Transcript VWO D deel 3 H9

vwo D Samenvatting Hoofdstuk 9
Vier vergelijkingen van een lijn
• De vergelijking y = ax + b.
De richtingscoëfficiënt van de lijn is a en
het snijpunt van de lijn met de y-as is (0, b).
• De vergelijking ax + by = c.
Dit is de algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y.
• De assenvergelijking
x y
 1
a b
De lijn snijdt de assen in de punten (a, 0) en (0, b).
• De vergelijking y  y 
A
yB  y A
( x  xA )
xB  x A
De lijn gaat door de punten A(xA, yA) en B(xB, yB).
9.1
Onafhankelijke, strijdige en afhankelijke stelsels
Als de lijnen k: ax + by = c en l: px + qy = r
a b
• elkaar snijden, geldt  en is het bijbehorende stelsel
p q
onafhankelijk
a b c
• evenwijdig zijn en niet samenvallen, geldt   en
p q r
is het bijbehorende stelsel strijdig
a b c
• samenvallen, geldt   en is het bijbehorende
p q r
stelsel afhankelijk.
9.1
opgave 20
rcAC =
p22 p4

p2
p2
rcBC =
p20 p2

p  10
p  10
ACB = 90° geeft rcAC · rcBC = -1
p4 p2

 1
p  2 p  10
p4
 1
p  10
p – 4 = -(p – 10)
p – 4 = -p + 10
2p = 14
p=7
Dus C(7, 5)
9.1
De afstand tussen twee punten
De afstand tussen de punten A(xA, yA) en B(xB, yB) is
y
B(xB, yB)
•
∣yA - yB∣
•C
∟
•
∣xA - xB∣
A(xA, yA)
x
O
d(A, B) =
(x  x )  ( y  y )
2
A
B
A
2
B
9.2
De afstand van een punt tot een lijn
De afstand van het punt P(xP, yP) tot de lijn k: ax + by = c
is d(P, k) =
axP  byP  c
a 2  b2
9.2
opgave 30
P(x, y) op een bissectrice van k en l geeft d(P, k) = d(P, l).
3 x  4 y  12
25

4x  3y  6
25
∣3x – 4y + 12∣ = ∣4x – 3y + 6∣
3x – 4y + 12 = 4x – 3y + 6 ⋁ 3x – 4y + 12 = -(4x – 3y + 6)
-x – y = -6 ⋁ 3x – 4y + 12 = -4x + 3y – 6
x + y = 6 ⋁ 7x – 7y = -18
Dus m: x + y = 6 en n: 7x – 7y = -18
9.2
De notatie x = a + pλ ⋀ y = b + qλ
In de parametervoorstelling k: x = a + pλ ⋀ y = b + qλ
 p
van de lijn k is (a, b) een punt van de lijn en is  
q 
een richtingsvector van de lijn.
Voor elke waarde van λ krijg je een punt van de lijn.
Een normaalvector van een lijn is een vector
die loodrecht op die lijn staat.
a
Een normaalvector nl van de lijn l: ax + by = c is nl =  
b 
9.3
Bewegingen in het platte vlak
Vooral als je te maken hebt met bewegingen in het platte vlak,
is het handig om gebruik te maken van parametervoorstellingen.
Het platte vlak bestaat uit 4 kwadranten
9.3
opgave 42
Stel P(6 + λ, 0),
dan is Q(0, 2 + 2λ).
6 + λ + 0 , 0 + 2 + 2λ
2
2
Het midden M van PQ is
Voor M geldt dus x = 3 +
1
2
= (3 + 12 λ, 1 + λ).
λ ⋀ y = 1 + λ.
M ligt op de lijn met s = 3 en r = 1
2
1
2
Dus n =
en een vergelijking van de lijn is 2x – y = 5.
-1
9.3
De cirkelvergelijking x2 + y2 + ax + by + c = 0
Een vergelijking van een cirkel kan worden geschreven in de vorm
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Door kwadraatafsplitsen is de vergelijking te schrijven in de vorm
(x – xM)2 + (y – yM)2 = r2.
Uit de laatste vergelijking lees je af:
het middelpunt is M(xM, yM) en de straal is r.
9.4
Raaklijnen aan cirkel
•
Raaklijn in punt A(xA, yA) op de cirkel x2 + y2 = r2.
Gebruik de formule xAx + yAy = r2
•
I.
II.
III.
Raaklijn met gegeven richtingscoëfficiënt.
Voor het opstellen van de vergelijking van de raaklijn met een gegeven
richtingscoëfficiënt aan een cirkel zijn er drie methoden.
De discriminant-methode
Met de afstandsformule
Met een loodlijn door M
•
Raaklijnen door punt buiten de cirkel.
9.4
De poollijn van een punt ten opzichte van een cirkel
Raken de lijnen k en l door het punt P(xP, yP) de cirkel
x2 + y2 = r2 in de punten A en B, dan is
• de lijn AB de poollijn van P ten opzichte van de cirkel
• het punt P de pool van de lijn AB ten opzichte van de cirkel
• een vergelijking van de lijn AB: xPx + yPy = r2.
Als de cirkel de vergelijking (x – xM)2 + (y – yM)2 = r2 heeft,
dan is de vergelijking van de poollijn
(xP – xM)(x – xM) + (yP – yM)(y – yM) = r2.
9.5
De macht van een punt ten opzichte van een cirkel
PM 2 – r2 is de macht van het punt P ten opzichte van de cirkel
met middelpunt M en straal r.
De macht van het punt P(xP, yP) ten opzichte van de cirkel
x2 + y2 + ax + by + c = 0 is gelijk aan xP2 + yP2 + axP + byP + c.
9.5
De machtlijn van twee cirkels
De machtlijn van twee niet-concentrische cirkels is de lijn
waarop alle punten liggen die gelijke machten hebben
ten opzichte van beide cirkels.
Van de cirkels c1: x2 + y2 + ax + by + c = 0 en c2 : x2 + y2 + px + qy + r = 0
is de vergelijking van de machtlijn (a – p)x + (b – q)y + c – r = 0.
Bij twee snijdenden cirkels gaat de machtlijn door de snijpunten
van de cirkels.
9.5
opgave 80
AM: y = 14 x en BN: y = -x + 6
Los op
1
4
5
4
x = -x + 6
x=6
x = 245
Dus P( 245 , 65 )
AN: y = x
6
3
6  15
3
5


rcDP =
24
24
8
0
5
3
Dus DP: y =  8 x + 3
x =  83 x + 3
11
x=3
8
24
x = 11
24 24
Dus Q( 11
, 11 )
AC: y = 12 x
DP: y =  83 x + 3
Los op
1
2
7
8
x =  83 x + 3
x=3
24
x= 7
Dus R( 247 , 127 ).
Los op
 24 24 6 24 
 5  11 5  11  192 93
Het midden van PQ is 
,
, )
(
2
2 
55 55



Dus R is niet het midden van PQ.
9.6