BD  SO

b) *CM: AC



mp(SBD)

:  mp(ABCD) Ta có: AC  AC   AC  BD (2 đường chéo của hình thoi) SO (cmt) mp(SBD)

c) IJ



(SBD):

Ta có: IJ // AC (IJ là đ. trung bình  ABC) Mà: AC  mp(SBD) ( cmt)  IJ  mp(SBD) A D I S O B J C

BÀI 4: Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mp(ABC). C/minh: a) H là trực tâm tam giác ABC.

b)

1

OH

2 1

OA

2  1

OB

2  1

OC

2

Giải: a) CM: H là trực tâm



ABC:

Ta có: OA  OA  OH  Từ (1)  OB OC (2)    mp(ABC) BC BC OA     (OBC) OH  (AOH) AH C/m tương tự ta được: AB  Suy ra: H là trực tâm  ABC.

BC (2) CH  OA 

b) CM:

1

OH

2  1

OA

2  1

OB

2  1

OC

2 Gọi I là giao điểm của AH và BC.

Ta có:  OA  mp(OBC)  OA  OI  AOI vuông tại O, có OH là đường cao nên:  BC  (AOH)  BC  OI 1

OH

2 BC (1) A  1

OA

2  1

OI

2 1

OH



OA



OB



OC

1

OI

2  1

OB

2  1

OC

2 (3) (4) B O H I A C B H 1

AH

2  1

AB

2  1

AC

2 C

Bài 6:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi I và K là 2 điểm lấy trên 2 cạnh SB và SD sao cho

SI SB



SK SD

.

Chứng minh: S a) BD  SC b) IK  mp(SAC)

Chứng minh: a) BD



SC:

I K A D BD  AC (2 đường chéo hình thoi) BD  SA (SA  (ABCD)  BD  (SAC) B  BD  SC

b) IK



(SAC):

Mà: BD  (SAC) Ta có:

SI SB



SK SD

 IK  (SAC)  IK // BD C

Ra thêm 1) Cho tứ diện ABCD. CMR nếu AB



CD, AC



BD thì BC



AD.

Giải:

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).

Suy ra BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên mp(BCD).

Ta có: *CD  AB  CD  BH (Đlí 3 đường vuông góc) *BD  AC  BD  CH (Đlí 3 đường vuông góc) Vậy H là trực tâm tam giác BCD.

Suy ra: BC  DH Mà DH là hình chiếu của AD trên mp(BCD) nên BC  AD B C A H D

BÀI 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) Chứng minh rằng: SH 

(

ABCD).

b) Chứng minh: AC  SK và CK 

Hướng dẫn:

SD.

a) CM: SH



(ABCD):

 Dùng đl đảo đl Pitago cm: BC  SB  BC  AB (ABCD là hình vuông)  BC  (SAB)  BC  SH Mặt khác: Từ (1) và (2)  AB  SH  SH (ABCD) (1) (2) K

b) CM AC



SK và CK



SD:

A D S H a a 2 B a C

BÀI 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) Chứng minh rằng: SH 

(

ABCD).

b) Chứng minh: AC  SK và CK 

Hướng dẫn: b) CM AC



SK và CK



SD:



CM AC



SK

: SD.

Ta có: HK // DB AC  DB  HK  AC SH  (ABCD) AC  (ABCD)  SH  Từ (1) & (2)  AC  (SHK)  AC  SK AC (1) (2) A K D S H a a 2 B a C

BÀI 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SC = a 2 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) Chứng minh rằng: SH 

(

ABCD).

b) Chứng minh: AC  SK và CK 

Hướng dẫn: b) CM AC



SK và CK



SD:

D 

CM AC



SK

: 

CM CK



SD

: K SD.

C S a 2 Ta cm được: CK  DH (1) A H B a SH  (ABCD) CK  (ABCD)  CK  SH (2) K D Từ (1) & (2)  CK  SD a A B H C

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ.

b) Chứng minh SI  (SCD) và SJ  (SAB).

c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh: SH  AC.