Interpretovaná Matematika logaritmy Funkce y x Funkce je: 1. Zobrazení (mapping) 2. Množina (set) 3. Vztah, závislost (relationship) Může být zadána: 1.
Download ReportTranscript Interpretovaná Matematika logaritmy Funkce y x Funkce je: 1. Zobrazení (mapping) 2. Množina (set) 3. Vztah, závislost (relationship) Může být zadána: 1.
Slide 1
Interpretovaná Matematika
logaritmy
Slide 2
Funkce
y
x
Funkce je:
1. Zobrazení (mapping)
2. Množina (set)
3. Vztah, závislost (relationship)
Může být zadána: 1. Výčtem
2. Vlastností
Slide 3
Definice dalsich vlastností
Pr. 1
Pr. 2
x 1
f x y f x f y .
f cx cf x
f c cf 1
f 1 a x c
pak
f x ax
Slide 4
Definice logaritmu (vlastností)
Říkáme, že funkce f splňuje logaritmickou podmínku když
f x y f x f y .
To lze taky vyjádřit buď jako
Df
f x y f x f y ,
nebo
f x y : f x f y ,
nebo
f x y f x f y .
Slide 5
K čemu je to vlastně dobré
Notoricky známý příklad z technické praxe: Log pravítko
Př. 1
10
100
1,000
10,000
100,000
10
100
1,000
10,000
100,000
11 2
log 10 log 10 log 100
log 10 10 log 100
10 10 100
Př. 2
10
100
1,000
10 10 10,000
100
10
100,000
100
1,000
2 1 3
log 100 log 10 log 1000
log 100 10 log 1000
100 10 1000
10,000
100,000
Slide 6
K čemu je to vlastně dobré
Méně známý příklad, který má co dělat s biologií: Míra Informace
Množství informace, které říká nějaká věta závisí na tom, kolik různých vět můžu říct.
2
4
8
16
1
0
11
10
01
00
111
110
101
100
011
010
001
000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
Každý znak zvětšil množství informace dvakrát.
My ale chceme aditivní míru,
ptáme se tedy o kolik zvětšil každý znak informaci.
Inu tak uděláme z násobení sčítání,
a k tomu se výborně hodí logaritmus.
Např.
log 16 log 2 4 log 2
4
Slide 7
K čemu je to vlastně dobré
Diversita se někdy udává jako míra informace,
např jako Shannonova informace.
S
H
i 1
S - počet druhů; A
ai
A
ln
ai
A
- počet všech jedinců;
a
i
- počet jedinců druhu i
Slide 8
K čemu je to vlastně dobré
Nebo ... ,
ale o tom až později.
Slide 9
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
f 1 0
f 1 f 1 1
f 1 f 1 f 1
Slide 10
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
f 1 0
f 1 f 1 1
f 1 f 1 f 1
f 1 f 1 f 1 f 1 f 1
0 f 1
f 1 0
Slide 11
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení: Pro všechna
a
nN
nf b
platí
f b
důkaz:
bR
.
n
f b f b
1
f b
n 1
, tudíž n N ::
n 1 f b
f b f b
f b
2
nf b .
f b
?
n
Slide 12
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení: Pro všechna b R a n N
n
platí f b nf b .
důkaz:
f b f b
1
f b
n 1
, tudíž n N ::
n 1 f b
?
nf b .
f b
?
n
Slide 13
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení: Pro všechna b R a n N
n
platí f b nf b .
důkaz:
f b f b
1
f b
f b
n 1
n 1
, tudíž n N ::
n 1 f b
?
nf b .
f b
n
?
f b b f b f b nf b f b n 1 f b
n
n
Slide 14
Vlastnosti logaritmu
To byl prosím tzv důkaz úplnou indukcí.
Slide 15
Vlastnosti logaritmu
xf(b)
0
1
bx
Slide 16
Vlastnosti logaritmu
b nazveme basi logaritmu
a definujeme ji f(b)=1
Co když: b 1
0 b 1
x
b 0
1
b0
0
1
b
bx
Slide 17
Vlastnosti logaritmu
x 0
b 1 f b x
Tvrzení:
důkaz:
Nechť
y
fb b
y
b 1 & b y
Pak
.
0 y
.
Slide 18
Vlastnosti logaritmu
z0
b 1 f b z
Tvrzení:
důkaz:
Nechť
Pak
y
fb b
y
b 1 & b y
.
0 y .
srovnej: Pak 0 b 1 & b y 0 y .
Pak b 1 b y 1 .
Slide 19
Vlastnosti logaritmu
y
Logaritmická funkce
je jednoznačně určena svojí basí.
1
0
b1
1
b2
b3
x
Slide 20
Definice logaritmu
Funkci f b, která zobrazuje interval
f b x y f b x f b y a
0 , na množinu reálných čísel,
f b b 1 říkáme logaritmus s basí b
.
a většinou ji značíme log b .
Nejčastěji používané logaritmy jsou:
dekadický log s basí 10, dvojkový log
2
a přirozený ln s basí e 2 . 72 .
Slide 21
Další vlastnosti logaritmu
xb
Tvrzení:
důkaz:
log
log b x
x y b x
y
b
b
log b x
x
Slide 22
Další vlastnosti logaritmu
xb
Tvrzení:
důkaz:
log
log b x
x y b x
y
b
b
log b x
log b b y
y
x
Slide 23
Další vlastnosti logaritmu
xb
Tvrzení:
důkaz:
log
log b x
x y b x
y
b
b
log b x
log b b y
y
x
Slide 24
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
log
x
10
log
10
x
log
10
b
x log
10
b
log b x
Slide 25
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
x
log
10
x
log
10
b
log
10
x log
10
log
10
x log
b
log
10
x
log
10
log
b
log
b
x
b
log b x
x log
b
x
log
10
x
log
10
b
10
b
Slide 26
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
x
log
a
x
log a b
Slide 27
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
log
x
log
a
x
log a b
a
x log a b
log b x
Slide 28
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
x
log
x
a
log a b
log
a
x log a b
log
a
x log
log
a
x
log
log a b
log
b
x
log b x
b
x log a b
b
x
log
a
x
log a b
Slide 29
Vlastnosti logaritmu
Teď chvilku přemýšlejte a pak se ptejte.
Slide 30
Cvičení
Př. 1
Dokažte z definice logaritmické fce., že
log 1 0
pro libovolnou basi.
Slide 31
Cvičení
Př. 1
Dokažte z definice logaritmické fce., že
log 1 0
pro libovolnou basi.
Řešení
log a * a 2 * log a log 1 2 * log 1 log 1 0 .
Slide 32
Cvičení
Př. 2
Spočtěte log
3
9 .
.
Slide 33
Cvičení
Př. 2
Spočtěte log
3
9 .
Řešení
log 3 9 log 3 3 2 log 3 3 2
2
.
Slide 34
Cvičení
Př. 3
Spočtěte log
10
1000 .
Řešení
.
Slide 35
Cvičení
Př. 3
Spočtěte log
10
1000 .
Řešení
log
1000 log
10
10 3 log
10
3
.
10
10 3
Slide 36
Cvičení
Př. 4
Co je to za osu?
0
Řešení
0.1
1
10
100
1000
10000
Slide 37
Cvičení
Př. 5
Co je to za osu?
4
Řešení
8
16
32
64
128
256
Slide 38
Cvičení
Př. 4
Řešení
Co je to za osu?
0 .1
0.5
1
5
10
Slide 39
Cvičení
Př. 6
Dopočtěte tabulku
Log x
x
0
1
2
3
4
Řešení
.
Slide 40
Cvičení
Př. 6
Log x
x
0
1(nezávisí na basi)
1
10
2
100
3
1000
4
10000
.
nebo
Log3 x x
0
1(nezávisí na basi)
1
3
2
9
3
27
4
81
Slide 41
Cvičení
Př. 7
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, ln 5 s přesností na jednu desetinu.
Slide 42
Cvičení
Př. 7
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, ln 5 s přesností na jednu desetinu.
Řešení
Slide 43
Cvičení
Př. 8
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
s přesností na jednu desetinu.
nebo v excelu,
log
4
3
Slide 44
Cvičení
Př. 8
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
s přesností na jednu desetinu.
nebo v excelu,
log
4
3 x
4 3
x
Slide 45
Cvičení
Př. 8
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, log 4 3 s přesností na jednu desetinu.
Řešení
0 . 75 x 0 . 8
Slide 46
Cvičení
Př. 9
Určete, za pomoci logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, log 4 3 .
Slide 47
Cvičení
Př. 9
Určete, za pomoci logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, log 4 3 .
Řešení
log
4
3
ln 3
ln 4
0 . 792
Slide 48
Cvičení
Př. 10
Víte-li, že přirozený logaritmus nějakého čísla je
. jeho dekadický logaritmus, aniž
roven 11.1, určete
byste toto číslo odlogaritmovali.
Slide 49
Cvičení
Př. 10
Víte-li, že přirozený logaritmus nějakého čísla je
. jeho dekadický logaritmus, aniž
roven 11.1, určete
byste toto číslo odlogaritmovali.
Řešení
ln x
log x
log x 11 . 1 log e 4 . 82
log e
nebo
log x
ln x
ln 10
log x
11 . 1
ln 10
4 . 82
Slide 50
Cvičení
Př. 11
.
Převeďte mocninu 10
x
na mocninu Eulerova čísla.
Slide 51
Cvičení
Př. 11
.
Převeďte mocninu 10
x
na mocninu Eulerova čísla.
Řešení
10 e
x
ln 10
x
10 e
x
x ln 10
Slide 52
Cvičení
Př. 12
x
Převeďte mocninu .2
na mocninu 10.
Řešení
2 10
x
log 2
x
2 10
x
x log 2
Slide 53
Cvičení
Př. 13
.
Slide 54
Cvičení
Př. 13
.
Řešení
Ad a)
S S0 A
z u log t u log A
t
S0 A A
z
u log t
t t
u log A
z
S0 A t
A
u log t u log A
t
Ad b) A u log t t u log A 10 u log t log A10 u log A log t 10 2 u log t log A A 2 u log t
Alternativně g A , t t
2 u log A
Slide 55
Cvičení
Př. 13.1 Recenze pro AmNat
.
Slide 56
Cvičení
Př. 14
.
19.
.
Slide 57
Cvičení
Př. 14
.
19.
.
Řešení
,
ln S ln S 0 Ab ln K
, b A , S 0 S a K 1 .
1
.
Slide 58
Cvičení
Př. 15
.
Převeďte mocninu 10
x
na mocninu Eulerova čísla.
Slide 59
Cvičení
Př. 15
.
Převeďte mocninu 10
Řešení
x
na mocninu Eulerova čísla.
Slide 60
Cvičení
dotazy
Slide 61
Co byste si tak mohli pamatovat
1. Funkce bývají ztělesněné vlastnosti.
2. Když nevím co dál, tak dosadím za x
xb
3.
log
b
log b x
x
, nebo
log x
log b
.
x log b b
x
; ono se uvidí.
Slide 62
Logaritmické transformace
aritmetická osa
logaritmická osa
Slide 63
Log transformace
Slide 64
Log transformace
I A
Slide 65
Log transformace
I A
ln I ln ln A
Slide 66
Log transformace
Slide 67
Log transformace
Slide 68
Log transformace
Slide 69
Log transformace
log Species intercept
slope log Area
Slide 70
Log transformace
log Species intercept
Species e
slope log Area
intercept
S CA
Area
z
slope
Slide 71
Log transformace
S CA
S ks
z
S A S 1 Aq
z
q A
1
A
napr
km
2
Slide 72
Interpretovaná Matematika
logaritmy
Slide 2
Funkce
y
x
Funkce je:
1. Zobrazení (mapping)
2. Množina (set)
3. Vztah, závislost (relationship)
Může být zadána: 1. Výčtem
2. Vlastností
Slide 3
Definice dalsich vlastností
Pr. 1
Pr. 2
x 1
f x y f x f y .
f cx cf x
f c cf 1
f 1 a x c
pak
f x ax
Slide 4
Definice logaritmu (vlastností)
Říkáme, že funkce f splňuje logaritmickou podmínku když
f x y f x f y .
To lze taky vyjádřit buď jako
Df
f x y f x f y ,
nebo
f x y : f x f y ,
nebo
f x y f x f y .
Slide 5
K čemu je to vlastně dobré
Notoricky známý příklad z technické praxe: Log pravítko
Př. 1
10
100
1,000
10,000
100,000
10
100
1,000
10,000
100,000
11 2
log 10 log 10 log 100
log 10 10 log 100
10 10 100
Př. 2
10
100
1,000
10 10 10,000
100
10
100,000
100
1,000
2 1 3
log 100 log 10 log 1000
log 100 10 log 1000
100 10 1000
10,000
100,000
Slide 6
K čemu je to vlastně dobré
Méně známý příklad, který má co dělat s biologií: Míra Informace
Množství informace, které říká nějaká věta závisí na tom, kolik různých vět můžu říct.
2
4
8
16
1
0
11
10
01
00
111
110
101
100
011
010
001
000
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
Každý znak zvětšil množství informace dvakrát.
My ale chceme aditivní míru,
ptáme se tedy o kolik zvětšil každý znak informaci.
Inu tak uděláme z násobení sčítání,
a k tomu se výborně hodí logaritmus.
Např.
log 16 log 2 4 log 2
4
Slide 7
K čemu je to vlastně dobré
Diversita se někdy udává jako míra informace,
např jako Shannonova informace.
S
H
i 1
S - počet druhů; A
ai
A
ln
ai
A
- počet všech jedinců;
a
i
- počet jedinců druhu i
Slide 8
K čemu je to vlastně dobré
Nebo ... ,
ale o tom až později.
Slide 9
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
f 1 0
f 1 f 1 1
f 1 f 1 f 1
Slide 10
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
f 1 0
f 1 f 1 1
f 1 f 1 f 1
f 1 f 1 f 1 f 1 f 1
0 f 1
f 1 0
Slide 11
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení: Pro všechna
a
nN
nf b
platí
f b
důkaz:
bR
.
n
f b f b
1
f b
n 1
, tudíž n N ::
n 1 f b
f b f b
f b
2
nf b .
f b
?
n
Slide 12
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení: Pro všechna b R a n N
n
platí f b nf b .
důkaz:
f b f b
1
f b
n 1
, tudíž n N ::
n 1 f b
?
nf b .
f b
?
n
Slide 13
Vlastnosti logaritmu
Tvrzení: Pro všechna b R a n N
n
platí f b nf b .
důkaz:
f b f b
1
f b
f b
n 1
n 1
, tudíž n N ::
n 1 f b
?
nf b .
f b
n
?
f b b f b f b nf b f b n 1 f b
n
n
Slide 14
Vlastnosti logaritmu
To byl prosím tzv důkaz úplnou indukcí.
Slide 15
Vlastnosti logaritmu
xf(b)
0
1
bx
Slide 16
Vlastnosti logaritmu
b nazveme basi logaritmu
a definujeme ji f(b)=1
Co když: b 1
0 b 1
x
b 0
1
b0
0
1
b
bx
Slide 17
Vlastnosti logaritmu
x 0
b 1 f b x
Tvrzení:
důkaz:
Nechť
y
fb b
y
b 1 & b y
Pak
.
0 y
.
Slide 18
Vlastnosti logaritmu
z0
b 1 f b z
Tvrzení:
důkaz:
Nechť
Pak
y
fb b
y
b 1 & b y
.
0 y .
srovnej: Pak 0 b 1 & b y 0 y .
Pak b 1 b y 1 .
Slide 19
Vlastnosti logaritmu
y
Logaritmická funkce
je jednoznačně určena svojí basí.
1
0
b1
1
b2
b3
x
Slide 20
Definice logaritmu
Funkci f b, která zobrazuje interval
f b x y f b x f b y a
0 , na množinu reálných čísel,
f b b 1 říkáme logaritmus s basí b
.
a většinou ji značíme log b .
Nejčastěji používané logaritmy jsou:
dekadický log s basí 10, dvojkový log
2
a přirozený ln s basí e 2 . 72 .
Slide 21
Další vlastnosti logaritmu
xb
Tvrzení:
důkaz:
log
log b x
x y b x
y
b
b
log b x
x
Slide 22
Další vlastnosti logaritmu
xb
Tvrzení:
důkaz:
log
log b x
x y b x
y
b
b
log b x
log b b y
y
x
Slide 23
Další vlastnosti logaritmu
xb
Tvrzení:
důkaz:
log
log b x
x y b x
y
b
b
log b x
log b b y
y
x
Slide 24
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
log
x
10
log
10
x
log
10
b
x log
10
b
log b x
Slide 25
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
x
log
10
x
log
10
b
log
10
x log
10
log
10
x log
b
log
10
x
log
10
log
b
log
b
x
b
log b x
x log
b
x
log
10
x
log
10
b
10
b
Slide 26
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
x
log
a
x
log a b
Slide 27
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
log
x
log
a
x
log a b
a
x log a b
log b x
Slide 28
Další vlastnosti logaritmu
Tvrzení:
důkaz:
log
b
x
log
x
a
log a b
log
a
x log a b
log
a
x log
log
a
x
log
log a b
log
b
x
log b x
b
x log a b
b
x
log
a
x
log a b
Slide 29
Vlastnosti logaritmu
Teď chvilku přemýšlejte a pak se ptejte.
Slide 30
Cvičení
Př. 1
Dokažte z definice logaritmické fce., že
log 1 0
pro libovolnou basi.
Slide 31
Cvičení
Př. 1
Dokažte z definice logaritmické fce., že
log 1 0
pro libovolnou basi.
Řešení
log a * a 2 * log a log 1 2 * log 1 log 1 0 .
Slide 32
Cvičení
Př. 2
Spočtěte log
3
9 .
.
Slide 33
Cvičení
Př. 2
Spočtěte log
3
9 .
Řešení
log 3 9 log 3 3 2 log 3 3 2
2
.
Slide 34
Cvičení
Př. 3
Spočtěte log
10
1000 .
Řešení
.
Slide 35
Cvičení
Př. 3
Spočtěte log
10
1000 .
Řešení
log
1000 log
10
10 3 log
10
3
.
10
10 3
Slide 36
Cvičení
Př. 4
Co je to za osu?
0
Řešení
0.1
1
10
100
1000
10000
Slide 37
Cvičení
Př. 5
Co je to za osu?
4
Řešení
8
16
32
64
128
256
Slide 38
Cvičení
Př. 4
Řešení
Co je to za osu?
0 .1
0.5
1
5
10
Slide 39
Cvičení
Př. 6
Dopočtěte tabulku
Log x
x
0
1
2
3
4
Řešení
.
Slide 40
Cvičení
Př. 6
Log x
x
0
1(nezávisí na basi)
1
10
2
100
3
1000
4
10000
.
nebo
Log3 x x
0
1(nezávisí na basi)
1
3
2
9
3
27
4
81
Slide 41
Cvičení
Př. 7
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, ln 5 s přesností na jednu desetinu.
Slide 42
Cvičení
Př. 7
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, ln 5 s přesností na jednu desetinu.
Řešení
Slide 43
Cvičení
Př. 8
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
s přesností na jednu desetinu.
nebo v excelu,
log
4
3
Slide 44
Cvičení
Př. 8
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
s přesností na jednu desetinu.
nebo v excelu,
log
4
3 x
4 3
x
Slide 45
Cvičení
Př. 8
Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, log 4 3 s přesností na jednu desetinu.
Řešení
0 . 75 x 0 . 8
Slide 46
Cvičení
Př. 9
Určete, za pomoci logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, log 4 3 .
Slide 47
Cvičení
Př. 9
Určete, za pomoci logaritmické funkce na kalkulátoru,
nebo v excelu, log 4 3 .
Řešení
log
4
3
ln 3
ln 4
0 . 792
Slide 48
Cvičení
Př. 10
Víte-li, že přirozený logaritmus nějakého čísla je
. jeho dekadický logaritmus, aniž
roven 11.1, určete
byste toto číslo odlogaritmovali.
Slide 49
Cvičení
Př. 10
Víte-li, že přirozený logaritmus nějakého čísla je
. jeho dekadický logaritmus, aniž
roven 11.1, určete
byste toto číslo odlogaritmovali.
Řešení
ln x
log x
log x 11 . 1 log e 4 . 82
log e
nebo
log x
ln x
ln 10
log x
11 . 1
ln 10
4 . 82
Slide 50
Cvičení
Př. 11
.
Převeďte mocninu 10
x
na mocninu Eulerova čísla.
Slide 51
Cvičení
Př. 11
.
Převeďte mocninu 10
x
na mocninu Eulerova čísla.
Řešení
10 e
x
ln 10
x
10 e
x
x ln 10
Slide 52
Cvičení
Př. 12
x
Převeďte mocninu .2
na mocninu 10.
Řešení
2 10
x
log 2
x
2 10
x
x log 2
Slide 53
Cvičení
Př. 13
.
Slide 54
Cvičení
Př. 13
.
Řešení
Ad a)
S S0 A
z u log t u log A
t
S0 A A
z
u log t
t t
u log A
z
S0 A t
A
u log t u log A
t
Ad b) A u log t t u log A 10 u log t log A10 u log A log t 10 2 u log t log A A 2 u log t
Alternativně g A , t t
2 u log A
Slide 55
Cvičení
Př. 13.1 Recenze pro AmNat
.
Slide 56
Cvičení
Př. 14
.
19.
.
Slide 57
Cvičení
Př. 14
.
19.
.
Řešení
,
ln S ln S 0 Ab ln K
, b A , S 0 S a K 1 .
1
.
Slide 58
Cvičení
Př. 15
.
Převeďte mocninu 10
x
na mocninu Eulerova čísla.
Slide 59
Cvičení
Př. 15
.
Převeďte mocninu 10
Řešení
x
na mocninu Eulerova čísla.
Slide 60
Cvičení
dotazy
Slide 61
Co byste si tak mohli pamatovat
1. Funkce bývají ztělesněné vlastnosti.
2. Když nevím co dál, tak dosadím za x
xb
3.
log
b
log b x
x
, nebo
log x
log b
.
x log b b
x
; ono se uvidí.
Slide 62
Logaritmické transformace
aritmetická osa
logaritmická osa
Slide 63
Log transformace
Slide 64
Log transformace
I A
Slide 65
Log transformace
I A
ln I ln ln A
Slide 66
Log transformace
Slide 67
Log transformace
Slide 68
Log transformace
Slide 69
Log transformace
log Species intercept
slope log Area
Slide 70
Log transformace
log Species intercept
Species e
slope log Area
intercept
S CA
Area
z
slope
Slide 71
Log transformace
S CA
S ks
z
S A S 1 Aq
z
q A
1
A
napr
km
2
Slide 72