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Chapter 3 光学传递函数
3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数
3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律
3.3 衍射受限系统的相干传递函数
3.4 衍射受限非相干成像系统的传递函数
3.5有像差系统的传递函数
3.6相干与非相干成像系统的比较
星点法
几何光学空域分析
成像质量 分辨率法
信息光学频域分析传递函数
传递函数：把输入信息分解成各种空间频率分量，考
察这些空频分量在通过光学系统的传递过程中，丢
失，衰减，相位移动等特性，即空间频率传递特性 。
3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数
衍射受限系统：在无象差条件下，系统的成像只受衍射限制。
已知物面分布
成像系统
像面分布（复振幅分布和光强分布)
相干叠加（相干光照明）
小面元叠加
（加权函
成像系统
数）
加权d函数
d( x - x0 , y - y0 )
非相干叠加，即强度叠
加（非相干光照的）
点扩散函数（脉冲
响应）
h( x0 , y0 ; xi , yi )
一、
透镜的点扩散函数
假定紧靠物体后的复振幅分布
为
1 1 1
+=
d0 di
f
U 0 ( x,0 y 0 )
( x0, y0)点d( x0 - x
0 , y0 - y0 )
透镜前表面
Frenel diffraction
2d
2
(
x
x
0
)
+( y - y0 )2
exp(
jkd
0)
d函数性质
=
exp jk
jld0
2d0
( x
0 , y0 )
任意且略去常数相位
2
2
(
x
x
0
)
+(
y
y
0)
1
dU1 ( x0, y 0 ; x, y) =
exp jk
jld0
2d0
透镜后面（相位变换）
观察面上
x2 +y 2
2 f
h( x0 , y0 ; xi , yi ) Freneldiffraction
x2 +y 2
exp( jkdi )
jldi -dU1 P( x, y) exp(- jk 2 f
( xi - x)2 +( yi - y)2
]dxdy
gexp[ jk
2di
)
h ( x 0, y 0; x i, y i) =
e x p ( jk d i )
j ld i
x 2 +y 2
)
d U 1 P ( x , y ) e x p ( - jk
2f
-
( x i - x ) 2 +( y i - y ) 2
]dxdy
g e x p [ jk
2di
( x - x0 )2 +( y - y0 )2
dU1 ( x0 , y0 ; x, y) =
exp jk
jld0
2d0
1
x0 2+y0 2
xi2 +yi 2
1
=2
exp jk
÷
ld0 di exp jk 2di
2d0
k 1
1 1 2 2 xi x0 yi y0
+
÷
(
x
+y
)exp
- jk +÷ x ++÷ y dxdy
P( x, y) exp j
-2 d 0
di f d
i
d0 di d0
+=
d i
d0
1
=
l2 d 0 d
-
i
e x p jk
f
x i 2 +y i 2
x 0 +y0 2
÷
÷exp jk
2d0
2 d i
2
x i
P ( x , y ) e x p - jk
d
i
+
d0
x 0 y i
÷ x ++÷ y d x d y
d i
d 0
h ( x 0, y 0; x i, y i) =
x i 2 +y i 2
1
x 0 2 +y 0 2
÷
÷exp jk
e x p jk
l2 d 0 d i
2d0
2 d i
x i
x 0 y i
+
÷ x ++÷ y d x d y
P ( x , y ) e x p - jk
-d
i
d 0 d i
d 0
y 0
xi +yi 2
) 略去，原因：不影响探测强度
2di
2
简化：①将 exp( jk
像物
M =- di
d0
2 2
2 k xi +yi 2
k
exp j
( x0 +y0 )exp j
÷
2d0
M2
2d0
x x0 yi y0
1
h(x0, y0; x,i iy ) =2
P(x, y)expjk di +d0 ÷ x +di +d0 ÷ yd
ld0di -
h( x0, y 0 ; x,i
1
iy ) =2
ld0 di
xi x0 yi
y0
-
P( x, y) exp
- jk di +d0 ÷ x +di +d0 ÷ y dxdy
M =- di
d0
1
h( x0 , y0 ; xi , yi ) =2
ld0 di
2p
-P( x, y) exp - j ldi ( xi - Mx0 ) x +( yi - My0 ) y dx
=2
P(x, y)exp- j
(x i
yi -% y0 ) ydxdy
2p
1
h(xi -x% 0, yi -% y0 ) =2
ld0di -P(x, y)exp- j ldi [(xi - x%0 )x +(yi - y%0 )y]
- y% )y]dx
h(xi -%x0, iy -0 y% ) =1
- j 2pi[(x0 - x% )x
i +(y
0
2
ld0di -P(x, y)exp
ld i
结论：
①在近轴成像条件下，空不变系统。
②透镜的脉冲响应等于透镜孔径的夫朗和费衍射图样，中
心位于理想像点 ( x% 0 , %y0 ) 处。
③透镜孔径的衍射作用明显与否，则由孔径线度相
对于l和di的比例的决定。
x
y
, y% =
令
x% =
ld i 代入，得
ldi
h( xi - x%0 , yi - y%0 ) =MP (li d x%,i ld y%
-
0)%
y ]}
)exp {-i j 2p
+(
y% %dxdy
0 [( x -1 x%-)yx%
讨论：当孔径大小>>ldi，在无限大区域内P( )=1
h( xi - %x0 , yi -% y0 ) =M
i
-
0
i
0
%
二、衍射受限系统的点扩散函数
成像系统（透镜组）：正透镜、负透镜、光阑，转向棱镜等
孔径光阑：系统对光束大小的限制由系统孔径光阑决定。
入射光瞳：孔径光阑（透镜组中的某一元件）经前面光学元
件成的像。
出射光瞳：孔径光阑（透镜组中的某一元件）经后面光学元
件成的像。
①入瞳和出瞳保持物像共轭关系。
②由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通过系统，成为被
出射光瞳所限制的像方光束。
1 成像系统的黑箱模型
物平面
菲涅尔衍射
入瞳平面
出瞳平面
黑箱模型
像平面
菲涅尔衍射
二、分类
衍射受限系统：物面上任一点源发出的发散球面波投
射到入瞳被变换为出瞳上的会聚球面波。
有像差系统：偏离理想球面波。
2、衍射受限系统的点扩散函数
2p
[]0
0
ldi
① P(x,y): 出瞳函数（光瞳函数），在光瞳内为1，其余为
0。
-
②若略去k，脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射图样
，中心在( M x0 , My0， )
x
y
0
0
0
=My
0,
;x, y =%Mx y
ldi
ldi
x=
20
0
(
,
)
2
(
,
)i
i
i
-
③若x>>ldi， y>>ldi
% %dxdy
gexp {- j 2p[( xi %- x%0 ) x +( yi%- y%0 ) y]}
h( xi - x% 0 , yi - %y0 ) =k l2 di 2d( x%i - x0 , y%i - y0 )
即忽略衍射，理想成像
3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律
物分布
像分布（复振幅分布和光强分布)）
合成
d函数的线
性叠加
相干叠加（相干光照明）
h( xi - x%0 , yi - y%0 )
物的复振幅分布
U 0 ( x0 , y0 ) =U0 (a, b)d( x0 - a, y0 - b)dad b
-
d函数的线性叠加
一、像的复振幅分布
U i ( xi , yi ) =L {U 0 ( x0 , y0 )}
- a, y
-
（线性系统理论） =
U
0
(a, b)L {d( x0 - a, y0 - b)}dad b
-
- M a,
=0
-
1
x0 y0
=
,
dy
M 2 -U 0 ( M M )h( xi - x%0 , yi - y%0 )dx%0
0
%
讨论：
①
②
% %
U 0 ( x0 , y0 )
M M
：
U 0 ( x0 , y0 ) 的理想成像
1
h%( xi - x%0 , yi - y%0 ) = 2 2 h( xi - x%0 , yi - y%0 ) 代入
k ldi
k l2 di 2
x%0 , y%0 )h(
% xi -%x0 , yi -% y0 )dx
% %0 dy0
U i ( xi , yi ) =
U
0(
M 2 -
M M
=dy%
-
=U g ( xi , yi ) *% h( xi , yi )
三点结论
a. 物理意义：物通过衍射受限系统后的像
分布是物的理想像和点扩散函数的卷积。
b. 特点：线性空不变系统
2
c. 强度分布
Ii ( xi , yi ) =U i ( xi , yi )
二、衍射受限系统的点扩散函数与光瞳函数关系
h%( xi - x%0 , yi - y%0 )
=
2
2
-
=i
i
i
0
i
0
-
=F {P(ldi x,% ldi %y)}
h%( xi , yi ) =P(ld%i x, ld% i y) exp {- j 2p% ( xi x%+yi y)
% %}dxdy
-
=F {P(ldi x,% ldi %y)}
空不变：用 ( x%0 =0, y%0 =0) 的脉冲响应表示成像系统性质
在相干照明条件下，对于衍射受限系统脉冲响应仅取决于系统
光瞳函数 ，
3.3 衍射受限系统的相干传递函数
空域
% xi , yi )
h(
频域
H (x,h)
Coherent Transformation Function（CTF）
一、 CTF
U i ( xi , yi ) =U g ( xi , yi )%* h( xi , yi )
空域
=
U
g
(%x0%, y0%)h( xi%- x0 , y%i - y%0 )dx
% 0 dy0
-
频域：输入频谱
输出
Ggc (x,h) =F{U g%( x0%, y0 )}
Gic (x,h) =F{U i ( xi , yi )}
CTF
{
H (x,h) =F % h( xi , yi )
}
=F{F[ P(ld%i x, l%di y)]}
=P(-ldix, -ldih)
=P(ldix, ldih)
CTF=光瞳函数 ( x , y )
1
P =
0
(ldix, ldih)
光瞳内
光瞳外
在光瞳内1表明该频率通过，0表明该频率完全不能通过。
允许一定空间频率范围内的光波无衰减通过，即频域内存在
一个有限通频带。
结论：
①衍射受限系统是一个低通滤波器，存在一截止频率，rc 由光瞳
尺寸决定。
②理想成像，不考虑孔径大小， H
(x,h)=1
相干传递函数与光瞳函数等价性理解：
不同域的不同表示方法，问题实质相同。
CTF是在频率域内表征光学系统对平面谐波的传递能力，而光
瞳函数是在空间域内描写该成像系统对球面波的限制作用，凡
是能通过出瞳的光波才有可能到达像面综合为像的振幅分布。
例1 设衍射受限系统的出射光瞳为一直径为D的圆，
试计算该系统的相干传递函数及截止频率
例2 设衍射受限系统的出射光瞳为正方形，边长为L,
计算该系统的相干传递函数及沿x和y方向的截止频
率
，
例3 改变一维理想透镜的光瞳函数，使它的振幅透过
率从中心到边缘线性地从1减小到0,求这种透镜的相
干传递函数及截止频率
3.4 衍射受限非相干成像系统的
传递函数
非相干照明处理
物分布
像强度分布
d函数线性叠加
h%( xi - x%0 , yi - y%0 )
叠加
%h 2
非相干成像系统是强度的线性系统，若成像系统是空不变
的，则非相干成像系统是强度的线性空不变系统
一、光学传递函数（OTF）
% 0 dy0
Ii ( xi , yi ) =k I g%( x0% , y0 )hI ( xi% - x0 , y%i - y%0 )dx
-
像强度分布
=kI g ( xi , xi ) * hI ( xi , yi )
理想像强度分布
强度脉冲响应、点扩散函数
系统成像特性由
hI 决定
2
% xi , yi )
hI ( xi , yi ) =h(
2. 频域：
( , )
归一化频谱
：
( , )
( , )i
[]
(
xh
( , ) iG
-
( , )i xh==G
(0, 0)iG
g
2 ( dy
, ) exp
( , )i
i
i
i
i
-
( , )gG xh
=
( , )g xh=G
(0, 0)gG
、
[](
-
( , g)i
i
( , I) exp[
2 (
i i
( , )IH xh-
( , )xh==H
(0, 0)IH
)]h xi y
h ( x , y )dx dy
-
i
2 (
i
i
i
i
I x y dx dy
, ) exp
I
)i
G
dy
I x y dx
i
-
。
I
i
i
i
i
j
x
y
优点（采用归一化频谱的原因）：
①归一代频谱最大值为1，使定量分析有统一基准，给数学处
理带来方便
②图像清晰与否取决于对度的高低，即像所携带的信息与
定常背景的对比。
(0, 0)
(0, (0,
0) H
0)i
g
Gi (x,h) =Gg (x,h)H (x,h)
非相干成像系统的光学传递函数OTF
I
G
Gi (x,h) =G
i (x,h) exp[iji (x,h)]
Gg (x,h) =Gg (x,h) exp[ijg (x,h)]
=M (x,h) exp[ jj(x,h)]
MTF（调制传递函数）
PTF（相位传递函数）
H I (x,h) Gi (x,h)
( , )M xh==
H I (0, 0) Gg (x,h)
( , )
( , )
( , )jxhjxhjxh
i
i
g
MTF：系统对各频率分量对比度的传递特性
PTF：系统对各频率分量施加的相移
3. 讨论：
Ii , I g , hI 非负实函数 其FT是厄米函数
Gi ,Gg , H
厄米函数
余弦函数是这种系统的本征函数
①强度余弦分量在经过系统后仍为同频率的余弦输出
Iimax - Iinin
Vi =
Ii max +Iinin
理想象的调制度
Vg =
I g max - I g max
I g max +I g max
物的调制度
② 对比度和相位的变化取决于系统传递函数中的模和幅角。
=M (x,h)V
二、OTF与CTF的关系
OTF : H (x,h) 非相干照明
同系统
H (x,h) = H I (x,h)=
H I (0, 0)
2
F{hI ( xi , yi )}
=
F{ %h(i x ,i y ) }
h ( x , y )dx dy
I
-
H (x,h) H (x,h)
=
=
2
H (a, b) dad b
i
i
i
%h( x , y ) 2 dx dy
i
i
i
i
i
-
H *(a, b) H (x+a,h+b)dad b
-
-
H (a, b) dad b
2
-
结论：同一系统OTF等于CTF的自相关归一化函数。
有、无像差的系统都成立。
三、衍射受限系统的OTF
CTF：
H (x,h) =P(ldix, ldih)
P(ld a, ld b) P[(ld (x+a), ld (h+b))]dad b
i
-
i
i
i
2
i
i
-
i
i
-
P( x, y)dxdy
-
讨论： ①OTF是光瞳函数的自相关归一化函数
②几何解释
S (x,h)
衍射受限系统OTF的一些性质
① H (x,h)
非负实函数，只有MTF，无PTF
② H (0, 0) =1
③ H (x,h) H (0, 0)
④ 截止频率的概念
例1 衍射受限系统的出瞳直径为D的圆，求OTF及截止频率
例2 衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长l的正方形，求OTF。
例1 衍射受限系统的出瞳直径为D的圆，求OTF及截止频率
例2 衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长l的正方形，求OTF。
比较一下在截止频率以内CTF和OTF的性质（对锐边的响应性质）
3.5 有像差系统的传递函数
无象差光学成像系统的光瞳函数取1或0
H (x,h) =P(ldix, ldih)
H (x,h)
非负实函数，无相移。
实际光学成像系统存在象差，使出瞳的实际波前偏离理想
球面波前，位相偏差引起，光瞳函数变成复函数，必然影
响成象系统的频率特性。
一、广义光瞳函数
定义
P ( x, y ) =P( x, y) exp[ jkW ( x, y)]
光程差，具体形式由系统象差决定
二、有相差系统的相干点扩散函数和CTF
x%, ld
=F {P( x, y) exp (jkW ( x, y) )}
H (x,h) =P (ldix, ldih)
=P(ldix , ldih) exp[ikW (ldix, ldih)]
。
多了相位偏差项，不影响截止频率，在通频带内引入了与频率有
关的相位畸变，使像质变坏
三、有象差系统的强度点扩散函数和OTF
2
P *( x, y)P ( x +ldix, y +ldih)dxdy
-
2
-
exp [－jkW ( x, y)]exp [jkW ( x +ld x, y +ld h]dxdy
i
S (x,h)
讨论：
①当
W ( x, y) =0
②当
W ( x, y ) 0 H (x,h) 有像差 H (x,h) 无像差
时，衍射受限的OTF
i
3.6
相干成像和非相干成像的比较
一、截止频率
rO =2 rC
能否得出这样的结论：对同一个成象系统和物体，采用非相
干光照明的成像效果比用相干光照明成像效果好？
答案：否
原因：
相干截止频率确定的是像的振幅分布最高空间频率分量。
非相干截止频率确定的是像的强度分布最高空间频率分
量。
不是描述同一个物理量，所以不能直接比较。
不管采用什么光源照明成像，人们最终接收的是像的强
度，即使比较同一物理量，如像的强度，目前尚无一个普
遍适用判断成像好坏的依据。
二、像强度的频谱
相干光照明
%* xi , yi ) 2
I c ( xi , yi ) =U g ( xi , yi )h(
非相干光照明
Ii ( xi , yi ) =I g ( xi , yi ) * hI ( xi , yi )
Gc (x,h) =[Ggc (x,h) H (x,h)] [Ggc (x,h) H (x,h)]
Gi (x,h) =[Ggc (x,h) Ggc (x,h)][ H (x,h) H (x,h)]
两种情况像频谱很不相同，哪个更好，不仅依赖于系统的结
构和照明光的相干性，而且与物的空间结构有关
例1 有一单透镜成像系统，其圆形边框的直径为7.2cm，焦距为
10cm，且物和像等大，设物的透过率函数为
2px -3
b
的单色光垂直照明该物，试分析说明在相干光和非相干光照明
情况下，像面上能否出现强度起伏？
2px
例2 上题中物的透过率函数改为 t ( x) =sin ÷
b
情况又如何？
三、两点分辨
非相干成像系统瑞利判据：两个强度相等的非相干点源，一
个点光源产生的Airy斑中心正好落在第二个点光源所产生的
Airy斑的第一个暗环上，说它们是成像系统的极限分辨率。
2
2
2 J1( x - 1.92) 2 J 1 ( x +1.92)
I ( x) =
x - 1.92 +
x +1.92
相干照明
2
J
1 ( x - 1.92)
2
J
1 ( x +1.92)
I ( x ) =+
exp( jf)
x - 1.92
x +1.92
2
两点源的相对相位差
2
J
1 ( x - 1.92)
2
J
1 ( x +1.92)
I ( x ) =+
exp( jf)
x - 1.92
x +1.92
f=0 e =1
if
p
if
f=
e =1
2
2 J1( x - 1.92) 2 J1 ( x +1.92)
+
I ( x) =0
x - 1.92
x +1.92
2
2
2
2 J1 ( x - 1.92) 2 J1 ( x +1.92)
+i
I ( x) =
x - 1.92
x +1.92
2 J1 ( x +1.92)
2
J
1( x - 1.92)
=+
x - 1.92
x +1.92
2
f=peif=-1
2
2 J1( x - 1.92)- 21 J( x +1.92)
I ( x) =
x - 1.92
x +1.92
瑞利判据适用于非相干成像系统
2