Transcript VWO B deel 4 H12

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 12
Omtrekshoeken
Stelling van de constante hoek:
Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt ACB = ADB
Omgekeerde stelling van de constante hoek:
Als punt D aan dezelfde kant van AB ligt als punt C en ADB = ACB, dan
liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB.
12.1
Definitie omtrekshoek en middelpuntshoek:
Als A, B en C op een cirkel liggen met middelpunt M, dan is
ACB een omtrekshoek op de boog AB waar C niet op ligt.
AMB is de bijbehorende middelpuntshoek.
Stelling van de omtrekshoek:
Een omtrekshoek is de helft van de bijbehorende middelpuntshoek.
Stelling boog en koorde:
Bij gelijke bogen horen gelijke koorden.
12.1
De driehoeksongelijkheid
De driehoeksongelijkheid:
Als drie punten A, B en C niet op één lijn liggen, dan geldt AB + BC > AC.
Uit de driehoeksongelijkheid volgt:
Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de beide andere zijden.
12.2
Bewijs uit het ongerijmde
Werkschema: bewijs uit het ongerijmde
1. Formuleer het Gegeven en het Te bewijzen.
2. Veronderstel dat het Te bewijzen niet juist is.
3. Toon aan dat deze veronderstelling leidt tot een tegenspraak.
4. Uit deze tegenspraak volgt dat het Te bewijzen juist is.
Met het bewijs uit het ongerijmde bewijzen we de stelling van een raaklijn
aan een cirkel.
Definitie van raaklijn aan cirkel:
Een raaklijn aan een cirkel is een lijn die precies
één punt gemeenschappelijk heeft met de cirkel.
Stelling van raaklijn aan cirkel:
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht
op de straal naar het raakpunt.
12.2
Hoek tussen koorde en raaklijn
Stelling van de hoek tussen koorde en raaklijn:
De hoek tussen een raaklijn aan een cirkel en een koorde van die cirkel
waarvan een eindpunt het raakpunt is, is even groot als de niet-stompe
omtrekshoek die bij deze koorde hoort.
12.2
Afstand van punt tot gebied
Onder een gebied verstaan we een gedeelte van het vlak waarbij de
rand tot het gebied behoort.
We noteren de afstand van P tot G als d(P, G).
d(P, G) = PQ
Definitie afstand van punt tot gebied:
De afstand van een punt P tot een gebied G is de lengte van het kortste
verbindingslijnstuk tussen P en een punt van G.
Stelling van afstand punt tot lijn:
De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk
vanuit dat punt op die lijn.
12.3
Middelloodlijn, bissectricepaar, middenparallel en cirkel
Een verzameling punten die dezelfde meetkundige eigenschap
hebben heet een meetkundige plaats.
In de volgende opsomming zijn A, B en M punten en zijn k en l lijnen.
De verzameling van de punten P waarvoor geldt
• d(P, A) = d(P, B) is de middelloodlijn van het lijnstuk AB
• d(P, k) = d(P, l) is het bissectricepaar van k en l
als k en l snijdende lijnen zijn
• d(P, k) = d(P, l) is de middenparallel van k en l
als k en l evenwijdige lijnen zijn
• d(P, M) = r is de cirkel met middelpunt M en straal r
12.3
De parabool als meetkundige plaats
Het punt F heet het brandpunt van de parabool
en de lijn l heet de richtlijn van de parabool.
Definitie van de parabool:
Een parabool is de verzameling van alle punten met gelijke afstanden
tot een lijn en een punt dat niet op die lijn ligt.
d(P, F) = d(P, l)
Werkschema: het tekenen van punt P van parabool
met brandpunt F en richtlijn l.
1. Teken een punt V op l.
2. Teken door V de loodlijn k op l.
3. Teken de middelloodlijn m van het lijnstuk FV.
4. Het snijpunt van k en m is het punt P.
12.3