Energía almacenada por un condensador cargado

El proceso de carga de un condensador consiste en el paso de electrones desde la placa de mayor potencial a la de menor potencial, actividad que requiere consumo de energía. Quién realiza este trabajo es la fuente de poder.

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Suponga que el proceso de carga comienza con ambas placas completamente descargadas, en cierta etapa del proceso de carga, la carga en cada placa es q y la d.d.p. es V ab:

V ab



q C

Condensador descargado.

Condensador cargado

El trabajo realizado por la fuente de poder para incrementar en dq, la cantidad de carga en cada placa es:

dW ext



V ab dq

Reeplazando V ab

dW ext

 1

C qdq

El trabajo realizado por la fuente de poder, mientras la carga aumenta desde cero hasta su valor final Q, se obtiene:

W ext

 

dW

 1

C

0 

Q qdq

Cuyo resultado es:

W ext

 1 2

Q

2

C

Recordando que:

U f



U i

 

W

int

Y considerando que U i =0 es la energía almacenada por el condensador cuando está descargado, se obtiene que la energía almacenada, cuando la carga en las placas es Q :

U

 1 2

Q

2

C

Lo cual es quivalente con:

U U

  1 2 2

CV ab

1 2

QV ab

Q dq

La carga almacenada por en cada placa del condensador puede obtenerse de:

Q



CV

Ecuación cuya representación gráfica es una recta La pendiente de la recta es la capacidad El área bajo la curva representa la energía almacenada por el condensador

dU V ab dV

¿Dónde se almacena la energía en el condensador?

Cuando se carga un condensador, se genera en el espacio entre las placas un campo eléctrico. En dicho campo se distribuye la energía potencial eléctrica.

La distribución de energía en el campo se denomina densidad de energía, que operacionalmente se define:

 

dU dv

Energía por unidad de volumen ¿Cómo se relaciona la densidad de energía con el campo eléctrico?

Tomemos como ejemplo el condensador de placas plano paralelas

A

En este condensador el campo eléctrico es uniforme y ocupa un volumen Ad, siendo d la distancia entre las placas y A el área de éstas.

El campo eléctrico es:

E

   0 

Q

 0

A

La capacidad de este condensador es:

C

  0

A d

Y como la energía se distribuye uniformemente en un campo eléctrico uniforme

 

U v

   1 2

Q

2

C

1

Ad

Reemplazando C, y simplificando

  1 2

Q

2  0

A

2

Multiplicando y dividiendo la ecuación por

 0,

se obtiene:

  1 2  0  

Q

 0

A

  2

Reconociendo el término en el paréntesis como el campo eléctrico, se tiene:

  2 1  0

E

2

Esta expresión tiene validez general, cualquiera sea la estructura del campo eléctrico

Ejemplo: Dos conductores esféricos de radios a y b respectivamente tienen cargas Q y –Q. Obtenga la energía potencial eléctrica de este sistema de conductores.

a b

E

 0

r



a



E E

  0

Q

4  0

r

2

r



r

ˆ

b a



r



b

Aplicando Gauss, se sabe que el campo eléctrico está confinado a la región entre los conductores y cumple las siguientes funciones: Reemplazando E, en la ecuación de la densidad de energía:

  2 1  0

E

2   2  

Q

4 0  0 2  2

r

4

a



r



b

Y como la densidad de energía es la energía por unidad de volumen:

U

  

dv volumen

Dado que el campo eléctrico solo depende de r, se puede tomar como elemento de volumen un cascarón esférico de radio r, y espesor dr, tal que:

dv

 4 

r

2

dr

Reemplazando y simplificando:

U



Q

2 8  0

a



b dr r

2

Integrando y evaluando

U



Q

2 (

b



a

) 8  0

ab

En general se estableció que la energía almacenada por un condensador se puede calcular por:

U



Q

2 2

C

Remplazando U, en la ecuación anterior, se obtiene que:

C

 4 

b

 0

ab a

Resultado obtenido desde la definición operacional de C