Transcript Videnskabsteori

Matematikkens
Videnskabsteori i Gymnasiet
7. September 2010
Gl. Hellerup Gymnasium
Terese M. O. Nielsen
Roskilde Katedralskole
Matematikkens Videnskabsteori
• Matematikkens videnskabsteori som
forskningsfelt og i gymnasiet
• To niveauer af beskrivelse: udefra og
indefra
• Traditionel opbygning af matematisk teori
– Axiom, definition, sætning, formodning,
eksempel
• Matematikkens metoder
• Oplæg til diskussion
Matematikkens Videnskabsteori
Matematikkens filosofi som forskningsfelt
Hvad er matematik – matematikkens identitet:
• Hvad er matematikkens objekter?
(Fysiske, mentale, kulturskabte …?)
• Hvordan opnår vi viden i matematik
(Sanse-erfaring, selv-indsigt, logik, intuition om
abstrakte objekter …?)
Matematikkens videnskabsteori
Fra læreplanen i Matematik (A)
”Faglige mål
Eleverne skal kunne
– demonstrere viden om fagets identitet og metoder”
Fra læreplanen i AT
”Faglige mål
Eleverne skal kunne
– vurdere de forskellige fags og faglige metoders muligheder og
begrænsninger i forhold til den konkrete sag
– demonstrere indsigt i videnskabelig tankegang og gøre sig elementære
videnskabsteoretiske overvejelser i forhold til den konkrete sag.
…
Synopsen skal indeholde
– diskussion af, hvilke materialer, metoder og teorier der er relevante i arbejdet
med underspørgsmålene”
Identitet og metoder
To niveauer af forklaringer:
1)
Overordnet niveau
HELE matematikken
ALLE metoder
Matematikken set udefra.
Forklaret til den oplyste lægmand.
2)
Internt niveau
Dele af matematikken
Metoder i bestemt sammenhæng
Matematikken set indefra.
Forklaret til person med sammenligneligt kendskab til matematik.
Matematikkens identitet – set
udefra
• Læren om tal og former (platonisme?)
• En delmængde af logikken (logicisme)
• En mere abstrakt version af naturvidenskab.
”Fysik uden enheder”. (fysikalisme)
• Et sprog
• Et værktøj til naturbeskrivelse (nominalisme)
• Et spil (formalisme)
• Læren om mønstre og strukturer (strukturalisme)
• Læren om rammer for menneskelig tænkning
(intuitionisme)
…fortsæt selv listen
Matematikkens identitet
Historie
- Opstået ud fra overvejelser om tal og former
Genstandsområde
- Hverken naturen eller kulturen?
Metoder
- Ikke eksperimentiel og ikke fortolkende?
Min påstand:
Matematikkens identitet (nu, i gymnasiet) består i
kravet til stringent argumentation
Matematisk teori er to-delt
Axiom
Definition
Grundlag
”det, vi baserer udledningen
på”
Lemma
Sætning
Korollar
Overbygning
”det vi udleder”
Euklids Elementer som
ideal.
Relationer er af typen
”medfører” og går kun fra
Axiomer og Definitioner til
Sætninger, aldrig
omvendt.
Typisk lærebog i gymnasiet
3e MA bruger Vejen til Matematik A2
Kapiteloverskrift: Integralregning
- Matematisk deldisciplin
Definition: Stamfunktion
- Centralt begreb
Eksempler: x2 er stamfunktion til 2x
- Centralt begreb i konkrete sammenhænge
Sætning1: Konstantregel for integration
Øvelse
Sætning
Sætning
Anvendelser
Opgaver
Centrale begreber:
”teori” ifølge Fremmedordbogen
teo’ri –en, -er (gr. theo’ria betragtning …)
systematisering af bekræftede erfaringer på et vist område
af den objektive virkelighed som den afspejler sig, og
hvis forløb den kan forklare og forudsige;
Naturvidenskab
et fags, en videnskabs system af læresætninger;
Matematik
forståelsesramme;
Humaniora, samfundsvidenskab
tankemæssigt kendskab til en sag (mods. praksis).
Dagligdag
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Teori: matematisk disciplin
- geometri, algebra, analyse, statistik, …
- netværk af udsagn, knyttet sammen af
logiske relationer, på grundlag af
priviligerede udsagn (aksiomer,
definitioner og tidligere beviste sætninger)
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Definition: navngivning, dåbshandling
- sand pr. konvention
- tillægger en mening til et symbol, der ikke i forvejen har
en mening
- kan og skal ikke bevises
- spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsløst
- kan ikke være et eksistensudsagn
Eksempel:
En trekant, hvor en af vinklerne er større end en ret vinkel,
kaldes stumpvinklet.
0!=1 - kan motiveres, men ikke udledes
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Aksiom
- sand pr. konvention (formalisme) eller
- sand fordi den korrekt beskriver et abstrakt domæne
(platonisme). (Find selv på flere)
- kan og skal ikke bevises
- sammenknytter termer, der i forvejen har mening
- kan godt være en eksistenspåstand
- Spørgsmål om ”hvorfor?” er meningsfulde, men besvares
med ”sådan er det bare”
Eksempel Axiom of Infinity, Zermelo-Fraenkel mængdelære
X : Ø  X  Y  X : (Y' X)
Diskussion i arbejdsgruppen
Hviler matematik i gymnasiet på et grundlag af
axiomer?
Ser eleverne axiomer?
Er matematik i gymnasiet axiomatisk-deduktiv?
Eksempel
Hvis en delmængde A af de reelle tal er opad
begrænset, findes den mindste øvre grænse,
supremum(A).
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Sætning
- en sætning er et sandt udsagn
- en sætning følger v.h.a. deduktion fra allerede kendte
udsagn
- en sætning kan og skal bevises
I gymnasiet. Dette er problematisk jf. Gödel
- en sætning sammenknytter begreber, der i forvejen har
mening
- Spørgsmålet ”hvorfor?” er meningsfuldt og besvares
med et bevis
- er ofte på formen ”hvis forudsætninger så konklusion”.
Konklusionen er ofte en formel (i gymnasiet).
- er generel – dækker mange tilfælde
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Bevis
- argument i matematisk fagsprog
- kæde af sammenhængende påstande, der
dokumenterer, at en sætning er sand
- tjener til at overbevise tilhøreren om, at man ville
kunne lave en formel, logisk udledning af
sætningen
Efter Tereses mening: dét træk ved matematik, der
giver fagets dets identitet i gymnasiet.
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Deduktion
- udledning i overensstemmelse med logiske
slutningsregler
- vi underforstår de logiske slutningsregler
Eksempel på logisk slutningsregel (modus ponens)
P
Hvis P, så Q
Altså Q
Forskellige systemer
~(~P) er ækvivalent med P i klassisk logik, men ikke i
intuitionistisk logik
Diskussion blandt Roskilde
Katedralskoles matematiklærere
Er sætningerne sande, fordi axiomerne er
sande (Euklid)?
Er axiomerne velvalgte, fordi de giver
anledning til ’de rigtige’ sætninger
(Russell)?
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Formodning eller hypotese
- er et udsagn, hvis sandhedsværdi er ukendt
- kandiderer til at blive bevist
- sammenknytter begreber der i forvejen har mening
Eksempler
Goldbachs formodning: ethvert lige tal kan skrives som en
sum af to primtal
Fermats sidste sætning (før 1994)
Alle fuldkomne tal er lige
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Eksempel (/øvelse/opgave)
- anvendelse eller illustration af generel
formel eller sætning
- specifikt regnestykke eller specifik graf
eller figur – i kontrast til generel
lovmæssighed eller sætning
Centrale begreber i
matematik-beskrivelse
Model
- typisk en eller flere ligninger (eller uligheder)
og/eller figurer, der angiver sammenhænge
mellem størrelser,
sammen med
- en ’parlør’ for oversættelse til størrelser fra en
anden kontekst (’virkeligheden’)
og
- måske en angivelse af definitionsmængde for
størrelserne, der afspejler ’virkeligheden’
Definiton-Axiom-Sætning
Definition
Axiom
Sætning
Udsagn
er ikke et udsagn
er et sandt udsagn
er et sandt udsagn
Mulige
sandhedsværdier
kan umuligt være
falsk
kunne være falsk
kunne være falsk
Tidslig
sandhedsværdi
er sand fra den bliver
vedtaget
er altid sand
er altid sand
Bevisbarhed
kan ikke bevises
kan ikke bevises
kan bevises (?)
Tomme tegn
eller
meningsfulde
tegn
handler om tegn, der
ikke har en mening
på forhånd
handler om begreber
med en fast mening
handler om begreber
med en fast mening
Centrale begreber:
”metode” ifølge Fremmedordbogen
me’tode –n, -r (lat. me’thodus, gr. ’methodos
undersøgelsesmåde, af me’ta efter + hodos vej)
planmæssig fremgangsmåde, systematisk
procedure
- hvad som helst der ikke er tilfældigt!
”Metode” betyder ofte anvendelse af et eller flere
teoretiske resultater.
”Jeg bruger sætning 2.3 på side 85 i bogen”
To niveauer af metoder
Ren matematik
Anvendt
matematik
Overordnet niveau –
”Den matematiske
Metode”
Bevisførelse
Beregning
Modellering
Internt niveau
- Forudsætter
kendskab til
begreber
Modstridsbevis vs.
direkte bevis
Geometrisk vs.
algebraisk bevis
Induktionsbevis
Tretrinsreglen
osv
Lige store
koefficienters
metode
Optimering
Ligningsløsning
Diskriminantmetoden
osv
Oplæg til diskussion
Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens
identitet?
Overordnet niveau:
”Matematik er en deduktiv videnskab” vs.
Internt niveau:
”Jeg har brugt statistik, fordi jeg skulle behandle et stort
talmateriale”
Hvordan underviser vi dem i matematikkens identitet?
Oplæg til diskussion
Hvad forventer vi, at eleverne kan sige om matematikkens
metoder?
”Matematikken er en deduktiv videnskab”
”Matematik hviler på ræsonnementer”
”Jeg beviser sætningen ved at anvende tretrinsreglen”
Hvilke typer spørgsmål stiller vi som test af, om de har
kendskab til elementær videnskabsteori?
”Hvad er matematik?”
”Hvad er forskellen på matematik og fysik?”
”Hvorfor kan matematik bruges her?”