Transcript Элементы линейной алгебры. Матрицы

Элементы линейной алгебры
1. Матрицы
Матрицы
Матрицей размера mn называется
прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
 a11

 a21
 ....

a
 m1
a12
a22
....
am 2
a1n 

a2 n 
aij ..... 

..... amn 
....
....
Числа aij – элементы
матрицы:
i – номер строки
j – номер столбца.
Обозначения матриц:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...
Матрицы
Матрицей размера mn называется
прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
 a11

 a21
 ....

a
 m1
a12
a22
....
am 2
a1n 

a2 n 
aij ..... 

..... amn 
....
....
Числа aij – элементы
матрицы:
i – номер строки
j – номер столбца.
Обозначения матриц:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...
Матрицы
Матрицей размера mn называется
прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов.
 a11

 a21
 ....

a
 m1
a12
a22
....
am 2
a1n 

a2 n 
aij ..... 

..... amn 
....
....
Числа aij – элементы
матрицы:
i – номер строки
j – номер столбца.
Обозначения матриц:
A, B, C … или (aij), (bij), (cij) ...
Виды матриц. Квадратная матрица (m=n)
 a11

 a 21
A
....

a
 n1
a12
a 22
....
an2
a 1n 

.... a 2 n 

..... .....


..... a nn 
....
Пример 1
 0 1 4

A  
 1 3 0 
111


C   2 2 2
3 3 3 


0
B  
 1
1

3
1 2 3

D  2 0 3
3 3 3






Виды матриц. Диагональная матрица
 a11 0 0

 0 a22 0
0 0 a
B
33
 .... .... .....
 0 0 0

.... 0 

.... 0 
.... 0 

.... .... 

.... a 
nn 
Пример 2
1 0 0 


A  0 2 0 
 0 0  1


0 0 3


B  0 1 0
2 0 0 


Виды матриц. Единичная и нулевая матрицы
Единичная
1

0
E 
....

0

0
1
....
0
.... 0 

.... 0 
..... .....

..... 1 
Нулевая
 0 .... 0 


0   .... .... ....
 0 .... 0 


Виды матриц. Ступенчатая матрица,
матрица-столбец и матрица-строка
Ступенчатая
Матрица-столбец (m1)
     


C   0 0    
0 0 0 0  


 a1 
 
 a2 
A 
....
 
a 
 m
Матрица-строка (1n)
A  a1 a2 .... an 
2. Действия с матрицами
Равенство матриц
Две матрицы
A= (aij) и B=(bij)
называются равными,
если
1) Размеры
матриц
совпадают
2) Соответствующие
элементы матриц
равны:
aij=bij,
i=1,m; j=1,n.
Сумма матриц (1)
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
размера mn называется матрица C=(cij) размера mn,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов матриц A и B
cij  aij  bij , ( i  1 , m ; j  1 , n )
Сумма матриц (2)
Суммой матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
размера mn называется матрица C=(cij) размера mn,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих
элементов матриц A и B
cij  aij  bij , ( i  1 , m ; j  1 , n )
Пример.
 2 3  4 5   2  4 3  5   6 8 
  
  
  

A  B  
  1 0   2 3    1  2 0  3  1 3 
Разность матриц
Разностью матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового
размера mn называется матрица C=(cij) размера mn,
каждый элемент которой равен разности соответствующих
элементов матриц A и B
cij  aij  bij , ( i  1 , m ; j  1 , n )
Пример 3 (1)
Пример.
Найти разность матриц
 4 3
0 2




A    1 0  и B   3  1
 1 2
 2 2




Пример 3 (2)
Пример.
Найти разность матриц
 4 3
0 2




A    1 0  и B   3  1
 1 2
 2 2




 4 3  0 2 

 

A  B   1 0   3 1 
 1 2   2 2

 

Пример 3 (3)
Пример.
Найти разность матриц
 4 3
0 2




A    1 0  и B   3  1
 1 2
 2 2




 4 3  0 2   4  0 3  2 

 
 

A  B   1 0    3 1    1  3 0 1 
 1 2   2 2  1 2 2  2

 
 

Пример 3 (4)
Пример.
Найти разность матриц
 4 3
0 2




A    1 0  и B   3  1
 1 2
 2 2




 4 3  0 2   4  0 3  2   4 1 

 
 
 

A  B    1 0    3  1     1  3 0  1     4 1
 1 2   2 2  1  2 2  2  1 0 

 
 
 

Произведение матрицы на число
Произведением матрицы A=(aij) на число 
называется матрица того же размера,
элементы которой равны aij.
Произведение матрицы на число. Пример
Произведением матрицы A=(aij) на число 
называется матрица того же размера,
элементы которой равны aij.
 2  1

  3 ; A  
3 0 
 2  1  6  3
  

A  3  3  A  3
3 0  9 0 
Свойства суммы матриц и
произведения матрицы на число (1)
Пусть A, B, C ─ матрицы размера mn.
1. Коммутативность суммы матриц
A B  B  A
Свойства суммы матриц и
произведения матрицы на число (2)
2. Ассоциативность суммы матриц
( A  B)  C  A  ( B  C )
Свойства суммы матриц и
произведения матрицы на число (3)
3. Дистрибутивность
  ( A  B)    A    B
  число
Умножение матриц (1)
Произведением матрицы A=(aij)
(размера mp) на матрицу B=(bij)
(размера pn) называется матрица C=(cij)
(размера mn), элементы которой
вычисляются по формулам:
p
cij   aik  bkj  ai1b1 j  ai 2  b2 j    aip  bpj
k 1
i  1, m ;
j  1, n.
Умножение матриц (2)
Умножение
строки на столбец
A  a1 , a2 ,, a p 
 b1 
 
 b2 
B 

 
b 
 p
AB  a1b1  a2b2   a pbp
Умножение матриц (3)
Умножение
строки на столбец
A  a1 , a2 ,, a p 
 b1 
 
 b2 
B 

 
b 
 p
AB  a1b1  a2b2   a pbp
A  2 , 1 , 4
Пример
1 
 
B  0
3
 
AB  2 1  1 0  4  3  14
Умножение матриц (4)
p
cij   aik  bkj  ai1b1 j  ai 2  b2 j    aip  bpj
k 1
i  1, m ;



a
 i1


 
 
 


ai 2  aip 


 


 b1 j
 b2 j

 bpj
j  1, n.
  
 
 

  
  


 cij






 
Пример 4 (1)
Найти произведение матриц
 0 1  2 3

A  
 2 0 0 1
и
 2
 
3 
B 
0
 
 2
 
Пример 4 (2)
Найти произведение матриц
 0 1  2 3

A  
 2 0 0 1
и
 2
 
3 
B 
0
 
 2
 
 0  2  1 3  2  0  3  2 

AB  
 
  
Пример 4 (3)
Найти произведение матриц
 0 1  2 3

A  
 2 0 0 1
и
 2
 
3 
B 
0
 
 2
 
 0  2  1 3  2  0  3  2   9 
   
AB  
  
  
Пример 4 (4)
Найти произведение матриц
 0 1  2 3

A  
 2 0 0 1
и
 2
 
3 
B 
0
 
 2
 
 0  2  1 3  2  0  3  2  
  
AB  
 2  2  0  3  0  0  1 2  
9

6
3. Обратная матрица
Обратная матрица (1)
Пусть дана невырожденная (det A≠0)
квадратная матрица порядка n
 a11 a12 .... a1n 


 a21 a22 .... a2 n 
A
.... .... ..... ..... 


a

 n1 an 2 ..... ann 
Матрица А-1 называется обратной
к матрице А, если выполняются равенства
1
1
A  A  А  А  Е,
Е – единичная матрица.
Обратная матрица (2)
Теорема.
Всякая невырожденная матрица
имеет единственную обратную матрицу.
 А11

1  А12
1
A 

det A ....

А
 1n
Аn1 

А22 .... Аn 2 
.... ..... ..... 

А2 n ..... Аnn 
А21
....
Aij – алгебраическое дополнение элемента aij,
detA – определитель матрицы A.
Обратная матрица. Пример (1)
Найти обратную матрицу к матрице
Пример
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Обратная матрица. Пример (2)
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Пример
det A  1
Решение
Обратная матрица. Пример (3)
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Пример
det A  1
11
A11  (1)
Решение
1 0
 1
01
Обратная матрица. Пример (4)
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Пример
det A  1
11
A11  (1)
Решение
1 0
 1
01
Обратная матрица. Пример (5)
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Пример
det A  1
11
A11  (1)
Решение
1 2
A12  (1)
1 0
 1
01
2 0
 2
11
Обратная матрица. Пример (6)
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Пример
det A  1
11
A11  (1)
Решение
1 2
A12  (1)
1 3
A13  (1)
1 0
 1
01
2 0
 2
11
2 1
1
1 0
Обратная матрица. Пример (7)
Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


Пример
det A  1
11
A11  (1)
Решение
1 2
A12  (1)
1 3
A13  (1)
1 0
 1
01
2 0
 2
11
2 1
1
1 0
 1   

1 
1
A 
   2  
1 

1




Обратная матрица. Пример (8)
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


A21  (1)
21
0 0
0
01
 1   

1 
1
A     2  
1 

1




Обратная матрица. Пример (9)
 1   

1 
1
A     2  
1 

1




1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


A21  (1)
21
A22  (1)
2 2
0 0
0
01
10
1
11
Обратная матрица. Пример (10)
1 0 0


А   2 1 0 
1 0 1


A21  (1)
21
A22  (1)
A23  (1)
2 2
23
0 0
0
01
10
1
11
10
0
10
 1 0  

1 
1
A   2 1  
1 

1
0



Обратная матрица. Пример (11)
Аналогично
Получаем
A31  (1)
31
0 0
0
1 0
A32  (1)
3 2
A33  (1)
33
10
0
2 0
1 0
2 1
 1
 1 0 0   1 0 0 
 

1 
1
A 
   2 1 0    2 1 0
1 
  1 0 1 
1
0

1

 

Окончание лекции