Transcript Document

SLOŽENÉ
ÚROKOVÁNÍ
Na konci úrokovacího období se připíše úrok za
uplynulé období a v příštím úrokovacím období se
počítá úrok nejen z původní jistiny, ale také z
připsaných úroků.
Ukázkový příklad:
Na jakou částku vzroste za 4 roky hodnota
jednorázového vkladu 40 000,- Kč při 10 % p.a.?
Zápis:
n =
a0 =
p =
an =
4 roky
40 000,- Kč
10 % p.a.
?
úrok (10 %) / Kč
za
1. rok
z
vklad
an
v
k
l
a
d
u
za
2. rok
z
z
za
3. rok
z
ú
r
o
k
ů
ú
r
o
k
ů
4 000
v
k
l
a
d
u
400 4 000
za
4. rok
z
z
z
v
k
l
a
d
u
ú
r
o
k
ů
v
k
l
a
d
u
40 400 4 000
2x
3x 3x
40 000 4 000 400 4 000 40 400 4 000 4 40 400 4 000
a n  40 000  4  4 000  6  400  4  40  4  58 564
Za daných podmínek vzroste za 4 roky uložená částka na
hodnotu 58 564,– Kč.
ODVOZENÍ VZORCE
(složené úrokování)
Úrok za stejné úrokovací doby se mění a vypočítává se nejen z
původní jistiny, ale také z předešle připsaných úroků.
a0 p
p 

 a 0 1 
a1  a0  ú1  a0 

100
 100 
úročení 1. vkladu je stejné
jako u jednoduchého
úrokování
p 

a 0 1 
 p
a2  a1  ú2  a0 1  p    100 
100
 100 
2
p 
p 
p 


 a 0 1 
1


  a 0 1 

 100  100 
 100 
vytkněte
2
p 

a 0 1 
 p
2
p 

 100 

a3  a2  ú3  a0 1 

100
 100 
2
3
p
p
p

 



 a 0 1 
1


a
1

 
 0
 
 100   100 
 100 
jednotlivé jistiny tvoří členy GP
p 

a1  a0 1 

 100 
2
p 

a 2  a 0 1 

 100 
3
p 

a 3  a 0 1 

 100  počáteční jistina je

prvním členem GP
p 

a n  a 0  1 

 100 
n1
GP : an  a1  q
n
kvocient GP
Při složeném úrokování roste jistina exponenciálně
(rychle).
Amortizace majetku (odpis)

vyjadřuje
 opotřebení příslušné položky dlouhodobého
majetku v důsledku používání (fyzický odpis)
 „nepoužívání“ – zastarávání (morální odpis)
tohoto majetku

se určí obdobně jako nárůst hodnoty – ale
naopak z původní ceny odečítáme hodnotu
ÚROČITEL, ozn. r
je kvocient GP pro
 nárůst hodnoty
 úročení vkladu
 připisujeme úroky ú

pokles hodnoty
 amortizace majetku
 upisujeme odpisy o
p 

r  1 

 100 
p 

r  1 

 100 
Velikost jistiny za n úrokovacích období pro nárůst
i pokles hodnoty tak můžeme zapsat zjednodušeně
pomocí hodnoty úročitele:
n
an  a0 r
VZORCE
Ze základního vzorce, který vyjadřuje velikost jistiny
po n letech, odvodíme obecné vztahy pro výpočet
velikostí veličin:
 počáteční jistina, a0
 počet let, po které se jistina úročí, n
 úroková míra, kterou se jistina úročí, p
a0 = ?
n=?
an  a0 r n
a0 r  an / : r
n
an  a0 r n
n
a0 r  an
n
an
r 
a0
/ : a0
n
an
a0  n
r
an
log r  log
a0
an
n  log r  log
a0
neznámá v exponentu 
rovnici logaritmujeme
n
y  log a x  log a x y
/ : log r
 an 
log  
a0 

n
log r
p=?  r=?
an  a0 r n
a0 r n  an
an
r 
a0
n
an
rn
a0
/ : a0
/n
p 

r  1 

 100 
p
1
r
100
/100
100  p  100r
 p  100r  100
p  100r  100
Označení definovaných veličin odpovídá
označení v MFCHT:
strana 29, Vzorce finanční aritmetiky.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Příklad 1:
Na jakou částku vzroste vklad 30 000,- Kč
za 5 let při 2 % p.a.?
Řešení:
a0 = 30 000,- Kč
n = 5 let
p = 2 % p.a.  r = 1,02 (nárůst)
an = ?
an  a0 r  30 000  1,02  33122, Kč
n
5
Příklad 2:
Stroj ztrácí opotřebením každoročně 5 % své
ceny. Jaká bude jeho cena za 10 let, když
původně stál 110 000,- Kč?
Řešení:
p = 5 % p.a.  r = 0,95 (pokles)
n = 10 let
a0 = 110 000,- Kč
an = ?
an  a0 r n  110 000  0,95  65 861, Kč
Příklad 3:
Jakou částku musíme dnes uložit, aby nám
vzrostla za 10 let na 130 000,- Kč při 1,7 % p.a?
Řešení:
n = 10 let
an = 130 000,- Kč
p = 1,7 % p.a.  r = 1,017 (nárůst)
a0 = ?
an
130 000
a0  n 
 109 833, Kč
10 
r
1,017
Příklad 4:
Kolik by musel dnes stát přístroj, jehož hodnota by
po 15 letech byla 100,-Kč? Odpisy činí 14 % p.a.
Řešení:
n = 15 let
an = 100,- Kč
p = 14 % p.a.  r = 0,86 (pokles)
a0 = ?
an
100
a0  n 

961
,

Kč

15
r
0,86
Příklad 5:
Za jak dlouho se jistina ztrojnásobí při 2,4 % p.a.?
Řešení:
a0
a0 = 1,- Kč
nebo zvolte a0 a dopočtěte an:
an = 3a0
an = 3,- Kč
p = 2,4 % p.a.  r = 1,024 (nárůst)
n =?
 an
log 
a0

n
log r

 3a 0 
 log 


 a 0   log 3
 46,32 let
log 1,024
log r
(46 let a 4 měsíce)
Příklad 6:
Za jak dlouho klesne hodnota stroje o čtvrtinu při
každoročních odpisech 20 % své původní ceny?
Řešení:
a0
nebo zvolte a0 a dopočtěte an: a0 = 4,- Kč
an = 0,75a0
an = 3,- Kč
p = 20 % p.a.  r = 0,80 (pokles)
n =?
 an
log 
a0

n
log r

 0,75a 0 
 log 


 a 0   log 0,75  1,29 let
log 0,80
log r
Příklad 7:
Jaké jsou každoroční odpisy stroje, když jeho cena
za 30 let klesla na pětinu své původní ceny?
Řešení:
a0
nebo zvolte a0 a dopočtěte an: a0 = 10,- Kč
an = 0,2a0
an = 5,- Kč
n = 30 let
p = ?  r = ? (pokles)
rn
an
0,2a0 30
n
 0,2  0,9478
a0
a0
p  100r  100  94,78  100  5,22 % p.a.
Příklad 8:
Jakou úrokovou míru poskytuje banka, když vklad
25 000,- Kč vzrostl za 8 let na hodnotu 98 000,- Kč?
Řešení:
a0 = 25 000,- Kč
an = 98 000,- Kč
n = 8 let
p = ?  r = ? (nárůst)
rn
a n 8 98 000

 1,1862
25 000
a0
p  100r  100  118,62  100  18,62 % p.a.
PŘÍKLADY NA
PROCVIČENÍ
9.
Na jakou částku vzroste vklad 25 000,-Kč
za 8 let při 2,5 % p.a.?
[30 460,- Kč]
10. Stroj ztrácí opotřebením každoročně 15 %
své ceny. Jaká bude jeho cena za 5 let, když
původně stál 150 000,- Kč?
[66 556,- Kč]
11. Na jakou částku by vzrostlo 1 000,- Kč
za 50 let při 4,5 % p.a.?
[9 033,- Kč]
12. Jakou částku musíme dnes uložit, aby nám
vzrostla za 10 let na 150 000,-Kč při
a) 1,2 % p.a., b) 2,3 % p.a., c) 3,5 % p.a.?
[a) 133 133,- Kč, b) 119 491,- Kč , c) 106 338,- Kč]
13. Za jak dlouho vzroste jistina 50 000,-Kč na
200 000,-Kč při a) 1,0 % p.a., b) 2,1 % p.a.,
c) 3,2 % p.a.?
[a) 139 let a 4 měsíce, b) 66 let a 8 měsíců, c) 44 let]
14. Za jak dlouho se jistina zdvojnásobí
při 3,5 % p.a.?
[20 let a 2 měsíce]
15. Za jak dlouho klesne hodnota stroje na
polovinu při každoročních odpisech 10 %
své ceny?
[6 let a 7 měsíců]
16. Za jak dlouho vzroste jistina o třetinu své
původní hodnoty při 3,0 % p.a.?
[9 let a 9 měsíců]
17. Za jak dlouho klesne hodnota stroje na
třetinu při každoročních odpisech 12 %
své původní ceny?
[8 let a 7 měsíců]
18. Za jak dlouho vzroste jistina o 35 % své
původní hodnoty při 2,5 % p.a.?
[12 let 2 měsíce]
19. Jaké jsou každoroční odpisy stroje, když
jeho cena za 3 roky klesla o čtvrtinu své
původní ceny?
[9,14 % p.a.]
20. Jakou úrokovou míru by musel poskytovat
bankovní ústav, když by se hodnota našeho
vkladu za 6 let měla ztrojnásobit?
[20,09 % p.a.]
Použitá literatura:

ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a
studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a
finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005.
ISBN 8071962392. Kapitola 3, s. 41–69