Transcript Модель Кейна

Использование модели Кейна
для расчета
энергетического спектра
полупроводниковых структур
М.С.Жолудев
научные руководители:
д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин
д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко
Содержание
• Введение
• Описание однородных полупроводников
– kp-метод
– модель Кейна
• Учет неоднородностей
– плавное поле
– гетероструктуры
• Примеры расчетов
1. Введение
Введение
гамильтониан электрона в кристалле:
Hˆ ( pˆ ) 
ˆp 2
 V (r ) 
2me
V (r  R )  V (r )

2
e
4m c
2
 V ( r )  pˆ   σ
R – вектор прямой решетки
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
Hˆ ( pˆ ) 
ˆp 2

 V (r ) 
2me
V (r  R )  V (r )
2
e
4m c
2
 V ( r )  pˆ   σ
R – вектор прямой решетки
собственная функция:  n , k ( r )  e u n , k ( r ),
i kr
k  1
медленная
огибающая
быстро осциллирующая
периодическая часть
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
Hˆ ( pˆ ) 
ˆp 2

 V (r ) 
2me
V (r  R )  V (r )
2
e
4m c
2
 V ( r )  pˆ   σ
R – вектор прямой решетки
собственная функция:  n , k ( r )  e u n , k ( r ),
i kr
уравнение для
блоховских функций:
 Hˆ ( pˆ   k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
k  1
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
Hˆ ( pˆ ) 
ˆp 2

 V (r ) 
2me
V (r  R )  V (r )
2
e
4m c
2
 V ( r )  pˆ   σ
R – вектор прямой решетки
собственная функция:  n , k ( r )  e u n , k ( r ),
i kr
уравнение для
блоховских функций:
 Hˆ ( pˆ   k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
k  1
… и его решения:
E 1 ( k ),  , E n ( k ), 
u 1,k ( r ),  , u n ,k ( r ), 
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
Hˆ ( pˆ ) 
ˆp 2

 V (r ) 
2me
V (r  R )  V (r )
2
e
4m c
2
 V ( r )  pˆ   σ
R – вектор прямой решетки
собственная функция:  n , k ( r )  e u n , k ( r ),
i kr
уравнение для
блоховских функций:
 Hˆ ( pˆ   k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
k  1
частично можем получить
…изиэксперимента
его решения:
E 1 ( k ),  , E n ( k ), 
u 1,k ( r ),  , u n ,k ( r ), 
Выводы
• Нельзя вычислить зонную структуру
непосредственно решая уравнение
Шредингера, т.к. периодический потенциал
неизвестен
• Часть информации о зонной структуре
можно получить из эксперимента, а
остальное «достроить» с помощью
приближенных методов
2. kp-метод
kp-гамильтониан
 Hˆ ( pˆ   k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
2
pˆ
Hˆ ( pˆ   k ) 

2me


2
e
4m c
2
 k  pˆ
me
2

 k
2
 V (r ) 
2me
 V ( r )  pˆ   σ 

2
2
e
4m c
2
 V ( r )  k   σ
kp-гамильтониан
 Hˆ ( pˆ   k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
Hˆ ( pˆ   k )  Hˆ ( pˆ ) 
 k  pˆ
me
2

 k
2
2me
Базис блоховских функций

ˆ  2k 2

k

p
 Hˆ ( pˆ ) 


me
2me


 u n ,k  E n ( k ) u n ,k


Базис блоховских функций

ˆ  2k 2

k

p
 Hˆ ( pˆ ) 


me
2me

 c ,k ( r )  e
i kr

 u n ,k  E n ( k ) u n ,k


u c ,k ( r )
Базис блоховских функций

ˆ  2k 2

k

p
 Hˆ ( pˆ ) 


me
2me

 c ,k ( r )  e
i kr

 u n ,k  E n ( k ) u n ,k


u c ,k ( r )
Базис для периодических функций:
u n , k ( r ),
n  1, 2 , 
По нему можно разложить любую
периодическую функцию
Базис Кона-Латтинжера
Hˆ ( pˆ ) u n , 0  E n ( 0 ) u n , 0
k  0 – в точке с высокой симметрией
знаем о функциях больше
 c ,k ( r )  e
i kr
u c ,k ( r )
Базис для периодических функций:
u n , 0 ( r ),
n  1, 2 , 
По нему можно разложить любую
периодическую функцию
Базис Кона-Латтинжера
Hˆ ( pˆ ) u n , 0  E n ( 0 ) u n , 0
k  0 – в точке с высокой симметрией
знаем о функциях больше
 c ,k ( r )  e
i kr
u c ,k ( r )
Базис для периодических функций:
n  1, 2 , 
u n , 0 ( r ),
По нему можно разложить любую
периодическую функцию:
u c ,k ( r ) 
C
n
n
u n ,0 (r )
Базис Кона-Латтинжера
Hˆ ( pˆ ) u n , 0  E n ( 0 ) u n , 0
k  0 – в точке с высокой симметрией
знаем о функциях больше
 c ,k ( r ) 
 Cn e
i kr
u n ,0 (r )
n
Базис для периодических функций:
u n , 0 ( r ),
n  1, 2 , 
Базис Кона-Латтинжера:
e
i kr
u n , 0 ( r ),
n  1, 2 , 
k  1
Теория возмущений
возмущение
 c ,k ( r )  e u c , 0 ( r )   C n e u n , 0 ( r )
i kr
(1 )
nc
возмущение
i kr
Теория возмущений

ˆ  2k 2

k

p
 Hˆ ( pˆ ) 


me
2me

 c ,k ( r )  e
(0)
i kr
u c ,0 (r )
2-й порядок
E
(1 )
c
(k ) 

nc
E c (k )  E c ( 0 )
(0)

 u n ,k  E n ( k ) u n ,k


1-й порядок
u c , 0 k  pˆ u n , 0
E c (0)  E n (0)
2
2

 k
2
2me
Теория возмущений

ˆ  2k 2

k

p
 Hˆ ( pˆ ) 


me
2me

 c ,k ( r )  e
(0)
i kr

 u n ,k  E n ( k ) u n ,k


u c ,0 (r )
1-й порядок
2-й порядок
E
(1 )
c
(k ) 

nc
E c (k )  E c ( 0 )
(0)
u c , 0 k  pˆ u n , 0
2
E c (0)  E n (0)
2

 k
2
2me
или
E c (k )  E c ( 0 ) 

2
2
k m
T
1
k
зона проводимости
всегда получается параболической
kp-метод
• Зависимость энергии от k рассматривается
как возмущение, вызванное влиянием
других зон
• Эта зависимость аппроксимируется
некоторой функцией, параметры которой
извлекают из экспериментальных
результатов.
• Невырожденная зона всегда получается
параболической
3. Модель Кейна
Evan O. Kane,
“Band structure of indium antimonide”,
J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957)
Модель Кейна
возмущение
 c ,k ( r )  e u c , 0 ( r )   C n e u n , 0 ( r )
i kr
(1 )
nc
возмущение
i kr
Модель Кейна
возмущение
 c ,k ( r )  e
i kr
 Ci
(0)
u i , 0 (r )  e
i
возмущение
i kr
 C n u n ,0 (r )
(1 )
ni
Модель Кейна
возмущение
i  c , c
 c ,k ( r )  e
i kr
 Ci
(0)
u i , 0 (r )  e
i
i  hh  , hh 
i  lh  , lh 
i  sh  , sh 
возмущение
i kr
 C n u n ,0 (r )
(1 )
ni
Гамильтониан Кейна – матрица
Векторная запись волновой функции:   e
где
 u1 (r ) 


u  
 u (r ) 
 8

i kr
T
u ψ
 C1 


ψ   
C 
 8
Уравнение Шредингера:
Hˆ   E 
T
T
ˆ
ˆ
H (p   k ) u ψ  E u ψ
T
u Hˆ ( pˆ   k ) u ψ  E ψ
H (k ) ψ  E ψ
Гамильтониан Кейна
возмущение
Hˆ ( pˆ ) 
 k  pˆ
me
2

 k
 k  pˆ
me
2
2me
возмущение
 k  pˆ
me
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H 
энергия
в Г-точке
c
c
c
hh 
lh 
c
hh 
lh 
Ec
Ec
Ev
Ev
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
энергия
в Г-точке
H 
+
c
c
2
c
Ec 
взаимодействие
базисных
функций
 k
2

2me
hh 
lh 
Ec 

1
2
2
3
1
2
2
c
 k

6
1
6
2me
Ev 

3
2
Pk 
Pk z
2
Pk 
2
1
lh 
hh 
 k
Pk z
Pk 
2
2me
2
Pk 
Ev 
 k
2
2me
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
энергия
в Г-точке
H 
+
c
2
c
Ec 
 k
взаимодействие
базисных
функций
c


2me
c
hh 
lh 
Ec 

1
2
2
3
1
2
2
2
Pk 
3


Ev 
1
6
1
6
2me
Pk 

lh 
2
2
Pk z
возмущение
hh 
2
 k
+
 k
Pk 
2


2me
2
Pk 
Pk z

Ev 
 k
2
2me

Гамильтониан Кейна
c
c
c

T
1
2
c
lh 
hh 
2
Pk 
3
1
Pk z
1

T
hh 
1
2
2
lh 
3
1
lh 
6
U V
Pk 
Pk z
1

6
2
Pk 
3
Pk z
1
hh 
sh 
sh 

1
3
1
3
Pk z
Pk 
1

3
1
3
R
1
Pk z
Pk z
sh 
1

Pk 
3
1
Pk 
2
1

3
R
sh 
1
Pk z 
S
*
Pk 
3
1
Pk 
1
Pk z
3

2R

2
2
R
U V
S
2V
*

2
S
S
3

2V
3
S
2R
*

2
S
3
*

2
3
S

1
U V
S
2V
2

3
*
*
R
Pk 
2
hh 
U V
Pk 
2

S
S
Pk 
6
Pk 
6

lh 
*
2R
1
2V
2
2R
2
U 
*
S
S
*
U 
*
Гамильтониан Кейна
c
c
c

T
hh 
1
2
c
1
2
2
lh 
3
1
lh 
6
Pk z
1
3
Pk z
1
hh 
sh 
sh 

1
3
1
3
Pk z
Pk 
1

3
1
3
1
6
2
Pk 
hh 
Pk z
sh 
1

Pk 
3
1
Pk 
1

sh 
1
Pk z 
R
1
1
Pk z
*

2R
R

2
S
2V
*

2
S
S
3

2V
3
S
2R
*

2
S
3
*

2
3
S

1
U V
S
2V
2

S
Pk z
3
2
U V
*
R
Pk 
R
Pk 
3
Pk 
1
*
U V
Pk 
2

1
Pk z
S
S
Pk 
6
2
lh 
Гамильтониан
3 Кона-Латтинжера
2
3
6
U V
Pk 
3

Pk 

2
Pk 
T

lh 
hh 
*
2R
1
2V
2
2R
2
U 
*
S
S
*
U 
*
Гамильтониан Кейна
c
c
c

T
1
2
c
lh 
hh 
2
Pk 
3

T
1
Pk z
1
hh 
1
2
2
lh 
3
1
lh 
6
Pk 
Pk z
1

Pk 
6
2
Pk 
3
hh 
sh 
sh 

3
1
3
Pk z
Pk 
3
1

Pk 
Pk z
sh 
3
1
Pk 
2
1

3
Точный
учет
взаимодействия
U V
S
R
зоны проводимости
и валентной
зоны R
S
U V
Pk z
1

3
1
3
R
U V
*
R
1
Pk 
Pk z
S
2R
*
*
1
Pk z 
S
*
Pk 
3
1
Pk 
1
Pk z
3

2R

2
2
2V

2
S
S
3

2V

2
S
3
*

2
3
S

1
U V
S
2V
2

S
sh 
3
Pk 
2
1
2
hh 
*
1

6
Pk 
6

lh 
*
2R
1
2V
2
2R
2
U 
*
S
S
*
U 
*
Модель Кейна
• Явно учитывает несколько зон, которые
имеют разную энергию даже в нулевом
приближении
• Взаимодействие между этими зонами
входит в гамильтониан точно
• Поправки к энергии, связанные с влиянием
далеких зон рассматриваются как
возмущение
• Модель учитывает непараболичность зоны
проводимости
kp-метод
для зоны проводимости
модель Кейна
базис – одна функция
базис – 8 функций
периодическая часть ψ
не зависит от k
периодическя часть ψ
зависит от k
непосредственного
взаимодействия между
базисными функциями
нет
непосредственное
взаимодействие между
базисными функциями
учитывается точно
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
зона проводимости
параболическая
зона проводимости
непараболическая
валентная зона
не рассматривается
валентная зона
учитывается 3 зоны
kp-метод
для валентной зоны
модель Кейна
базис – 4 или 6 функций
базис – 8 функций
периодическая часть ψ
зависит от k
периодическя часть ψ
зависит от k
непосредственного
взаимодействия между
базисными функциями
нет
непосредственное
взаимодействие между
базисными функциями
учитывается точно
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
зона проводимости
не рассматривается
зона проводимости
непараболическая
валентная зона
учитывается 2 или 3 зоны
валентная зона
учитывается 3 зоны
4. Неоднородные системы
Плавный потенциал
Hˆ ( pˆ ) 
2
pˆ
 V (r )  U (r )
2me
V (r  R )  V (r )
Плавный потенциал можно разложить
по плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна:
i kr ~
U (r )   e U (k )
k  1
Кулоновский потенциал мелкой примеси
является плавным вдали от центра
Плавный потенциал
 1 (r ) 


ψ (r )    
 ( r ) 
 8

 C1 


i kr
i kr
e ψ e   
C 
 8
огибающие – плавные функции:
 i (r ) 
e
i kr
C i (k )
k  1
H (k ) ψ  E ψ
H (  i  )  I U ( r ) ψ ( r ) 
E ψ (r )
J. M. Luttinger and W. Kohn,
“Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields”,
Phys. Rev. 97, 869 (1955)
Гетероструктура
• Блоховские функции материалов,
образующих структуру, отличаются
• Потенциал, нарушающий периодичность,
не является плавным
Кусочно-гладкое решение
Материал A
Материал B
1. Находим огибающие для каждой однородной области
A
A
H (k ) ψ
A
 Eψ
A
B
B
H (k ) ψ
B
 Eψ
B
2. Сшиваем решения на границах
правильно – сшивать полные волновые функции:
exp( i k
A
r ) u
0
A
(r ) 
T
0
ψ
A

exp( i k
B
r ) u
0
B
(r ) 
T
0
ψ
B
граничные условия:
непрерывность полной волновой функции и ее производной
Кусочно-гладкое решение
Материал A
Материал B
1. Находим огибающие для каждой однородной области
A
A
H (k ) ψ
A
 Eψ
A
B
B
H (k ) ψ
B
 Eψ
2. Сшиваем решения на границах
приходится сшивать огибающие
A
exp( i k r0 ) ψ
A

B
exp( i k r0 ) ψ
B
граничные условия – основная проблема
B
Опорный кристалл
B
V (r )
A
V (r )
Опорный кристалл
B
V (r )
0
V (r )
A
V (r )
0
Hˆ ( pˆ ) 
ˆp 2
 V (r ) 
0
2me

2
e
4m c
2
 V
0

( r )  pˆ  σ
V (r  R )  V (r )
0
0
Опорный потенциал V0 является периодическим для всей структуры.
Его блоховские функции – базис, по которому раскаладывается
волновая функция электрона.
Опорный кристалл
 V (r )
 V (r )
B
V (r )
0
V (r )
A
V (r )
Hˆ ( pˆ ) 
2
pˆ

 V (r ) 
0
2me
4m c

  V (r ) 
2
e
4m c
V (r  R )  V (r )
0
2
e
0
2
2
 V
0

( r )  pˆ  σ 
  V ( r )  pˆ   σ
возмущение
Разложение волновой функции
Блоховские функции опорного потенциала
одинаковы для всей структуры
 u 10 ( r ) 


u  
 0

 u 8 (r ) 
M. G. Burt,
“The justification for applying the effective-mass
approximation to microstructures”,
J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992)
Разложение волновой функции
Блоховские функции опорного потенциала
одинаковы для всей структуры
Волновая функция имеет тот же вид,
что и в случае плавного потенциала:
 1 (r ) 


ψ (r )    
 ( r ) 
 8

 i (r ) 
e
k  1
i kr
C i (k )
 u 10 ( r ) 


u  
 0

 u 8 (r ) 
Разложение волновой функции
Блоховские функции опорного потенциала
одинаковы для всей структуры
 u 10 ( r ) 


u  
 0

 u 8 (r ) 
Волновая функция имеет тот же вид,
что и в случае плавного потенциала:
 1 (r ) 


ψ (r )    
 ( r ) 
 8

 i (r ) 
e
i kr
C i (k )
k  1
Уравнение Шредингера
записывается для всей структуры
H (  i ) ψ (r )  E ψ (r )
Полный гамильтониан
H (  i ) ψ (r )  E ψ (r )
Вместо волнового вектора используется
дифференциальный оператор.
Он не коммутирует с эффективной массой,
которая зависит от координат.
Граничные условия для огибающей
содержатся в гамильтониане.
Полный гамильтониан
H (  i ) ψ (r )  E ψ (r )
Явный вид гамильтониана неизвестен,
поэтому используются простые модели:

2
2

 i  
1
*
m (z)
 i  
2
2m
2
*
kz

2
2
m ( z )   i  m ( z )   i  m ( z ),

2     1


Расчет для неоднородной системы
• В случае плавного потенциала достаточно
перейти от алгебраический уравнений к
дифференциальным заменой k на  i 
• В гетероструктуре нет общего базиса
блоховских функций
Кусочно-гладкое решение
• Можно решать уравнение отдельно для
каждого материала
• Граничные условия неизвестны как и
блоховские функции
• Граничные условия нужно выбирать исходя
из каких-нибудь дополнительных
соображений
Опорный кристалл
• Можно выбрать опорный кристалл и
использовать его блоховские функции,
рассматривая различия материалов как
возмущение
• Гамильтониан описывает всю структуру и не
нужно сшивать решения на границах
• Правильный гамильтониан неизвестен, и
потому используются различные модели
(эквивалентно выбору граничных условий)
Гетероструктура
• Блоховские функции материалов,
образующих структуру, отличаются
• Потенциал, нарушающий периодичность,
не является плавным
• Это существенно для узких ям высокого
качества (например GaAs/AlAs)
5. Примеры расчетов
Уровни энергии в квантовой яме
HgTe/CdTe
1-я подзона
зоны проводимости
1-я валентная подзона
2-я валентная подзона
3-я валентная подзона
Энергия при k=0, мэВ
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
40
50
60
70
80
90
100
110
Ширина квантовой ямы, Å
120
Зонная структура КЯ
Hg0.86Cd0.14Te/Cd0.7Hg0.3Te
40
20
Energy, meV
0
-20
E(-3)
E(-2)
E(-1)
E(0)
E(1)
-40
-60
-80
-100
0,000
0,005
0,010
0,015
-1
k, Angstrom
0,020
Методы расчета зонной
структуры квантовых ям
трансфер-матрица
Кусочно-гладкое решение
матрица рассеяния
Полный гамильтониан
разложение по полному
ортонормированному
базису
трансфер-матрица
матрица рассеяния
связывает амплитуды огибающих
связывает амплитуды огибающих
для решений,
на правой и левой границе
распространяющихся внутрь
структуры
структуры и наружу
используется умножение матриц
используется умножение и
обращение матриц
метод неустойчив
метод устойчив
Применение различных методов
дискретный
спектр
непрерывный
спектр
метод матрицы
рассеяния
требует поиска нулей
функции
позволяет найти
решение с любой
наперед заданной
энергией
разложение по
полному базису
дает сразу
все уровни
всегда получается
дискретный спектр
Другие пути
• Разложение по большому числу зон
без kp-возмущения
(гамильтониан 14x14, 20x20, … иногда 8x8)
• Разложение по блоховским функциям
нескольких точек Γ, X, L, …
• Учет поправок, связанных с резким
потенциалом
• Расчеты из первых принципов – попытка
подобрать вид периодического потенциала