Transcript 1. Transformasi(refleksi)

Transformasi
(Refleksi)
1
STANDAR KOMPETENSI
3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan
tranformasi geometri dalam pemecahan masalah.
2
KOMPETENSI DASAR
3.6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat
dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah
3
INDIKATOR
Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang
Melakukan operasi transformasi geometri, jenis refleksi.
Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada
bidang.
4
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan peta atau
bayangan suatu kurva
hasil dari suatu
Refleksi
5
Transformasi Geometri
Merupakan salah satu cabang geometri
yang membahas perubahan letak atau
bentuk suatu objek geometri sebagai
akibat pergeseran, pencerminan,
perputaran, perubahan skala, atau
peregangan.
6
Jenis-jenis Transformasi
a. Tranlasi
b. Refleksi*)
c. Rotasi
d. Dilatasi
*) yang dibahas kali ini
7
Refleksi
Artinya pencerminan
* Kalian pasti sering bercermin.
Perhatikan ilustrasi berikut
Ketika kalian bercermin. Pernahkah kalian mengalami hal
berikut
Bayangan kalian
terbalik…
9
Seperti ini……
Bayangan kalian
menjadi kecil….
10
Atau seperti ini…..
Bayangan kalian
berubah drastis…
TAKUUUUT
11
BERDASARKAN ILUSTRASI DIATAS DAN SKETSA DIBAWAH KITA
DAPAT MEMBUAT SIFAT -SIFAT REFLEKSI/PENCERMINAN
y
1. bangun pertama kongruen
dengan bayangannya,
yaitu bangun kedua.
1
2
-1
1
2. Jarak setiap titik pada
bangun pertama ke cermin
sama dengan jarak setiap
titik bayangannya ke
cermin, bangun kedua
x
3. Sudut yang dibentuk oleh
cermin dengan garis yang
menghubungkan setiap
titik ke bayangannya
adalah sudut siku-siku.
12
Dalam geometri bidang,
sebagai cermin digunakan:
sumbu X
sumbu y
Garis x = h
Garis y = k
garis y = x
garis y =-x
13
Terhadap sumbu x
P(a, a)
-b
P’(a, -a)
P(a, a)  P’(a, -a)
atau
P(x, y)  P’(x’, -y’)
14
Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = x
y’ = -y
dalam bentuk matriks:
 x'   1 0   x 
   
  
 y'   0  1  y 
15
Sehingga
1 0 


 0 1
adalah matriks penceminan
terhadap sumbu X
16
Contoh 1
Diketahui segitiga ABC dengan
koordinat titik A(2,0), B(0,-5) dan
C(-3,1). Tentukan koordinat bayangan
segitiga ABC tersebut bila
dicerminkan terhadap sumbu X
17
Bahasan
Pencerminan terhadap sumbu X
P(x,y) → P’(-x,y)
Jadi bayangan titik :
A(2,0) adalah A’(-2,0)
B(0,-5) adalah B’(0,-5)
C(-3,1) adalah C’(3,1)
18
latihan
Bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh
refleksi terhadap sumbu X adalah….
Jawab:
oleh pencerminan terhadap sumbu X
maka: x’ = x → x = x’
y’ = -y → y = -y’
19
x = x’ dan y = -y’
disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0
diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0
3x’ + 2y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya
adalah 3x + 2y + 5 = 0
20
Terhadap sumbu y
P’(-a, a)
P(a, a)  P’(-a, a)
atau
P(x, y)  P’(-x’, y’)
P(a, a)
Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = -x
y’ = y
dalam bentuk matriks:
 x'    1 0   x 
   
  
 y'   0 1   y 
22
Sehingga
 1 0


 0 1
adalah matriks penceminan
terhadap sumbu Y
23
latihan
Tentukan bayangan kurva y = x2 – x
oleh pencerminan terhadap sumbu Y.
Jawab:
oleh pencerminan terhadap sumbu Y
maka: x’ = -x → x = -x’
y’ = y → y = y’
24
x = -x’ dan y = y’
disubstitusi ke y = x2 – x
diperoleh: y’ = (-x’)2 – (-x’)
y’ = (x’)2 + x’
Jadi bayangannya
adalah y = x2 + x
25
Terhadap Garis x = h
P(a, a)
-b
P(a, a)  P’(2h-a, a)
atau
P(x, y)  P’(2h-x’, y’)
26
P’(2h - a, a)
Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = 2h-x
y’ = y
dalam bentuk matriks:
 x'    1 0   x   2h 
   
     
 y'   0 1   y   0 
27
Contoh
Tentukan bayangan kurva y2 = x – 5
oleh pencerminan terhadap
garis x = 3.
Jawab:
oleh pencerminan terhadap garis x = 3
maka: x’ = 2h - x → x = 2.3 - x’ = 6 –x’
y’ = y → y = y’
28
x = 6 – x’ dan y = y’ disubstitusi
ke y2 = x - 5
diperoleh: (y’)2 = (6 – x’) – 5
(y’)2 = 1 – x’
Jadi bayangannya adalah y2 = 1 - x
29
Terhadap garis y = k
P’(a, 2k - a)
P(a, a)
-b
P(a, a)  P’(a, 2k- a)
atau
P(x, y)  P’(x’, 2h-y’)
30
Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = 2h-x
y’ = y
dalam bentuk matriks:
 x'    1 0   x   0 
   
     
 y'   0 1   y   2k 
31
Contoh
Tentukan bayangan kurva x2 + y2 = 4
oleh pencerminan terhadap
garis y = -3.
Jawab:
oleh pencerminan terhadap
garis y = - 3 maka: x’ = x
y’ = 2k - y
32
pencerminan terhadap garis y = - 3
maka: x’ = x  x = x’
y’ = 2k – y
y’ = 2(-3) – y
y’ = - 6 – y  y = -y’ – 6
disubstitusi ke x2 + y2 = 4
(x’)2 + (-y’ – 6)2 = 4
33
disubstitusi ke x2 + y2 = 4
(x’)2 + (-y’ – 6)2 = 4
(x’)2 +((-y’)2 + 12y’ + 36) – 4 = 0
Jadi bayangannya:
x2 + y2 + 12y + 32 = 0
34
Terhadap garis y = x
P’(b, a)
P(a, b)
-b
P(a, b)  P’(b, a)
atau
P(x, y)  P’(y’, x’)
35
Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = y
y’ = x
dalam bentuk matriks:
 x'   0 1   x 
   
  
 y'   1 0   y 
36
Sehingga
0 1


1 0
adalah matriks penceminan
terhadap sumbu Y
37
Contoh
Bayangan garis 2x – y + 5 = 0
yang dicerminkan tehadap garis
y = x adalah….
38
Bahasan
matriks transformasi refleksi
terhadap y = x adalah  0 1 


1 0
 x'   0 1   x   y 
     
    
 y'   1 0   y   x 
39
 x'   0 1   x   y 
   
     
 y'   1 0   y   x 
 x’ = y dan y’ = x
disubstitusi ke 2x – y + 5 = 0
diperoleh: 2y’ – x ’ + 5 = 0
-x’ + 2y’ + 5 = 0
40
-x’ + 2y’ + 5 = 0
dikali (-1) → x’ – 2y’ – 5 = 0
Jadi bayangannya adalah
x – 2y + 5 = 0
41
Terhadap garis y = -x
P(a, b)
-b
P’(-b, -a)
P(a, b)  P’(-b, -a)
atau
P(x, y)  P’(-y’, -x’)
42
Berdasarkan gambar tersebut:
x’ = -y
y’ = -x
dalam bentuk matriks:
 x'   0  1  x 
   
  
 y'    1 0   y 
43
Sehingga
 0  1


 1 0 
adalah matriks penceminan
terhadap garis y= x
44
Contoh 1
Bayangan persamaan
lingkaran x2 + y2 - 8y + 7 = 0
yang dicerminkan tehadap
garis y = -x adalah….
45
Bahasan:
Matriks transformasi refleksi
terhadap y = -x adalah  0  1


 1 0 
x
'
0

1
x






sehingga:    



 y'    1 0   y 
  
 
46
 x'   0  1  x    y 
   
     
 y'    1 0   y    x 
→ x’ = -y dan y’ = -x
atau y = -x’ dan x = -y’
Kemudian disubstitusikan ke
x2 + y2 – 8y + 7 = 0
47
x = -y’ dan y = -x’ disubstitusikan
ke x2 + y2 – 8y + 7 = 0
→ (-y’)2 + (-x)2 – 8(-x) + 7 = 0
(y’)2 + (x’)2 + 8x + 7 = 0
(x’)2 + (y’)2 + 8x + 7 = 0
Jadi bayangannya adalah
x2 + y2 + 8x + 7 = 0
48
latihan
Koordinat bayangan titik (-2,-3)
1
oleh translasi oleh T =  
  7
dan dilanjutkan refleksi terhadap
garis y = -x adalah….
49
Bahasan
1
Karena translasi T =  
  7
maka titik (-2,-3) → (-2 + 1, 3 – 7)
→ (-1,-4)
50
Kemudian titik (-1,-4) dilanjutkan
refleksi terhadap garis y = - x
 x'   0  1  x 
   
  
 y'    1 0   y 
 x'   0  1   1 
   
  
 y'    1 0    4 
51
 x'   0  1   1 
   
  
 y'    1 0    4 
 x'   0.(1)  (1)(4)   4 
   
   
 y'   (1)(1)  0.(4)   1 
→ x’ = 4 dan y’ = 1
Jadi koordinat bayangannya (4,1)
52
SELAMAT BELAJAR
53